www.wikidata.uk-ua.nina.az

Канонічне перетворення Канонічні перетворення заміна узагальнених координат та узагальнених імпульсів класичної механічн

Канонічне перетворення

Канонічні перетворення — заміна узагальнених координат та узагальнених імпульсів класичної механічної системи на інші, при якій зберігається вигляд основних рівнянь гамільтонової механіки — рівнянь Гамільтона.

У гамільтоновій механіці стан механічної системи задається узагальненими координатами та імпульсами , які вважаються незалежними змінними, та функцією Гамільтона . Рівняння Гамільтона мають вигляд

При переході до нових змінних та форма запису рівнянь Гамільтона загалом не зберігається. Однак серед усіх таких переходів існує клас, який зберігає рівняння Гамільтона в незмінному вигляді при деякій новій функції Гамільтона . Такі перетворення називаються канонічними.

Твірна функція Редагувати

Рівняння Гамільтона можна отримати з принципу найменшої дії, записаному у вигляді

В нових змінних теж повинно виконуватися

Рівності нулю варіацій двох виразів можна добитися, якщо ці вирази відрізняються на повний диференціал довільної функції F. Звідси

або

Тому

що є системою рівнянь, з яких можна визначити нові змінні через старі.

Фунція F називається твірною функцією канонічного перетворення. Твірну функцію можна вибирати різним чином. У наведених вище виразах вона вибрана залежною від старих і нових координат та часу . Вибравши твірну функцію можна визначити нові координати, імпульси та нову фунцію Гамільтона, розв'язуючи наведену систему рівнянь.

Твірна функція залежна від старих координат і нових імпульсів Редагувати

Якщо твірна функція залежить від старих координат і нових імпульсів: система рівнянь для знаходження зв'язку між новими та старими змінними має вигляд:

Твірна функція залежна від нових координат і старих імпульсів Редагувати

Система рівнянь для знаходження зв'язку між новими й старими змінними при твірній функції записується у вигляді

Твірна функція залежна від старих і нових імпульсів Редагувати

При твірній функції , система рівнянь для знаходження зв'язку між старими й новими змінними набуває вигляду

Часткові канонічні перетворення Редагувати

Одним із канонічних перетворень є перетворення, в якому , а нові координати . В цьому випадку імпульси й координати наче міняються місцями, різниця між ними втрачається, тому при застосуванні гамільтонової механіки величини q і p часто називають просто канонічно спряженими змінними.

Сам рух можна розглядати, як канонічні перетворення. Якщо в певний момент часу t змінні мали значення та , то в момент часу їхні значення та однозначно визначаються початковими умовами і задовольняють тим же рівнянням Гамільтона. Їх можна вибрати новими канонічно спряженими змінними.

Застосування Редагувати

Канонічні перетворення застосовуються для спрощення задач класичної механіки або ж для побудови зручних способів знаходження наближених розв'язків.

Історія Редагувати

Впреше канонічні перетворення застосував у 1846 році Шарль-Ежен Делоне, розглядаючи задачу про обертання Місяця навколо Землі одночасно з обертанням цих небесних тіл навколо Сонця.

Джерела Редагувати

  • Федорченко А. М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа. , 516 с.
  • Ландау Л.  Д., Лифшиц Е.  М. (1958). Механика. Теоретическая физика, т. 1. Москва: Госиздат. , 206 с.



Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Kanonichni peretvorennya zamina uzagalnenih koordinat ta uzagalnenih impulsiv klasichnoyi mehanichnoyi sistemi na inshi pri yakij zberigayetsya viglyad osnovnih rivnyan gamiltonovoyi mehaniki rivnyan Gamiltona U gamiltonovij mehanici stan mehanichnoyi sistemi zadayetsya uzagalnenimi koordinatami q i displaystyle q i ta impulsami p i displaystyle p i yaki vvazhayutsya nezalezhnimi zminnimi ta funkciyeyu Gamiltona H q i p i displaystyle mathcal H q i p i Rivnyannya Gamiltona mayut viglyad q i H p i displaystyle dot q i frac partial mathcal H partial p i p i H q i displaystyle dot p i frac partial mathcal H partial q i Pri perehodi do novih zminnih Q i displaystyle Q i ta P i displaystyle P i forma zapisu rivnyan Gamiltona zagalom ne zberigayetsya Odnak sered usih takih perehodiv isnuye klas yakij zberigaye rivnyannya Gamiltona v nezminnomu viglyadi pri deyakij novij funkciyi Gamiltona H Q i P i displaystyle mathcal H prime Q i P i Taki peretvorennya nazivayutsya kanonichnimi Zmist 1 Tvirna funkciya 1 1 Tvirna funkciya zalezhna vid starih koordinat i novih impulsiv 1 2 Tvirna funkciya zalezhna vid novih koordinat i starih impulsiv 1 3 Tvirna funkciya zalezhna vid starih i novih impulsiv 2 Chastkovi kanonichni peretvorennya 3 Zastosuvannya 4 Istoriya 5 DzherelaTvirna funkciya RedaguvatiRivnyannya Gamiltona mozhna otrimati z principu najmenshoyi diyi zapisanomu u viglyadi d i p i d q i H d t 0 displaystyle delta int left sum i p i dq i mathcal H dt right 0 nbsp V novih zminnih tezh povinno vikonuvatisya d i P i d Q i H d t 0 displaystyle delta int left sum i P i dQ i mathcal H prime dt right 0 nbsp Rivnosti nulyu variacij dvoh viraziv mozhna dobitisya yaksho ci virazi vidriznyayutsya na povnij diferencial dovilnoyi funkciyi F Zvidsi i p i d q i H d t i P i d Q i H d F displaystyle sum i p i dq i mathcal H dt sum i P i dQ i mathcal H prime dF nbsp abo d F i p i d q i i P i d Q i H H d t displaystyle dF sum i p i dq i sum i P i dQ i mathcal H prime mathcal H dt nbsp Tomu p i F q i P i F Q i H H F t displaystyle p i frac partial F partial q i qquad P i frac partial F partial Q i qquad mathcal H prime mathcal H frac partial F partial t nbsp sho ye sistemoyu rivnyan z yakih mozhna viznachiti novi zminni cherez stari Funciya F nazivayetsya tvirnoyu funkciyeyu kanonichnogo peretvorennya Tvirnu funkciyu mozhna vibirati riznim chinom U navedenih vishe virazah vona vibrana zalezhnoyu vid starih i novih koordinat ta chasu F F q i Q i t displaystyle F F q i Q i t nbsp Vibravshi tvirnu funkciyu mozhna viznachiti novi koordinati impulsi ta novu funciyu Gamiltona rozv yazuyuchi navedenu sistemu rivnyan Tvirna funkciya zalezhna vid starih koordinat i novih impulsiv Redaguvati Yaksho tvirna funkciya zalezhit vid starih koordinat i novih impulsiv F 1 F 1 q i P i displaystyle F 1 F 1 q i P i nbsp sistema rivnyan dlya znahodzhennya zv yazku mizh novimi ta starimi zminnimi maye viglyad Q i F 1 P i p i F 1 q i H H F 1 t displaystyle Q i frac partial F 1 partial P i qquad p i frac partial F 1 partial q i qquad mathcal H prime mathcal H frac partial F 1 partial t nbsp Tvirna funkciya zalezhna vid novih koordinat i starih impulsiv Redaguvati Sistema rivnyan dlya znahodzhennya zv yazku mizh novimi j starimi zminnimi pri tvirnij funkciyi F 2 F 2 Q i p i displaystyle F 2 F 2 Q i p i nbsp zapisuyetsya u viglyadi P i F 2 Q i q i F 2 p i H H F 2 t displaystyle P i frac partial F 2 partial Q i qquad q i frac partial F 2 partial p i qquad mathcal H prime mathcal H frac partial F 2 partial t nbsp Tvirna funkciya zalezhna vid starih i novih impulsiv Redaguvati Pri tvirnij funkciyi F 3 F 3 p i P i displaystyle F 3 F 3 p i P i nbsp sistema rivnyan dlya znahodzhennya zv yazku mizh starimi j novimi zminnimi nabuvaye viglyadu q i F 3 p i Q i F 3 P i H H F 3 t displaystyle q i frac partial F 3 partial p i qquad Q i frac partial F 3 partial P i qquad mathcal H prime mathcal H frac partial F 3 partial t nbsp Chastkovi kanonichni peretvorennya RedaguvatiOdnim iz kanonichnih peretvoren ye peretvorennya v yakomu P i q i displaystyle P i q i nbsp a novi koordinati Q i p i displaystyle Q i p i nbsp V comu vipadku impulsi j koordinati nache minyayutsya miscyami riznicya mizh nimi vtrachayetsya tomu pri zastosuvanni gamiltonovoyi mehaniki velichini q i p chasto nazivayut prosto kanonichno spryazhenimi zminnimi Sam ruh mozhna rozglyadati yak kanonichni peretvorennya Yaksho v pevnij moment chasu t zminni mali znachennya q i t displaystyle q i t nbsp ta p i t displaystyle p i t nbsp to v moment chasu t t displaystyle t tau nbsp yihni znachennya q i t t displaystyle q i t tau nbsp ta p i t t displaystyle p i t tau nbsp odnoznachno viznachayutsya pochatkovimi umovami i zadovolnyayut tim zhe rivnyannyam Gamiltona Yih mozhna vibrati novimi kanonichno spryazhenimi zminnimi Zastosuvannya RedaguvatiKanonichni peretvorennya zastosovuyutsya dlya sproshennya zadach klasichnoyi mehaniki abo zh dlya pobudovi zruchnih sposobiv znahodzhennya nablizhenih rozv yazkiv Istoriya RedaguvatiVpreshe kanonichni peretvorennya zastosuvav u 1846 roci Sharl Ezhen Delone rozglyadayuchi zadachu pro obertannya Misyacya navkolo Zemli odnochasno z obertannyam cih nebesnih til navkolo Soncya Dzherela RedaguvatiFedorchenko A M 1975 Teoretichna mehanika Kiyiv Visha shkola 516 s Landau L D Lifshic E M 1958 Mehanika Teoreticheskaya fizika t 1 Moskva Gosizdat 206 s nbsp Ce nezavershena stattya z fiziki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Kanonichne peretvorennya amp oldid 38785331