В теорії динамічних систем, розділі математики, відображення Пуанкаре (також відображення першого повернення) — це проєкція деякої площинки у фазовому просторі на себе (або на іншу площинку) уздовж траєкторій (фазових кривих) системи.
Докладніше відображення Пуанкаре визначається так. Розглянемо деяку ділянку поверхні у фазовому просторі (перетин Пуанкаре), трансверсальну до векторного поля системи (тобто не дотичну до поля; часто кажуть просто трансверсаль). З точки на трансверсалі випустимо траєкторію системи. Припустимо, що в якийсь момент траєкторія вперше перетнула трансверсаль знову; позначимо точку перетину через . Відображення Пуанкаре точці ставить у відповідність точку першого повернення . Якщо траєкторія, випущена з , ніколи не повертається на трансверсаль, то відображення Пуанкаре в цій точці не визначено.
Аналогічно можна визначити відображення Пуанкаре не тільки з трансверсалі на себе, але і з однієї трансверсалі на іншу.
Ітерації відображення Пуанкаре з деякої трансверсалі на себе утворюють динамічну систему з дискретним часом на фазовому просторі меншої розмірності. Властивості цієї системи мають тісний зв'язок із властивостями початкової системи з неперервним часом (наприклад, нерухомі і періодичні точки відображення Пуанкаре відповідають замкнутим траєкторіям системи). Тим самим встановлюється зв'язок між векторними полями і їх потоками з одного боку й ітераціями відображень — з іншого. Відображення Пуанкаре є важливим інструментом дослідження динамічних систем з неперервним часом.
Див. також ред.
Посилання ред.
- Каток А. Б.[ru], Хассельблат Б.[de]. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М. : МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.