Компа́ктний про́стір — це такий топологічний простір, що для будь-якого його (відкритого покриття) знайдеться (скінчене) (підпокриття).
В топології, компактні простори за своїми властивостями нагадують (скінченні множини) в теорії множин.
В математичному аналізі компактна множина — це (обмежена) й (замкнута множина) в .
Пов'язані визначення
- Підмножину топологічного простору, що в індукованій топології є компактним простором, називають компактною множиною або компактом.
- Множину називають відносно компактною чи передкомпактною, якщо її замикання компактне.
- (Локально компактний простір) — топологічний простір, в якому будь-яка точка має окіл, замикання якого компактне.
- (Секвенційно компактний простір) — топологічний простір, у якому з кожної послідовності можна виділити збіжну (підпослідовність).
- (Зліченно компактний простір) — топологічний простір, із кожного зліченного покриття якого можна виділити скінченне підпокриття.
- (Слабко зліченно компактний простір) — має таку властивість, що кожна нескінченна підмножина має (граничну точку).
Властивості
Загальні властивості
- Кожна (замкнена підмножина) компактного топологічного простору є компактною
- Для будь-якого неперервного відображення (образ) компакта — компакт.
- Компактна підмножина (гаусдорфового простору) є замкнена.
- (Теорема Тихонова): добуток довільного числа компактних множин (з топологією добутку) компактний.
- Будь-яке неперервне взаємно-однозначне відображення компакта в (гаусдорфів простір) є (гомеоморфізмом).
- У компактних просторах кожне центроване сімейство замкнених множин, тобто сімейство, в якому (перетини) скінченних підсімейств не порожні, має непорожній перетин. Див. також (Лема про вкладені відрізки).
- Кожна (неперервна функція) із компактного топологічного простору в є обмеженою і досягає свого найбільшого і найменшого значення.
- Образ компактного топологічного простору при неперервному відображенні також є компактним
Властивості компактних метричних просторів
- Метричний простір компактний (тоді і тільки тоді), коли будь-яка послідовність точок в ньому містить підпослідовність, що збігається.
- Для скінченовимірних (евклідових просторів) (підпростір) є компактом тоді і тільки тоді, коли він обмежений і замкнений. Про простори, що мають таку властивість, говорять, що вони задовольняють (властивості Гейне — Бореля). Див. також (Теорема Больцано — Вейєрштрасса).
- (Лема Лебега): Для будь-якого компактного метричного простору і (відкритого покриття) існує додатне число таке, що будь-яка підмножина, діаметр якої менший за , міститься в одній з множин . Таке число називають числом Лебега.
- У компактних просторах кожен (ультрафільтр) збігається принаймні до однієї точки.
- Для метричних просторів наступні твердження є еквівалентними: компактність; (повнота) та цілком обмеженість; ; .
Приклади компактних множин
- в будь-якому топологічному просторі множина, що складається з однієї точки, а також будь-яка скінченна, завжди компактна.
- замкнені й обмежені множини в
- (теорема Асколі — Арцела) дає характеризацію компактних множин для деяких функціональних просторів. Розглянемо простір неперервних функцій на метричному компактному просторі з нормою . Тоді замикання множини функцій в компактне тоді і тільки тоді, коли рівномірно обмежена і рівностепенево (одностайно) неперервна.
- (простір Стоуна) (булевої алгебри)
- (компактифікація) топологічного простору
- (Компактні групи Лі)
Історія
Бікомпактний простір — термін, введений (П. С. Александровим) як посилення введеного (М.Фреше) поняття компактного простору: топологічний простір компактний — в первинному смислі слова — якщо в кожному зліченному відкритому покритті цього простору міститься його скінченне підпокриття. Проте подальший розвиток математики показав, що поняття бікомпактності настільки важливіше за первинне поняття компактності, що в наш час під компактністю розуміють саме бікомпактність, а компактні в старому смислі простори називають зліченно-компактними. Обидва поняття рівносильні в застосуванні до метричних просторів.
Див. також
- (Компактифікація Стоуна — Чеха)
- (Локально компактний простір)
- (Одноточкова компактифікація)
- (Теорема Александрова про компактифікацію)
Джерела
- (Бурбакі Н.) Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — ((Елементи математики))(рос.)
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет