www.wikidata.uk-ua.nina.az

Закон Ампера закон взаємодії постійних струмів котрий установив Андре Марі Ампер 1820 року Із закону Ампера виходить що

Закон Ампера

Закон Ампера — закон взаємодії постійних струмів, котрий установив Андре-Марі Ампер 1820 року. Із закону Ампера виходить, що паралельні провідники з постійними струмами, які течуть в одному напрямі, притягуються, а в протилежному — відштовхуються. Законом Ампера називають також закон, що визначає силу, з якою магнітне поле діє на невеликий відрізок провідника зі струмом.

Взаємодія двох елементарних струмів: а — паралельних, б — антипаралельних (всі відрізки (вектори) лежать в одній площині)

Сила Ампера — це сила, з якою магнітне поле діє на провідник зі струмом.

Сила Ампера залежить від сили струму , елемента (частини) довжини провідника , кута між напрямом струму і напрямком ліній магнітного поля та магнітної індукції , і задається формулою

У векторній формі силу Ампера записують так:

Фізичний зміст закону Ампера Редагувати

Під законом Ампера мають на увазі сукупність тверджень і формул, що розкривають силовий вплив на провідник зі струмом з боку магнітного поля — можливо, створеного іншим провідником зі струмом. Закон визначає:

  • силу дії малого відрізка провідника зі струмом на інший малий відрізок зі струмом :
де і  — радіус-вектори елементів довжини провідників і , а  — сила дії елемента (який створює поле в точці ) на елемент ;  — магнітна стала;
  • силу взаємодії двох провідних замкнутих контурів форми і зі струмами і :
де і  — радіус-вектори, які пробігають усі точки контурів , , а  — сила, з якою контур діє на контур . По суті, це інтегрування виразу з попереднього пункту;
  • силу, з якою магнітне поле діє на відрізок провідника зі струмом (A), плоску ділянку зі струмом (А/м) або малий об'єм зі струмом (А/м2):
Напрямок сили визначають за правилом обчислення векторного добутку. Її модуль у разі проводу знаходять як , де  — кут між і напрямком струму. Сила найбільша, коли провідник перпендикулярний до ліній магнітної індукції (). Інтегрування дозволяє отримати силу дії поля на об'єкт у цілому.

Випадок двох паралельних провідників Редагувати

Два нескінченних рівнобіжних провідники зі струмами у вакуумі

Найвідомішим прикладом, що показує силу Ампера, є така задача. У вакуумі на відстані один від одного розташовані два нескінченних паралельних провідника, в яких в одному напрямку течуть струми і . Потрібно знайти силу, яка діє на одиницю довжини провідника.

За законом Біо — Савара — Лапласа нескінченний провідник зі струмом у точці на відстані створює магнітне поле з індукцією

де  — магнітна стала,  — одиничний вектор уздовж кола, віссю симетрії якого є провід зі струмом .

За законом Ампера знайдемо силу, з якою перший провідник діє на малу ділянку другого:

За правилом лівої руки, спрямована в бік першого провідника (так само, сила , яка діє на перший провідник, спрямована в бік другого провідника). Отже, провідники притягуються.

Модуль цієї сили ( — відстань між провідниками):

Інтегруємо за ділянкою провідника довжини (межі інтегрування за від 0 до ):

Якщо  — одинична довжина, то цей вираз задає шукану силу взаємодії.

Прояви закону Ампера Редагувати

  • Електродинамічне зрушення шин (струмопроводів) трифазного змінного струму на підстанціях під дією струмів короткого замикання.
  • Розсування струмопроводів рейкотрона під час пострілу.

Застосування Редагувати

Будь-які вузли в електротехніці, де під дією електромагнітного поля відбувається рух будь-яких елементів, використовують закон Ампера. Принцип роботи електромеханічних машин (рух частини обмотки ротора відносно частини обмотки статора) ґрунтується на використанні закону Ампера, і найбільш поширений пристрій — це електродвигун, або, що конструктивно майже те саме — генератор. Саме під дією сили Ампера відбувається обертання ротора, оскільки на його обмотку діє магнітне поле статора, приводячи в рух. Будь-які транспортні засоби на електротязі для обертання валів, на яких розміщено колеса, використовують силу Ампера (трамваї, електрокари, електропоїзди тощо).

Також магнітне поле рухає механізми електроприводів (електро-двері, розсувні ворота, двері ліфта). Іншими словами: будь-які пристрої, які працюють на електриці і мають рухомі вузли, засновані на використанні закону Ампера.

Також, він застосовується в багатьох інших видах електротехніки — навушниках чи наприклад, у динамічному гучномовці (динаміку): в ньому для збудження мембрани, яка виробляє звукові коливання, використовують постійний магніт, на нього під дією електромагнітного поля, створюваного розташованим поруч провідником зі струмом, діє сила Ампера, яка змінюється відповідно до потрібної звукової частоти.

Також:

  • Електродинамічне стиснення плазми; наприклад, у токамаках, установках Z-пінч.
  • Електродинамічний метод пресування.

Сила Ампера і третій закон Ньютона Редагувати

Нехай є два тонких провідники зі струмами і , що мають форму кривих і , які задані радіус-векторами і .

Для сил взаємодії нескінченно малих ділянок цих провідників третій закон Ньютона не виконується. А саме, сила Ампера для впливу елемента першого провідника на елемент другого не дорівнює взятій із протилежним знаком силі, що діє з боку елемента другого провідника на елемент першого :

Тут і  — поле, створюване ділянкою першого і ділянкою другого проводу, відповідно. Цей факт ні в якому разі не компрометує динаміки Ньютона, оскільки постійний струм може протікати тільки по замкнутому контуру — і, отже, третій закон Ньютона зобов'язаний діяти тільки для сил, з якими взаємодіють два замкнутих провідники зі струмом. На відміну від окремих елементів, для замкнутих контурів закон Ньютона виконується:

де і  — поле, створюване цілком першим і цілком другим проводом (а не їх окремими ділянками). Поле в кожному випадку знаходять з використанням формули Біо — Савара — Лапласа.

Детальніший виклад

Нехай є два тонких провідники зі струмами і , що мають форму кривих і , які задані радіус-векторами та . Силу, що діє на елемент струму одного дроту з боку елемента струму іншого дроту, знаходять за законом Біо — Савара — Лапласа: елемент струму , розташований у точці < math>\mathbf{r}_1</math>, створює в точці елементарне магнітне поле

За законом Ампера сила, що діє з боку поля на елемент струму , розташований у точці , дорівнює

Елемент струму , розташований у точці , створює в точці елементарне магнітне поле

Сила Ампера, що діє з боку поля на елемент струму , розташований у точці , дорівнює

У загальному випадку для довільних і сили і навіть не колінеарні, а отже, не підлягають третьому закону Ньютона: .

Цей результат, однак, не вказує на неспроможність динаміки Ньютона в цьому випадку. Загалом, постійний струм може текти лише по замкнутому контуру. Тому третій закон Ньютона має діяти тільки для сил, з якими взаємодіють два замкнуті провідники зі струмом. Можна переконатися, що для таких провідників третій закон Ньютона виконується.

Нехай криві і замкнуті. Тоді струм створює в точці магнітне поле

де інтегрування за виконується в напрямку струму . Сила Ампера, що діє з боку поля на контур зі струмом , дорівнює

де інтегрування за виконується в напрямку струму . Порядок інтегрування несуттєвий.

Аналогічно сила Ампера, що діє з боку поля , створюваного струмом , на контур зі струмом , дорівнює

Рівність еквівалентна рівності

Щоб довести цю останню рівність, зауважимо, що вираз для сили Ампера дуже схожий на вираз для циркуляції магнітного поля за замкнутим контуром, у якому зовнішній скалярний добуток замінили векторним добутком.

Користуючись тотожністю Лагранжа, подвійний векторний добуток у лівій частині рівності, що доводиться, можна записати так:

Тоді ліва частина рівності, що доводиться, набуде вигляду:

Розглянемо окремо інтеграл , який можна переписати в такому вигляді:

Виконавши заміну змінної у внутрішньому інтегралі на , де вектор змінюється за замкнутим контуром , виявимо, що внутрішній інтеграл є циркуляцією градієнтного поля за замкнутим контуром. Отже, він дорівнює нулю:

Отже, і весь подвійний криволінійний інтеграл дорівнює нулю. У такому разі для сили можна записати:

Вираз для сили можна отримати з виразу для сили , просто з міркувань симетрії. Для цього проведемо заміну індексів: 2 міняємо на 1, а 1 — на 2. У такому разі для сили можна записати:

Теперь цілком очевидно, що . Отже, сила Ампера в разі замкнутих провідників підпорядкована третьому закону Ньютона.

Деякі історичні аспекти Редагувати

Виявлення ефекту Редагувати

1820 року Ганс Крістіан Ерстед відкрив, що провід, яким іде струм, створює магнітне поле і змушує відхилятися стрілку компаса. Він помітив, що магнітне поле перпендикулярне до струму, а не паралельне йому, як можна було б очікувати. Ампер, натхненний демонстрацією досліду Ерстеда, виявив, що два паралельні провідники, якими тече струм, притягуються або відштовхуються залежно від того, в одному чи різних напрямках по них тече струм. Таким чином, струм не лише створює магнітне поле, але й магнітне поле діє на струм. Вже через тиждень після оголошення Ерстедом про свій дослід, Ампер запропонував пояснення: провідник діє на магніт, через те що в магніті тече струм по безлічі маленьких замкнутих траєкторій.

Підбір формули для сили Редагувати

Закон взаємодії двох елементарних електричних струмів, відомий як закон Ампера, насправді пізніше запропонував Герман Грассман (тобто його було б правильніше називати законом Грассмана).

Оригінальний закон Ампера мав дещо іншу форму: сила, що діє з боку елемента струму , розташованого в точці , на елемент струму , розташований у точці , дорівнює

Силу, що діє з боку елемента струму , розташованого в точці , на елемент струму , розташований у точці , можна отримати з формули сили просто з міркувань симетрії, замінивши індекси: 2 на 1, а 1 на 2.

При цьому , тобто, оригінальний закон Ампера задовольняє третьому закону Ньютона вже в диференціальній формі. Ампер, перепробувавши низку виразів, зупинився саме на такому.

Якщо при розгляді якоїсь задачі розрахунку сили взаємодії (на ділі, несталих) незамкнутих струмів із порушенням третього закону Ньютона миритися не можна, є варіант використати оригінальний закон Ампера. У разі закону Грассмана при цьому доводиться включати до розгляду додаткову фізичну сутність — магнітне поле, щоб компенсувати недотримання третього закону.

Можна довести, що в інтегральній формі оригінального закону Ампера сили, з якими взаємодіють два замкнені провідники з постійними струмами, виходять тими самими, що й у законі Грассмана.

Доведення

Щоб довести це, запишемо силу в такому вигляді:

Очевидно, щоб сила вийшла тією ж, що й у законі Грассмана, достатньо довести, що другий доданок дорівнює нулю. Далі другий доданок будемо розглядати без жодних коефіцієнтів перед знаками інтегралів, оскільки ці коефіцієнти в загальному випадку нулю не дорівнюють, і тому нулю має дорівнювати сам подвійний криволінійний інтеграл.

Отже, позначимо . А довести слід, що

Припустимо, що в інтегрування проводиться спочатку за контуром . В цьому випадку можна зробити заміну змінної: , де вектор змінюється за замкнутим контуром . Тоді можна записати

Тепер при інтегрированні за контуром отримаємо деяку векторну функцію від , яку потім проінтегруємо за контуром .

Можна довести, що можна подати у вигляді , де обидва градієнти беруться за змінною . Доведення тривіальне, достатньо провести процедуру взяття градієнтів.

Далі за тотожністю Лагранжа можна записати:

Тут нуль вийшов як ротор градієнтного поля. У результаті вийшов повний диференціал векторної функції

. Значит, теперь можно представить в виде . Цей інтеграл можна взяти, проінтегрувавши окремо кожну проєкцію. Наприклад проінтегруємо проєкцію x.

Інтеграл від повного диференціала за будь-яким замкнутим контуром дорівнює нулю: , тому набуде вигляду:

Цього разу потрібно інтегрувати спочатку за контуром . Зробимо заміну змінної: , де вектор змінюється за замкнутим контуром . Тоді можна записати

де градієнт знову береться за змінною .

Оскільки у виразі знову з'явилася циркуляція градієнтного поля за замкнутим контуром, то .

Аналогічно можна записати для інших двох проєкцій:

Отже, .

Максвелл запропонував найзагальнішу форму закону взаємодії двох елементарних провідників зі струмом, у якій є коефіцієнт k (його не можна визначити без деяких припущень, що ґрунтуються на дослідах, у яких активний струм утворює замкнутий контур):

У власній теорії Ампер узяв , Гаус прийняв , як Грассман і Клаузіус. У неефірних електронних теоріях Вебер прийняв , а Ріман прийняв . Рітц у своїй теорії залишив невизначеним.

Для сили взаємодії двох замкнутих контурів і з виходить стандартний вираз.

Подробиці розрахунку

Тут перші два доданки об'єднано за тотожністю Лагранжа, третій доданок при інтегруванні за замкнутим контуром і дасть нуль. Справді,

Дата публікації:
Zakon Ampera zakon vzayemodiyi postijnih strumiv kotrij ustanoviv Andre Mari Amper 1820 roku Iz zakonu Ampera vihodit sho paralelni providniki z postijnimi strumami yaki techut v odnomu napryami prityaguyutsya a v protilezhnomu vidshtovhuyutsya Zakonom Ampera nazivayut takozh zakon sho viznachaye silu z yakoyu magnitne pole diye na nevelikij vidrizok providnika zi strumom source source source source source source source source source source source source source source Vzayemodiya dvoh elementarnih strumiv a paralelnih b antiparalelnih vsi vidrizki vektori lezhat v odnij ploshini Sila Ampera ce sila z yakoyu magnitne pole diye na providnik zi strumom F B I L sin a displaystyle F BIL sin alpha Sila Ampera zalezhit vid sili strumu I displaystyle I elementa chastini dovzhini providnika d l displaystyle dl kuta mizh napryamom strumu i napryamkom linij magnitnogo polya a displaystyle alpha ta magnitnoyi indukciyi B displaystyle B i zadayetsya formuloyu d F B I d l sin a displaystyle dF BIdl sin alpha U vektornij formi silu Ampera zapisuyut tak d F I d l B displaystyle d mathbf F I mathbf dl mathbf B Zmist 1 Fizichnij zmist zakonu Ampera 2 Vipadok dvoh paralelnih providnikiv 3 Proyavi zakonu Ampera 4 Zastosuvannya 5 Sila Ampera i tretij zakon Nyutona 6 Deyaki istorichni aspekti 6 1 Viyavlennya efektu 6 2 Pidbir formuli dlya sili 7 Zakon Ampera yak relyativistskij efekt 8 Div takozh 9 Literatura 10 DzherelaFizichnij zmist zakonu Ampera RedaguvatiPid zakonom Ampera mayut na uvazi sukupnist tverdzhen i formul sho rozkrivayut silovij vpliv na providnik zi strumom z boku magnitnogo polya mozhlivo stvorenogo inshim providnikom zi strumom Zakon viznachaye silu diyi malogo vidrizka providnika d l 1 displaystyle dl 1 nbsp zi strumom I 1 displaystyle I 1 nbsp na inshij malij vidrizok d l 2 displaystyle dl 2 nbsp zi strumom I 2 displaystyle I 2 nbsp d 2 F 12 m 0 I 1 I 2 4 p d l 2 d l 1 r 2 r 1 r 1 r 2 3 I 2 d l 2 d B 1 r 2 displaystyle d 2 vec F 12 frac mu 0 I 1 I 2 4 pi cdot frac d vec l 2 times d vec l 1 times vec r 2 vec r 1 vec r 1 vec r 2 3 I 2 d vec l 2 times d vec B 1 vec r 2 nbsp dd de r 1 displaystyle vec r 1 nbsp i r 2 displaystyle vec r 2 nbsp radius vektori elementiv dovzhini providnikiv d l 1 displaystyle d vec l 1 nbsp i d l 2 displaystyle d vec l 2 nbsp a d 2 F 12 displaystyle d 2 vec F 12 nbsp sila diyi elementa d l 1 displaystyle d vec l 1 nbsp yakij stvoryuye pole d B 1 r 2 displaystyle d vec B 1 vec r 2 nbsp v tochci r 2 displaystyle vec r 2 nbsp na element d l 2 displaystyle d vec l 2 nbsp m 0 displaystyle mu 0 nbsp magnitna stala silu vzayemodiyi dvoh providnih zamknutih konturiv formi C 1 displaystyle C 1 nbsp i C 2 displaystyle C 2 nbsp zi strumami I 1 displaystyle I 1 nbsp i I 2 displaystyle I 2 nbsp F 12 m 0 I 1 I 2 4 p C 2 C 1 d r 2 d r 1 r 2 r 1 r 1 r 2 3 displaystyle mathbf F 12 mu 0 I 1 I 2 over 4 pi oint limits mathbb C 2 oint limits mathbb C 1 frac mathrm d mathbf r 2 mathrm d mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 1 mathbf r 2 3 nbsp dd de r 1 displaystyle mathbf r 1 nbsp i r 2 displaystyle mathbf r 2 nbsp radius vektori yaki probigayut usi tochki konturiv C 1 displaystyle C 1 nbsp C 2 displaystyle C 2 nbsp a F 12 displaystyle mathbf F 12 nbsp sila z yakoyu kontur C 1 displaystyle C 1 nbsp diye na kontur C 2 displaystyle C 2 nbsp Po suti ce integruvannya virazu z poperednogo punktu silu z yakoyu magnitne pole diye na vidrizok providnika d l displaystyle dl nbsp zi strumom I displaystyle I nbsp A plosku dilyanku d S displaystyle dS nbsp zi strumom i displaystyle vec i nbsp A m abo malij ob yem d V displaystyle dV nbsp zi strumom j displaystyle vec j nbsp A m2 d F I d l B d F i d S B d F j d V B displaystyle d vec F Id vec l times vec B qquad d vec F vec i dS times vec B qquad d vec F vec j dV times vec B nbsp dd Napryamok sili d F displaystyle d vec F nbsp viznachayut za pravilom obchislennya vektornogo dobutku Yiyi modul u razi provodu znahodyat yak d F I B d l sin a displaystyle dF IBdl sin alpha nbsp de a displaystyle alpha nbsp kut mizh B displaystyle vec B nbsp i napryamkom strumu Sila najbilsha koli providnik perpendikulyarnij do linij magnitnoyi indukciyi a 90 displaystyle alpha 90 circ nbsp Integruvannya dozvolyaye otrimati silu diyi polya na ob yekt u cilomu Vipadok dvoh paralelnih providnikiv Redaguvati nbsp Dva neskinchennih rivnobizhnih providniki zi strumami u vakuumiNajvidomishim prikladom sho pokazuye silu Ampera ye taka zadacha U vakuumi na vidstani r displaystyle r nbsp odin vid odnogo roztashovani dva neskinchennih paralelnih providnika v yakih v odnomu napryamku techut strumi I 1 displaystyle I 1 nbsp i I 2 displaystyle I 2 nbsp Potribno znajti silu yaka diye na odinicyu dovzhini providnika Za zakonom Bio Savara Laplasa neskinchennij providnik zi strumom I 1 displaystyle I 1 nbsp u tochci na vidstani r displaystyle r nbsp stvoryuye magnitne pole z indukciyeyu B 1 r m 0 4 p 2 I 1 r e f displaystyle vec B 1 r frac mu 0 4 pi frac 2I 1 r vec e varphi nbsp de m 0 displaystyle mu 0 nbsp magnitna stala e f displaystyle vec e varphi nbsp odinichnij vektor uzdovzh kola vissyu simetriyi yakogo ye provid zi strumom I 1 displaystyle I 1 nbsp Za zakonom Ampera znajdemo silu z yakoyu pershij providnik diye na malu dilyanku d l displaystyle d vec l nbsp drugogo d F 12 I 2 d l B 1 r displaystyle d vec F 12 I 2 d vec l times vec B 1 r nbsp Za pravilom livoyi ruki d F 12 displaystyle d vec F 12 nbsp spryamovana v bik pershogo providnika tak samo sila d F 21 displaystyle d vec F 21 nbsp yaka diye na pershij providnik spryamovana v bik drugogo providnika Otzhe providniki prityaguyutsya Modul ciyeyi sili r displaystyle r nbsp vidstan mizh providnikami d F 12 m 0 4 p 2 I 1 I 2 r d l displaystyle dF 12 frac mu 0 4 pi frac 2I 1 I 2 r dl nbsp Integruyemo za dilyankoyu providnika dovzhini L displaystyle L nbsp mezhi integruvannya za l displaystyle l nbsp vid 0 do L displaystyle L nbsp F 12 m 0 4 p 2 I 1 I 2 r L displaystyle F 12 frac mu 0 4 pi frac 2I 1 I 2 r cdot L nbsp Yaksho L displaystyle L nbsp odinichna dovzhina to cej viraz zadaye shukanu silu vzayemodiyi Proyavi zakonu Ampera RedaguvatiElektrodinamichne zrushennya shin strumoprovodiv trifaznogo zminnogo strumu na pidstanciyah pid diyeyu strumiv korotkogo zamikannya Rozsuvannya strumoprovodiv rejkotrona pid chas postrilu Zastosuvannya RedaguvatiBud yaki vuzli v elektrotehnici de pid diyeyu elektromagnitnogo polya vidbuvayetsya ruh bud yakih elementiv vikoristovuyut zakon Ampera Princip roboti elektromehanichnih mashin ruh chastini obmotki rotora vidnosno chastini obmotki statora gruntuyetsya na vikoristanni zakonu Ampera i najbilsh poshirenij pristrij ce elektrodvigun abo sho konstruktivno majzhe te same generator Same pid diyeyu sili Ampera vidbuvayetsya obertannya rotora oskilki na jogo obmotku diye magnitne pole statora privodyachi v ruh Bud yaki transportni zasobi na elektrotyazi dlya obertannya valiv na yakih rozmisheno kolesa vikoristovuyut silu Ampera tramvayi elektrokari elektropoyizdi tosho Takozh magnitne pole ruhaye mehanizmi elektroprivodiv elektro dveri rozsuvni vorota dveri lifta Inshimi slovami bud yaki pristroyi yaki pracyuyut na elektrici i mayut ruhomi vuzli zasnovani na vikoristanni zakonu Ampera Takozh vin zastosovuyetsya v bagatoh inshih vidah elektrotehniki navushnikah chi napriklad u dinamichnomu guchnomovci dinamiku v nomu dlya zbudzhennya membrani yaka viroblyaye zvukovi kolivannya vikoristovuyut postijnij magnit na nogo pid diyeyu elektromagnitnogo polya stvoryuvanogo roztashovanim poruch providnikom zi strumom diye sila Ampera yaka zminyuyetsya vidpovidno do potribnoyi zvukovoyi chastoti Takozh Elektrodinamichne stisnennya plazmi napriklad u tokamakah ustanovkah Z pinch Elektrodinamichnij metod presuvannya Sila Ampera i tretij zakon Nyutona RedaguvatiNehaj ye dva tonkih providniki zi strumami I 1 displaystyle I 1 nbsp i I 2 displaystyle I 2 nbsp sho mayut formu krivih C 1 displaystyle C 1 nbsp i C 2 displaystyle C 2 nbsp yaki zadani radius vektorami r 1 displaystyle mathbf r 1 nbsp i r 2 displaystyle mathbf r 2 nbsp Dlya sil vzayemodiyi neskinchenno malih dilyanok cih providnikiv tretij zakon Nyutona ne vikonuyetsya A same sila Ampera dlya vplivu elementa pershogo providnika na element drugogo d 2 F 12 displaystyle mathrm d 2 mathbf F 12 nbsp ne dorivnyuye vzyatij iz protilezhnim znakom sili sho diye z boku elementa drugogo providnika na element pershogo d 2 F 21 displaystyle mathrm d 2 mathbf F 21 nbsp d 2 F 12 I 2 d r 2 d B 1 r 2 d 2 F 21 I 1 d r 1 d B 2 r 1 displaystyle mathrm d 2 mathbf F 12 I 2 mathrm d mathbf r 2 times mathrm d mathbf B 1 mathbf r 2 neq mathrm d 2 mathbf F 21 I 1 mathrm d mathbf r 1 times mathrm d mathbf B 2 mathbf r 1 nbsp Tut d B 1 displaystyle mathrm d mathbf B 1 nbsp i d B 2 displaystyle mathrm d mathbf B 2 nbsp pole stvoryuvane dilyankoyu pershogo i dilyankoyu drugogo provodu vidpovidno Cej fakt ni v yakomu razi ne komprometuye dinamiki Nyutona oskilki postijnij strum mozhe protikati tilki po zamknutomu konturu i otzhe tretij zakon Nyutona zobov yazanij diyati tilki dlya sil z yakimi vzayemodiyut dva zamknutih providniki zi strumom Na vidminu vid okremih elementiv dlya zamknutih konturiv zakon Nyutona vikonuyetsya F 12 C 2 I 2 d r 2 B 1 r 2 F 21 C 1 I 1 d r 1 B 2 r 1 displaystyle mathbf F 12 oint limits mathbb C 2 I 2 mathrm d mathbf r 2 times mathbf B 1 mathbf r 2 mathbf F 21 oint limits mathbb C 1 I 1 mathrm d mathbf r 1 times mathbf B 2 mathbf r 1 nbsp de B 1 displaystyle mathbf B 1 nbsp i B 2 displaystyle mathbf B 2 nbsp pole stvoryuvane cilkom pershim i cilkom drugim provodom a ne yih okremimi dilyankami Pole v kozhnomu vipadku znahodyat z vikoristannyam formuli Bio Savara Laplasa Detalnishij vikladNehaj ye dva tonkih providniki zi strumami I 1 displaystyle I 1 nbsp i I 2 displaystyle I 2 nbsp sho mayut formu krivih C 1 displaystyle C 1 nbsp i C 2 displaystyle C 2 nbsp yaki zadani radius vektorami r 1 displaystyle mathbf r 1 nbsp ta r 2 displaystyle mathbf r 2 nbsp Silu sho diye na element strumu odnogo drotu z boku elementa strumu inshogo drotu znahodyat za zakonom Bio Savara Laplasa element strumu I 1 d r 1 displaystyle I 1 mathrm d mathbf r 1 nbsp roztashovanij u tochci lt math gt mathbf r 1 lt math gt stvoryuye v tochci r 2 displaystyle mathbf r 2 nbsp elementarne magnitne pole d B 1 r 2 m 0 4 p I 1 d r 1 r 2 r 1 r 2 r 1 3 displaystyle mathrm d mathbf B 1 mathbf r 2 mu 0 over 4 pi frac I 1 mathrm d mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 3 nbsp Za zakonom Ampera sila sho diye z boku polya d B 1 r 2 displaystyle mathrm d mathbf B 1 mathbf r 2 nbsp na element strumu I 2 d r 2 displaystyle I 2 mathrm d mathbf r 2 nbsp roztashovanij u tochci r 2 displaystyle mathbf r 2 nbsp dorivnyuye d 2 F 12 I 2 d r 2 d B 1 r 2 m 0 I 1 I 2 4 p d r 2 d r 1 r 2 r 1 r 2 r 1 3 displaystyle mathrm d 2 mathbf F 12 I 2 mathrm d mathbf r 2 times mathrm d mathbf B 1 mathbf r 2 mu 0 I 1 I 2 over 4 pi frac mathrm d mathbf r 2 mathrm d mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 3 nbsp Element strumu I 2 d r 2 displaystyle I 2 mathrm d mathbf r 2 nbsp roztashovanij u tochci r 2 displaystyle mathbf r 2 nbsp stvoryuye v tochci r 1 displaystyle mathbf r 1 nbsp elementarne magnitne pole d B 2 r 1 m 0 4 p I 2 d r 2 r 1 r 2 r 2 r 1 3 displaystyle mathrm d mathbf B 2 mathbf r 1 mu 0 over 4 pi frac I 2 mathrm d mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 2 mathbf r 1 3 nbsp Sila Ampera sho diye z boku polya d B 2 r 1 displaystyle mathrm d mathbf B 2 mathbf r 1 nbsp na element strumu I 1 d r 1 displaystyle I 1 mathrm d mathbf r 1 nbsp roztashovanij u tochci r 1 displaystyle mathbf r 1 nbsp dorivnyuye d 2 F 21 I 1 d r 1 d B 2 r 1 m 0 I 1 I 2 4 p d r 1 d r 2 r 1 r 2 r 2 r 1 3 displaystyle mathrm d 2 mathbf F 21 I 1 mathrm d mathbf r 1 times mathrm d mathbf B 2 mathbf r 1 mu 0 I 1 I 2 over 4 pi frac mathrm d mathbf r 1 mathrm d mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 2 mathbf r 1 3 nbsp U zagalnomu vipadku dlya dovilnih r 1 displaystyle mathbf r 1 nbsp i r 2 displaystyle mathbf r 2 nbsp sili d 2 F 12 displaystyle mathrm d 2 mathbf F 12 nbsp i d 2 F 21 displaystyle mathrm d 2 mathbf F 21 nbsp navit ne kolinearni a otzhe ne pidlyagayut tretomu zakonu Nyutona d 2 F 12 d 2 F 21 0 displaystyle mathrm d 2 mathbf F 12 mathrm d 2 mathbf F 21 neq 0 nbsp Cej rezultat odnak ne vkazuye na nespromozhnist dinamiki Nyutona v comu vipadku Zagalom postijnij strum mozhe tekti lishe po zamknutomu konturu Tomu tretij zakon Nyutona maye diyati tilki dlya sil z yakimi vzayemodiyut dva zamknuti providniki zi strumom Mozhna perekonatisya sho dlya takih providnikiv tretij zakon Nyutona vikonuyetsya Nehaj krivi C 1 displaystyle C 1 nbsp i C 2 displaystyle C 2 nbsp zamknuti Todi strum I 1 displaystyle I 1 nbsp stvoryuye v tochci r 2 displaystyle mathbf r 2 nbsp magnitne pole B 1 r 2 m 0 I 1 4 p C 1 d r 1 r 2 r 1 r 2 r 1 3 displaystyle mathbf B 1 mathbf r 2 mu 0 I 1 over 4 pi oint limits mathbb C 1 frac mathrm d mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 3 nbsp de integruvannya za C 1 displaystyle C 1 nbsp vikonuyetsya v napryamku strumu I 1 displaystyle I 1 nbsp Sila Ampera sho diye z boku polya B 1 r 2 displaystyle mathbf B 1 mathbf r 2 nbsp na kontur C 2 displaystyle C 2 nbsp zi strumom I 2 displaystyle I 2 nbsp dorivnyuye F 12 C 2 I 2 d r 2 B 1 r 2 C 2 I 2 d r 2 m 0 I 1 4 p C 1 d r 1 r 2 r 1 r 2 r 1 3 m 0 I 1 I 2 4 p C 2 C 1 d r 2 d r 1 r 2 r 1 r 2 r 1 3 displaystyle mathbf F 12 oint limits mathbb C 2 I 2 mathrm d mathbf r 2 times mathbf B 1 mathbf r 2 oint limits mathbb C 2 I 2 mathrm d mathbf r 2 times mu 0 I 1 over 4 pi oint limits mathbb C 1 frac mathrm d mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 3 mu 0 I 1 I 2 over 4 pi oint limits mathbb C 2 oint limits mathbb C 1 frac mathrm d mathbf r 2 mathrm d mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 3 nbsp de integruvannya za C 2 displaystyle C 2 nbsp vikonuyetsya v napryamku strumu I 2 displaystyle I 2 nbsp Poryadok integruvannya nesuttyevij Analogichno sila Ampera sho diye z boku polya B 2 r 1 displaystyle mathbf B 2 mathbf r 1 nbsp stvoryuvanogo strumom I 2 displaystyle I 2 nbsp na kontur C 1 displaystyle C 1 nbsp zi strumom I 1 displaystyle I 1 nbsp dorivnyuye F 21 C 1 I 1 d r 1 B 2 r 1 m 0 I 1 I 2 4 p C 1 C 2 d r 1 d r 2 r 1 r 2 r 2 r 1 3 C 1 C 2 d 2 F 21 displaystyle mathbf F 21 oint limits mathbb C 1 I 1 mathrm d mathbf r 1 times mathbf B 2 mathbf r 1 mu 0 I 1 I 2 over 4 pi oint limits mathbb C 1 oint limits mathbb C 2 frac mathrm d mathbf r 1 mathrm d mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 2 mathbf r 1 3 oint limits mathbb C 1 oint limits mathbb C 2 mathrm d 2 mathbf F 21 nbsp Rivnist F 12 F 21 0 displaystyle mathbf F 12 mathbf F 21 0 nbsp ekvivalentna rivnosti C 2 C 1 d r 2 d r 1 r 2 r 1 r 2 r 1 3 C 1 C 2 d r 1 d r 2 r 2 r 1 r 2 r 1 3 displaystyle oint limits mathbb C 2 oint limits mathbb C 1 frac mathrm d mathbf r 2 mathrm d mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 3 oint limits mathbb C 1 oint limits mathbb C 2 frac mathrm d mathbf r 1 mathrm d mathbf r 2 mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 3 nbsp Shob dovesti cyu ostannyu rivnist zauvazhimo sho viraz dlya sili Ampera duzhe shozhij na viraz dlya cirkulyaciyi magnitnogo polya za zamknutim konturom u yakomu zovnishnij skalyarnij dobutok zaminili vektornim dobutkom Koristuyuchis totozhnistyu Lagranzha podvijnij vektornij dobutok u livij chastini rivnosti sho dovoditsya mozhna zapisati tak d r 2 d r 1 r 2 r 1 d r 1 d r 2 r 2 r 1 r 2 r 1 d r 2 d r 1 displaystyle mathrm d mathbf r 2 mathrm d mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 mathrm d mathbf r 1 mathrm d mathbf r 2 mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 mathrm d mathbf r 2 mathrm d mathbf r 1 nbsp Todi liva chastina rivnosti sho dovoditsya nabude viglyadu C 2 C 1 d r 2 d r 1 r 2 r 1 r 2 r 1 3 C 1 C 2 d r 1 d r 2 r 2 r 1 r 2 r 1 3 C 1 C 2 r 2 r 1 d r 2 d r 1 r 2 r 1 3 displaystyle oint limits mathbb C 2 oint limits mathbb C 1 frac mathrm d mathbf r 2 mathrm d mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 3 oint limits mathbb C 1 oint limits mathbb C 2 frac mathrm d mathbf r 1 mathrm d mathbf r 2 mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 3 oint limits mathbb C 1 oint limits mathbb C 2 frac mathbf r 2 mathbf r 1 mathrm d mathbf r 2 mathrm d mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 3 nbsp Rozglyanemo okremo integral C 1 C 2 d r 1 d r 2 r 2 r 1 r 2 r 1 3 displaystyle oint limits mathbb C 1 oint limits mathbb C 2 frac mathrm d mathbf r 1 mathrm d mathbf r 2 mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 3 nbsp yakij mozhna perepisati v takomu viglyadi C 1 C 2 d r 1 d r 2 r 2 r 1 r 2 r 1 3 C 1 d r 1 C 2 r 2 r 1 d r 2 r 1 r 2 r 1 3 displaystyle oint limits mathbb C 1 oint limits mathbb C 2 frac mathrm d mathbf r 1 mathrm d mathbf r 2 mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 3 oint limits mathbb C 1 mathrm d mathbf r 1 oint limits mathbb C 2 frac mathbf r 2 mathbf r 1 mathrm d mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 3 nbsp Vikonavshi zaminu zminnoyi u vnutrishnomu integrali na r r 2 r 1 displaystyle mathbf r mathbf r 2 mathbf r 1 nbsp de vektor r displaystyle mathbf r nbsp zminyuyetsya za zamknutim konturom C 2 displaystyle C 2 nbsp viyavimo sho vnutrishnij integral ye cirkulyaciyeyu gradiyentnogo polya za zamknutim konturom Otzhe vin dorivnyuye nulyu C 2 r 2 r 1 d r 2 r 1 r 2 r 1 3 C 2 r d r r 3 C 2 g r a d 1 r d r 0 displaystyle oint limits mathbb C 2 frac mathbf r 2 mathbf r 1 mathrm d mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 3 oint limits mathbb C 2 frac mathbf r mathrm d mathbf r mathbf r 3 oint limits mathbb C 2 mathrm grad frac 1 mathbf r mathrm d mathbf r 0 nbsp Otzhe i ves podvijnij krivolinijnij integral dorivnyuye nulyu U takomu razi dlya sili F 12 displaystyle mathbf F 12 nbsp mozhna zapisati F 12 m 0 I 1 I 2 4 p C 1 C 2 r 1 r 2 d r 2 d r 1 r 2 r 1 3 displaystyle mathbf F 12 mu 0 I 1 I 2 over 4 pi oint limits mathbb C 1 oint limits mathbb C 2 frac mathbf r 1 mathbf r 2 mathrm d mathbf r 2 mathrm d mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 3 nbsp Viraz dlya sili F 21 displaystyle mathbf F 21 nbsp mozhna otrimati z virazu dlya sili F 12 displaystyle mathbf F 12 nbsp prosto z mirkuvan simetriyi Dlya cogo provedemo zaminu indeksiv 2 minyayemo na 1 a 1 na 2 U takomu razi dlya sili F 21 displaystyle mathbf F 21 nbsp mozhna zapisati F 21 m 0 I 1 I 2 4 p C 1 C 2 r 2 r 1 d r 2 d r 1 r 2 r 1 3 displaystyle mathbf F 21 mu 0 I 1 I 2 over 4 pi oint limits mathbb C 1 oint limits mathbb C 2 frac mathbf r 2 mathbf r 1 mathrm d mathbf r 2 mathrm d mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 3 nbsp Teper cilkom ochevidno sho F 12 F 21 displaystyle mathbf F 12 mathbf F 21 nbsp Otzhe sila Ampera v razi zamknutih providnikiv pidporyadkovana tretomu zakonu Nyutona Deyaki istorichni aspekti RedaguvatiViyavlennya efektu Redaguvati 1820 roku Gans Kristian Ersted vidkriv sho provid yakim ide strum stvoryuye magnitne pole i zmushuye vidhilyatisya strilku kompasa Vin pomitiv sho magnitne pole perpendikulyarne do strumu a ne paralelne jomu yak mozhna bulo b ochikuvati Amper nathnennij demonstraciyeyu doslidu Ersteda viyaviv sho dva paralelni providniki yakimi teche strum prityaguyutsya abo vidshtovhuyutsya zalezhno vid togo v odnomu chi riznih napryamkah po nih teche strum Takim chinom strum ne lishe stvoryuye magnitne pole ale j magnitne pole diye na strum Vzhe cherez tizhden pislya ogoloshennya Erstedom pro svij doslid Amper zaproponuvav poyasnennya providnik diye na magnit cherez te sho v magniti teche strum po bezlichi malenkih zamknutih trayektorij 1 2 Pidbir formuli dlya sili Redaguvati Zakon vzayemodiyi dvoh elementarnih elektrichnih strumiv vidomij yak zakon Ampera naspravdi piznishe zaproponuvav German Grassman tobto jogo bulo b pravilnishe nazivati zakonom Grassmana Originalnij zakon Ampera mav desho inshu formu sila sho diye z boku elementa strumu I 1 d r 1 displaystyle I 1 mathrm d mathbf r 1 nbsp roztashovanogo v tochci r 1 displaystyle mathbf r 1 nbsp na element strumu I 2 d r 2 displaystyle I 2 mathrm d mathbf r 2 nbsp roztashovanij u tochci r 2 displaystyle mathbf r 2 nbsp dorivnyuye d 2 F 12 m 0 I 1 I 2 4 p r 1 r 2 r 1 r 2 3 2 d r 1 d r 2 3 r 1 r 2 d r 1 r 1 r 2 d r 2 r 1 r 2 2 displaystyle mathrm d 2 mathbf F 12 mu 0 I 1 I 2 over 4 pi frac mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 3 left 2 mathrm d mathbf r 1 mathrm d mathbf r 2 3 frac mathbf r 1 mathbf r 2 mathrm d mathbf r 1 mathbf r 1 mathbf r 2 mathrm d mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 2 right nbsp Silu sho diye z boku elementa strumu I 2 d r 2 displaystyle I 2 mathrm d mathbf r 2 nbsp roztashovanogo v tochci r 2 displaystyle mathbf r 2 nbsp na element strumu I 1 d r 1 displaystyle I 1 mathrm d mathbf r 1 nbsp roztashovanij u tochci r 1 displaystyle mathbf r 1 nbsp mozhna otrimati z formuli sili d 2 F 12 displaystyle mathrm d 2 mathbf F 12 nbsp prosto z mirkuvan simetriyi zaminivshi indeksi 2 na 1 a 1 na 2 Pri comu d 2 F 21 d 2 F 12 displaystyle mathrm d 2 mathbf F 21 mathrm d 2 mathbf F 12 nbsp tobto originalnij zakon Ampera zadovolnyaye tretomu zakonu Nyutona vzhe v diferencialnij formi Amper pereprobuvavshi nizku viraziv zupinivsya same na takomu Yaksho pri rozglyadi yakoyis zadachi rozrahunku sili vzayemodiyi na dili nestalih nezamknutih strumiv iz porushennyam tretogo zakonu Nyutona miritisya ne mozhna ye variant vikoristati originalnij zakon Ampera U razi zakonu Grassmana pri comu dovoditsya vklyuchati do rozglyadu dodatkovu fizichnu sutnist magnitne pole shob kompensuvati nedotrimannya tretogo zakonu Mozhna dovesti sho v integralnij formi originalnogo zakonu Ampera sili z yakimi vzayemodiyut dva zamkneni providniki z postijnimi strumami vihodyat timi samimi sho j u zakoni Grassmana DovedennyaShob dovesti ce zapishemo silu F 21 displaystyle mathbf F 21 nbsp v takomu viglyadi F 21 m 0 I 1 I 2 4 p C 1 C 2 r 2 r 1 d r 2 d r 1 r 2 r 1 3 m 0 I 1 I 2 4 p C 1 C 2 r 2 r 1 r 2 r 1 3 d r 1 d r 2 3 r 2 r 1 d r 1 r 2 r 1 d r 2 r 1 r 2 2 displaystyle mathbf F 21 mu 0 I 1 I 2 over 4 pi oint limits mathbb C 1 oint limits mathbb C 2 frac mathbf r 2 mathbf r 1 mathrm d mathbf r 2 mathrm d mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 3 mu 0 I 1 I 2 over 4 pi oint limits mathbb C 1 oint limits mathbb C 2 frac mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 3 mathrm d mathbf r 1 mathrm d mathbf r 2 3 frac mathbf r 2 mathbf r 1 mathrm d mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 mathrm d mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 2 nbsp Ochevidno shob sila vijshla tiyeyu zh sho j u zakoni Grassmana dostatno dovesti sho drugij dodanok dorivnyuye nulyu Dali drugij dodanok budemo rozglyadati bez zhodnih koeficiyentiv pered znakami integraliv oskilki ci koeficiyenti v zagalnomu vipadku nulyu ne dorivnyuyut i tomu nulyu maye dorivnyuvati sam podvijnij krivolinijnij integral Otzhe poznachimo P C 1 C 2 r 2 r 1 r 1 r 2 3 d r 1 d r 2 3 r 2 r 1 d r 1 r 2 r 1 d r 2 r 1 r 2 2 displaystyle mathbf P oint limits mathbb C 1 oint limits mathbb C 2 frac mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 1 mathbf r 2 3 mathrm d mathbf r 1 mathrm d mathbf r 2 3 frac mathbf r 2 mathbf r 1 mathrm d mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 mathrm d mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 2 nbsp A dovesti slid sho P 0 displaystyle mathbf P 0 nbsp Pripustimo sho v P displaystyle mathbf P nbsp integruvannya provoditsya spochatku za konturom C 2 displaystyle C 2 nbsp V comu vipadku mozhna zrobiti zaminu zminnoyi r r 2 r 1 displaystyle mathbf r mathbf r 2 mathbf r 1 nbsp de vektor r displaystyle mathbf r nbsp zminyuyetsya za zamknutim konturom C 2 displaystyle C 2 nbsp Todi mozhna zapisati P C 1 C 2 r r 3 d r 1 d r 3 r d r 1 r d r r 2 displaystyle mathbf P oint limits mathbb C 1 oint limits mathbb C 2 frac mathbf r mathbf r 3 mathrm d mathbf r 1 mathrm d mathbf r 3 frac mathbf r mathrm d mathbf r 1 mathbf r mathrm d mathbf r mathbf r 2 nbsp Teper pri integrirovanni za konturom C 2 displaystyle C 2 nbsp otrimayemo deyaku vektornu funkciyu vid r 1 displaystyle mathbf r 1 nbsp yaku potim prointegruyemo za konturom C 1 displaystyle C 1 nbsp Mozhna dovesti sho P displaystyle mathbf P nbsp mozhna podati u viglyadi P C 1 C 2 r g r a d g r a d 1 r d r d r 1 displaystyle mathbf P oint limits mathbb C 1 oint limits mathbb C 2 mathbf r mathrm grad mathrm grad frac 1 mathbf r mathrm d mathbf r mathrm d mathbf r 1 nbsp de obidva gradiyenti berutsya za zminnoyu r displaystyle mathbf r nbsp Dovedennya trivialne dostatno provesti proceduru vzyattya gradiyentiv Dali za totozhnistyu Lagranzha mozhna zapisati g r a d g r a d 1 r d r g r a d 1 r d r d r g r a d 1 r d r g r a d 1 r 0 g r a d 1 r x d x g r a d 1 r y d y g r a d 1 r z d z d g r a d 1 r displaystyle begin aligned amp mathrm grad mathrm grad frac 1 mathbf r mathrm d mathbf r nabla mathrm grad frac 1 mathbf r mathrm d mathbf r mathrm d mathbf r nabla mathrm grad frac 1 mathbf r mathrm d mathbf r nabla mathrm grad frac 1 mathbf r amp 0 partial mathrm grad frac 1 mathbf r over partial x mathrm d x partial mathrm grad frac 1 mathbf r over partial y mathrm d y partial mathrm grad frac 1 mathbf r over partial z mathrm d z mathrm d mathrm grad frac 1 mathbf r end aligned nbsp Tut nul vijshov yak rotor gradiyentnogo polya U rezultati vijshov povnij diferencial vektornoyi funkciyig r a d 1 r displaystyle mathrm grad frac 1 mathbf r nbsp Znachit teper P displaystyle mathbf P nbsp mozhno predstavit v vide P C 1 C 2 r d g r a d 1 r d r 1 displaystyle mathbf P oint limits mathbb C 1 oint limits mathbb C 2 mathbf r mathrm d mathrm grad frac 1 mathbf r mathrm d mathbf r 1 nbsp Cej integral mozhna vzyati prointegruvavshi okremo kozhnu proyekciyu Napriklad prointegruyemo proyekciyu x P x C 1 C 2 x d g r a d 1 r d r 1 C 1 d r 1 C 2 d x g r a d 1 r g r a d 1 r d x displaystyle P x oint limits mathbb C 1 oint limits mathbb C 2 x mathrm d mathrm grad frac 1 mathbf r mathrm d mathbf r 1 oint limits mathbb C 1 mathrm d mathbf r 1 oint limits mathbb C 2 mathrm d x mathrm grad frac 1 mathbf r mathrm grad frac 1 mathbf r mathrm d x nbsp Integral vid povnogo diferenciala za bud yakim zamknutim konturom dorivnyuye nulyu C 2 d x g r a d 1 r 0 displaystyle oint limits mathbb C 2 mathrm d x mathrm grad frac 1 mathbf r 0 nbsp tomu P x displaystyle P x nbsp nabude viglyadu P x C 1 d r 1 C 2 g r a d 1 r d x C 1 d r 1 C 2 r 1 r 2 r 1 r 2 3 d x 2 displaystyle P x oint limits mathbb C 1 mathrm d mathbf r 1 oint limits mathbb C 2 mathrm grad frac 1 mathbf r mathrm d x oint limits mathbb C 1 mathrm d mathbf r 1 oint limits mathbb C 2 frac mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 3 mathrm d x 2 nbsp Cogo razu potribno integruvati spochatku za konturom C 1 displaystyle C 1 nbsp Zrobimo zaminu zminnoyi r r 1 r 2 displaystyle mathbf r mathbf r 1 mathbf r 2 nbsp de vektor r displaystyle mathbf r nbsp zminyuyetsya za zamknutim konturom C 1 displaystyle C 1 nbsp Todi mozhna zapisati P x C 2 d x 2 C 1 d r r r 3 C 2 d x 2 C 1 d r g r a d 1 r 0 displaystyle P x oint limits mathbb C 2 mathrm d x 2 oint limits mathbb C 1 mathrm d mathbf r frac mathbf r mathbf r 3 oint limits mathbb C 2 mathrm d x 2 oint limits mathbb C 1 mathrm d mathbf r mathrm grad frac 1 mathbf r 0 nbsp de gradiyent znovu beretsya za zminnoyu r displaystyle mathbf r nbsp Oskilki u virazi znovu z yavilasya cirkulyaciya gradiyentnogo polya za zamknutim konturom to P x 0 displaystyle P x 0 nbsp Analogichno mozhna zapisati dlya inshih dvoh proyekcij P y C 1 C 2 y d g r a d 1 r d r 1 C 1 d r 1 C 2 d y g r a d 1 r g r a d 1 r d y 0 displaystyle P y oint limits mathbb C 1 oint limits mathbb C 2 y mathrm d mathrm grad frac 1 mathbf r mathrm d mathbf r 1 oint limits mathbb C 1 mathrm d mathbf r 1 oint limits mathbb C 2 mathrm d y mathrm grad frac 1 mathbf r mathrm grad frac 1 mathbf r mathrm d y 0 nbsp P z C 1 C 2 z d g r a d 1 r d r 1 C 1 d r 1 C 2 d z g r a d 1 r g r a d 1 r d z 0 displaystyle P z oint limits mathbb C 1 oint limits mathbb C 2 z mathrm d mathrm grad frac 1 mathbf r mathrm d mathbf r 1 oint limits mathbb C 1 mathrm d mathbf r 1 oint limits mathbb C 2 mathrm d z mathrm grad frac 1 mathbf r mathrm grad frac 1 mathbf r mathrm d z 0 nbsp Otzhe P 0 displaystyle mathbf P 0 nbsp Maksvell zaproponuvav najzagalnishu formu zakonu vzayemodiyi dvoh elementarnih providnikiv zi strumom u yakij ye koeficiyent k jogo ne mozhna viznachiti bez deyakih pripushen sho gruntuyutsya na doslidah u yakih aktivnij strum utvoryuye zamknutij kontur 3 d 2 F 12 1 2 m 0 I 1 I 2 4 p 3 k r 1 r 2 d r 1 d r 2 r 1 r 2 3 3 1 k r 1 r 2 r 1 r 2 d r 1 r 1 r 2 d r 2 r 1 r 2 5 1 k d r 1 r 1 r 2 d r 2 r 1 r 2 3 1 k d r 2 r 1 r 2 d r 1 r 1 r 2 3 displaystyle mathrm d 2 mathbf F 12 frac 1 2 mu 0 I 1 I 2 over 4 pi left begin aligned amp 3 k frac mathbf r 1 mathbf r 2 mathrm d mathbf r 1 mathrm d mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 3 3 1 k frac mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 mathrm d mathbf r 1 mathbf r 1 mathbf r 2 mathrm d mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 5 amp 1 k frac mathrm d mathbf r 1 mathbf r 1 mathbf r 2 mathrm d mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 3 1 k frac mathrm d mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 mathrm d mathbf r 1 mathbf r 1 mathbf r 2 3 end aligned right nbsp U vlasnij teoriyi Amper uzyav k 1 displaystyle k 1 nbsp Gaus prijnyav k 1 displaystyle k 1 nbsp yak Grassman i Klauzius U neefirnih elektronnih teoriyah Veber prijnyav k 1 displaystyle k 1 nbsp a Riman prijnyav k 1 displaystyle k 1 nbsp Ritc u svoyij teoriyi zalishiv k displaystyle k nbsp neviznachenim Dlya sili vzayemodiyi dvoh zamknutih konturiv C 1 displaystyle C 1 nbsp i C 2 displaystyle C 2 nbsp z k 1 displaystyle k 1 nbsp vihodit standartnij viraz Podrobici rozrahunkud 2 F 12 m 0 I 1 I 2 4 p r 1 r 2 d r 1 d r 2 r 1 r 2 3 d r 1 r 1 r 2 d r 2 r 1 r 2 3 d r 2 r 1 r 2 d r 1 r 1 r 2 3 m 0 I 1 I 2 4 p d r 2 d r 1 r 2 r 1 r 1 r 2 3 d r 2 r 1 r 2 d r 1 r 1 r 2 3 displaystyle begin aligned amp mathrm d 2 mathbf F 12 mu 0 I 1 I 2 over 4 pi left frac mathbf r 1 mathbf r 2 mathrm d mathbf r 1 mathrm d mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 3 frac mathrm d mathbf r 1 mathbf r 1 mathbf r 2 mathrm d mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 3 frac mathrm d mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 mathrm d mathbf r 1 mathbf r 1 mathbf r 2 3 right amp mu 0 I 1 I 2 over 4 pi left frac mathrm d mathbf r 2 mathrm d mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 1 mathbf r 2 3 frac mathrm d mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 mathrm d mathbf r 1 mathbf r 1 mathbf r 2 3 right end aligned nbsp Tut pershi dva dodanki ob yednano za totozhnistyu Lagranzha tretij dodanok pri integruvanni za zamknutim konturom C 1 displaystyle C 1 nbsp i C 2 displaystyle C 2 nbsp dast nul Spravdi C 2 C 1 d r 2 r 1 r 2 d r 1 r 1 r 2 3 r r 1 r 2 C mn