Zmist 1 Viznachennya linijnogo integrala 2 Fizichnij sens linijnogo integrala 3 Osnovni vlastivosti linijnogo integrala 4 Obchislennya linijnogo integrala 5 Cirkulyaciya vektornogo polyaViznachennya linijnogo integrala RedaguvatiNehaj u prostorovij oblasti V displaystyle mathbf textit V nbsp viznacheno bezperervne vektorne pole a M L displaystyle bar a mathbf textit M mathbf textit L nbsp gladka kriva roztashovana v V displaystyle mathbf textit V nbsp Linijnim integralom polya a displaystyle bar a nbsp uzdovzh liniyi L displaystyle mathbf textit L nbsp nazivayetsya krivolinijnij integral po dovzhini dugi vid skalyarnogo tvori a M displaystyle bar a mathbf textit M nbsp na odinichnij dotichnij vektor t M W L a M t M d s displaystyle bar tau mathbf textit M W int limits L bar a M cdot bar tau M ds nbsp Yak i potik cej integral mozhe predstavlyatisya po riznomu Tak yaksho vrahuvati sho pohidna t M displaystyle bar tau M nbsp na d s displaystyle ds nbsp daye zmina radiusa vektora tochki M displaystyle mathbf textit M nbsp tobto t d s d r d x i d y j d z k displaystyle bar tau cdot ds d bar r dx bar i dy bar j dz bar k nbsp to W L a M d r displaystyle W int limits L bar a M d bar r nbsp i W L P d x Q d y R d z displaystyle W int limits L Pdx Qdy Rdz nbsp Otzhe linijnij integral mozhe buti virazhenij i cherez linijnij integral po koordinatah Fizichnij sens linijnogo integrala Redaguvatiyaksho a M displaystyle bar a mathbf textit M nbsp silove pole to W displaystyle mathbf textit W nbsp dorivnyuye roboti cogo polya pri peremishenni materialnoyi tochki vzdovzh liniyi L displaystyle mathbf textit L nbsp sm rozdil Potrijni integrali Osnovni vlastivosti linijnogo integrala Redaguvati1 linijnist L C 1 a 1 C 2 a 2 t d s C 1 L t a 1 d s C 2 L t a 2 d s displaystyle int limits L C1 bar a 1 C2 bar a 2 bar tau ds C1 int limits L bar tau bar a 1 ds C2 int limits L bar tau bar a 2 ds nbsp 2 aditivnist L 1 L 2 a t d s L 1 a t d s L 2 a t d s displaystyle int limits L 1 cup L 2 bar a cdot bar tau ds int limits L 1 bar a cdot bar tau ds int limits L 2 bar a cdot bar tau ds nbsp Napravlennya na kozhnij z chastin L 1 displaystyle L 1 nbsp i L 1 displaystyle L 1 nbsp maye buti takim zhe yak i na vsij krivij L 1 L 2 displaystyle L 1 cup L 2 nbsp 3 Pri zmini napryamku vzdovzh L displaystyle mathbf textit L nbsp linijnij integral zminyuye znak Ce viplivaye z togo sho vektor t M displaystyle bar tau mathbf textit M nbsp zminyuyetsya na t M displaystyle bar tau mathbf textit M nbsp 4 Yaksho L displaystyle mathbf textit L nbsp vektorna liniya polya i ruh vidbuvayetsya v napryamku polya to W gt 0 displaystyle mathbf textit W gt 0 nbsp U comu vipadku vektor t M displaystyle bar tau mathbf textit M nbsp kolinearnij a M displaystyle bar a mathbf textit M nbsp tomu a t pr a t a gt 0 displaystyle bar a cdot bar tau mathop mbox pr bar a limits bar tau vert bar a vert gt 0 nbsp Obchislennya linijnogo integrala RedaguvatiYak i bud yakij krivolinijnij integral linijnij integral obchislyuyetsya zvedennyam do pevnogo integrala po parametru na krivij zazvichaj obchislyuyut krivolinijnij integral W L P d x Q d y R d z displaystyle W int limits L Pdx Qdy Rdz nbsp Yaksho kriva pri parametrichnomu zavdanni maye viglyad L x x t y y t z z t t 0 t t k displaystyle L left begin array l x x t y y t z z t end array right t 0 leqslant t leqslant t k nbsp bezperervno diferenciyuyutsya to W L P x y z d x Q x y z d t R x y z d z displaystyle W int limits L P x y z cdot dx Q x y z cdot dt R x y z cdot dz nbsp t 0 t k P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t d t displaystyle int limits t 0 t k left P x t y t z t cdot x t Q x t y t z t cdot y t R x t y t z t cdot z t right dt nbsp Napryamok integruvannya viznachayetsya napryamom ruhu po krivij Cirkulyaciya vektornogo polya RedaguvatiCirkulyaciyeyu nazivayetsya linijnij integral vektornogo polya po zamknutij krivij C C a d r displaystyle mathbf textit C oint limits C bar a cdot d bar r nbsp Zazvichaj kazhut sho cirkulyaciya harakterizuye obertalnu zdatnist polya Mayetsya na uvazi nastupne Yaksho vektorni liniyi polya zamkneni to yak mi bachili cirkulyaciya po nim v napryamku polya pozitivna pri comu v gidrodinamichnoyi interpretaciyi chastki ridini krutyatsya po cim zamknutim liniyah Nehaj teper liniyi strumu dovilni uyavimo v obsyazi L displaystyle L nbsp zamknutij kontur C displaystyle C nbsp Yaksho v rezultati ruhu ridini cej kontur bude obertatisya to pole volodiye obertalnoyi zdatnistyu absolyutna velichina cirkulyaciyi viznachatime kutovu shvidkist obertannya chim bilshe C displaystyle mathbf textit C nbsp tim vishe shvidkist znak cirkulyaciyi pokazhe chi zbigayetsya napryamok obertannya z napryamkom integruvannya Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Linijnij integral amp oldid 34066638
