Біфуркаційна теорема Гопфа

Інші назви — теорема Гопфа, теорема Пуанкаре-Андронова-Гопфа. Теорема про умову виникнення біфуркації Гопфа. Теорема встановлена австрійським математиком Ебергардом Гопфом у 1942.

Розглянемо n-вимірну автономну систему диференціальних рівнянь

, (1)

що залежить від дійсного параметра . Ми припускаємо, що (1) допускає аналітичне сімейство станів рівноваги, тобто . Без обмеження загальності можна вважати, що цим сімейством є , тобто . Припустимо, що при деякому , наприклад при , матриця має два чисто уявних власних значення і не існує інших власних значень , що цілочисельно кратні . Хай є продовженням по параметру власного значення . Припустимо, що .

Теорема Гопфа. При сформульованих умовах існують неперервні функції і , що залежать від параметра , , і такі, що у рівняння (1) існують періодичні розв'язки періоду , що влипають у початок координат при .

Джерела

• Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М. : Мир, 1980. — 368 с.
• Мозер Ю., Цендер Э. Заметки о динамических системах. — Ижевск : РХД, 2011. — 356 с.