www.wikidata.uk-ua.nina.az

Єгипетський дріб в математиці сума різних одиничних дробів типу 1 n displaystyle frac 1 n наприклад 1 2 1 3 1 16 display

Єгипетський дріб

Єгипетський дріб — в математиці сума різних одиничних дробів типу , наприклад . Так що кожен дріб є виразом в якому чисельник дорівнює 1, а знаменник — додатне ціле число, причому так, що знаменники всі різні. Сума виразу такого типу — це додатне раціональне число a/b; наприклад сума вищенаведеного єгипетського дробу — 43/48. Кожне додатне раціональне число може бути представлене у вигляді єгипетського дробу. Суми такого типу та подібні їм з доданками 2/3 і 3/4 використовували стародавні єгипетські математики для запису раціональних чисел, їх продовжували використовувати і пізніші цивілізації аж до середніх віків. Звичайні дроби та десяткові дроби з часом витіснили єгипетські дроби зі вжитку. Все ж єгипетські дроби залишаються об'єктом досліджень сучасної теорії чисел та розважальної математики, а також в історичних студіях стародавньої математики.

Історія Редагувати

Стародавній Єгипет Редагувати

Єгипетські дроби були винайдені і вперше використані в стародавньому Єгипті. Одним з перших відомих згадок про єгипетські дроби є математичний папірус Рінда. Три більш давніх тексти, в яких згадуються єгипетські дроби — це Єгипетський математичний шкіряний сувій, московський математичний папірус і дерев'яна табличка Ахмім. Папірус Рінда був написаний писарем Ахмесом в епоху Другого перехідного періоду; він включає таблицю єгипетських дробів для раціональних чисел виду 2/ n , а також 84 математичні задачі, їх рішення та відповіді, записані у вигляді єгипетських дробів.

Єгиптяни ставили ієрогліф

(ер, «[один] з» або ре, рот) над числом для позначення одиничного дробу в звичайному записі, а в священних текстах використовували лінію. Наприклад:



У них також були спеціальні символи для дробів 1/2, 2/3 і 3/4, якими можна було записувати також інші дроби (більші за 1/2).

Єгиптяни також використовували і інші форми запису, основані на ієрогліфі Око Гора для представлення спеціального набору дробів виду 1/2k (для k = 1, 2, …, 6), тобто, двоелементних раціональних чисел. Такі дроби використовувалися разом з іншими формами записи єгипетських дробів для того, щоб поділити хекат (~ 4,785 л), основну міру обсягу в Давньому Єгипті. Цей комбінований запис також використовувався для вимірювання об'єму зерна, хліб а та пива. Якщо після запису кількості у вигляді дробу Ока Гору залишався якийсь залишок, його записували в звичайному вигляді кратно ро, одиниці виміру, рівний 1/320 Хекат.

Наприклад, так:

При цьому "рот " містився перед усіма ієрогліфами.

Античність і Середньовіччя Редагувати

Єгипетські дроби продовжували використовуватися в стародавній Греції і згодом математиками всього світу до Середньовіччя, незважаючи на наявні до них зауваження стародавніх математиків (наприклад, Клавдій Птолемей говорив про незручність використання єгипетських дробів в порівнянні з Вавилонською системою. Важливу роботу в дослідженні єгипетських дробів провів математик XIII століття Фібоначчі у своїй праці «Liber Abaci».

Основна тема «Liber Abaci» — обчислення, що використовують десяткові і звичайні дроби, що витіснили з часом єгипетські дроби. Фібоначчі використовував складний запис дробів, що включав запис чисел зі змішаною підставою і запис у вигляді сум дробів, часто використовувалися і єгипетські дроби. Також у книзі були наведені алгоритми перекладу зі звичайних дробів в єгипетські.

Алгоритм Фібоначчі Редагувати

Перший метод розкладання довільного дробу на єгипетські складові описав Фібоначчі в XIII столітті. У сучасному записі його алгоритм можна викласти таким чином.

1. Дріб розкладається на 2 доданки:

Тут  — частка від ділення n на m, округлене до цілого в більшу сторону, а  — (додатня) остача від ділення -n на m.

2. Перший доданок у правій частині вже має вигляд єгипетського дробу. З формули видно, що чисельник другого доданка строго менше, ніж у вихідного дробу. Аналогічно, за тією ж формулою, розкладемо другий доданок і продовжимо цей процес, поки не отримаємо доданок з чисельником 1.

Метод Фібоначчі завжди сходиться після кінцевого числа кроків і дає розкладання, яке шукали. Приклад:

Але отримане таким методом розкладання може виявитися не найкоротшим. Приклад його невдалого застосування:

в той час як більш досконалі алгоритми призводять до розкладання:

Розклад Енгеля Редагувати

Розклад Енгеля є ще одним методом представлення чисел у вигляді єгипетського дробу. Існує кілька алгоритмів виконання такого розкладу.

Сучасна теорія чисел Редагувати

Сучасні математики продовжують досліджувати ряд задач, пов'язаних з єгипетськими дробом.

  • В кінці минулого століття було дано оцінки максимального знаменника і довжини розкладання довільного дробу в єгипетські. Дріб x/y має розкладання в єгипетські дроби з максимальним знаменником не більше

і з числом доданків не більше:

  • Гіпотеза Ердеша - Грехема[en] стверджує, що для всякої розмальовки цілих чисел більших 1 в r > 0 кольорів існує кінцеве однокольорове підмножина S цілих чисел, таких, що

Ця гіпотеза доведена Ернестом Крутом[en] в 2003 році.

Відкриті проблеми Редагувати

Єгипетські дроби ставлять ряд важких і донині невирішених математичних проблем.

  • Гіпотеза Ердеша - Страуса[en] стверджує, що для будь-якого цілого числа n ≥ 2, існують додатні цілі x, y і z такі, що

Література Редагувати

  • Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. [ 27 березня 2009 у Wayback Machine.] Перевод с голландского Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959, 456 с. (Репринт: М.: УРСС, 2007)
  • Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук (Догреческая математика). Т. 1. М.-Л.: ОНТИ, 1937.
  • Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968. (Репринт: М.: УРСС, 2003)
  • Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск, Мордовское гос. изд-во, 1977.
  • Раик А. Е. К истории египетских дробей. Историко-математические исследования, 23, 1978, с. 181–191.
  • Яновская С. А. К теории египетских дробей. Труды Института истории естествознания, 1, 1947, с. 269–282.
  • Beeckmans, L. (1993). The splitting algorythm for Egyptian fractions. Journal of Number Theory 43: 173–185. 
  • Botts, Truman (1967). A chain reaction process in number theory. Mathematics Magazine: 55–65. 
  • Breusch, R. (1954). A special case of Egyptian fractions, solution to advanced problem 4512. American Mathematical Monthly 61: 200–201. 
  • Bruins, Evert M. (1957). Platon et la tabl égyptienne 2/n. Janus 46: 253–263. 
  • Eves, Howard (1953). An Introduction to the History of Mathematics,. Holt, Reinhard, and Winston. 0-03-029558-0. 
  • Gillings, Richard J. (1982). Mathematics in the Time of the Pharaohs. Dover. ISBN 0-486-24315-X. 
  • Graham, R. L. (1964). . Pacific Journal of Mathematics 14 (1): 85–92. Архів оригіналу за 22 листопада 2009. Процитовано 28 травня 2014. 
  • Hultsch, Friedrich (1895). Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung. Leipzig: S. Hirzel. 
  • Knorr, Wilbur R. (1982). Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece. Historia Mathematica 9: 133–171. 
  • Lüneburg, Heinz (1993). Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. Mannheim: B. I. Wissenschaftsverlag. ISBN 3-411-15461-6. 
  • Martin, G. (1999). Dense Egyptian fractions. Transactions of the American Mathematical Society 351: 3641–3657. 
  • Menninger, Karl W. (1969). Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. MIT Press. ISBN 0-262-13040-8. 
  • Robins, Gay; Shute, Charles (1990). The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. Dover. ISBN 0-486-26407-6. 
  • Stewart, B. M. (1954). Sums of distinct divisors. American Journal of Mathematics 76: 779–785. 
  • Stewart, I. (1992). The riddle of the vanishing camel. Scientific American (June): 122–124. 
  • Struik, Dirk J. (1967). A Concise History of Mathematics. Dover. с. 20–25. ISBN 0-486-60255-9. 
  • Takenouchi, T. (1921). On an indeterminate equation. Proc. Physico-Mathematical Soc. of Japan, 3rd ser. 3: 78–92. 
  • Tenenbaum, G.; Yokota, H. (1990). Length and denominators of Egyptian fractions. Journal of Number Theory 35: 150–156. 
  • Vose, M. (1985). Egyptian fractions. Bulletin of the London Mathematical Society 17: 21. 
  • Wagon, S. (1991). Mathematica in Action. W.H. Freeman. с. 271–277. 

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Yegipetskij drib v matematici suma riznih odinichnih drobiv tipu 1 n displaystyle frac 1 n napriklad 1 2 1 3 1 16 displaystyle tfrac 1 2 tfrac 1 3 tfrac 1 16 Tak sho kozhen drib ye virazom v yakomu chiselnik dorivnyuye 1 a znamennik dodatne cile chislo prichomu tak sho znamenniki vsi rizni Suma virazu takogo tipu ce dodatne racionalne chislo a b napriklad suma vishenavedenogo yegipetskogo drobu 43 48 Kozhne dodatne racionalne chislo mozhe buti predstavlene u viglyadi yegipetskogo drobu Sumi takogo tipu ta podibni yim z dodankami 2 3 i 3 4 vikoristovuvali starodavni yegipetski matematiki dlya zapisu racionalnih chisel yih prodovzhuvali vikoristovuvati i piznishi civilizaciyi azh do serednih vikiv Zvichajni drobi ta desyatkovi drobi z chasom vitisnili yegipetski drobi zi vzhitku Vse zh yegipetski drobi zalishayutsya ob yektom doslidzhen suchasnoyi teoriyi chisel ta rozvazhalnoyi matematiki a takozh v istorichnih studiyah starodavnoyi matematiki Zmist 1 Istoriya 1 1 Starodavnij Yegipet 1 2 Antichnist i Serednovichchya 1 3 Algoritm Fibonachchi 1 4 Rozklad Engelya 2 Suchasna teoriya chisel 3 Vidkriti problemi 4 Literatura 5 PosilannyaIstoriya RedaguvatiStarodavnij Yegipet Redaguvati Dodatkovu informaciyu za danim pitannyam div v Yegipetska sistema chislennya Yegipetski drobi buli vinajdeni i vpershe vikoristani v starodavnomu Yegipti Odnim z pershih vidomih zgadok pro yegipetski drobi ye matematichnij papirus Rinda Tri bilsh davnih teksti v yakih zgaduyutsya yegipetski drobi ce Yegipetskij matematichnij shkiryanij suvij moskovskij matematichnij papirus i derev yana tablichka Ahmim Papirus Rinda buv napisanij pisarem Ahmesom v epohu Drugogo perehidnogo periodu vin vklyuchaye tablicyu yegipetskih drobiv dlya racionalnih chisel vidu 2 n a takozh 84 matematichni zadachi yih rishennya ta vidpovidi zapisani u viglyadi yegipetskih drobiv Yegiptyani stavili iyeroglif er odin z abo re rot nad chislom dlya poznachennya odinichnogo drobu v zvichajnomu zapisi a v svyashennih tekstah vikoristovuvali liniyu Napriklad 1 3 displaystyle frac 1 3 nbsp 1 10 displaystyle frac 1 10 nbsp U nih takozh buli specialni simvoli dlya drobiv 1 2 2 3 i 3 4 yakimi mozhna bulo zapisuvati takozh inshi drobi bilshi za 1 2 1 2 displaystyle frac 1 2 nbsp 2 3 displaystyle frac 2 3 nbsp 3 4 displaystyle frac 3 4 nbsp Yegiptyani takozh vikoristovuvali i inshi formi zapisu osnovani na iyeroglifi Oko Gora dlya predstavlennya specialnogo naboru drobiv vidu 1 2k dlya k 1 2 6 tobto dvoelementnih racionalnih chisel Taki drobi vikoristovuvalisya razom z inshimi formami zapisi yegipetskih drobiv dlya togo shob podiliti hekat 4 785 l osnovnu miru obsyagu v Davnomu Yegipti Cej kombinovanij zapis takozh vikoristovuvavsya dlya vimiryuvannya ob yemu zerna hlib a ta piva Yaksho pislya zapisu kilkosti u viglyadi drobu Oka Goru zalishavsya yakijs zalishok jogo zapisuvali v zvichajnomu viglyadi kratno ro odinici vimiru rivnij 1 320 Hekat Napriklad tak 1 331 displaystyle frac 1 331 nbsp Pri comu rot mistivsya pered usima iyeroglifami Antichnist i Serednovichchya Redaguvati Yegipetski drobi prodovzhuvali vikoristovuvatisya v starodavnij Greciyi i zgodom matematikami vsogo svitu do Serednovichchya nezvazhayuchi na nayavni do nih zauvazhennya starodavnih matematikiv napriklad Klavdij Ptolemej govoriv pro nezruchnist vikoristannya yegipetskih drobiv v porivnyanni z Vavilonskoyu sistemoyu Vazhlivu robotu v doslidzhenni yegipetskih drobiv proviv matematik XIII stolittya Fibonachchi u svoyij praci Liber Abaci Osnovna tema Liber Abaci obchislennya sho vikoristovuyut desyatkovi i zvichajni drobi sho vitisnili z chasom yegipetski drobi Fibonachchi vikoristovuvav skladnij zapis drobiv sho vklyuchav zapis chisel zi zmishanoyu pidstavoyu i zapis u viglyadi sum drobiv chasto vikoristovuvalisya i yegipetski drobi Takozh u knizi buli navedeni algoritmi perekladu zi zvichajnih drobiv v yegipetski Algoritm Fibonachchi Redaguvati Pershij metod rozkladannya dovilnogo drobu na yegipetski skladovi opisav Fibonachchi v XIII stolitti U suchasnomu zapisi jogo algoritm mozhna viklasti takim chinom 1 Drib m n displaystyle frac m n nbsp rozkladayetsya na 2 dodanki m n 1 n m n mod m n n m displaystyle frac m n frac 1 lceil n m rceil frac n bmod m n lceil n m rceil nbsp Tut n m displaystyle lceil n m rceil nbsp chastka vid dilennya n na m okruglene do cilogo v bilshu storonu a n mod m displaystyle n bmod m nbsp dodatnya ostacha vid dilennya n na m 2 Pershij dodanok u pravij chastini vzhe maye viglyad yegipetskogo drobu Z formuli vidno sho chiselnik drugogo dodanka strogo menshe nizh u vihidnogo drobu Analogichno za tiyeyu zh formuloyu rozklademo drugij dodanok i prodovzhimo cej proces poki ne otrimayemo dodanok z chiselnikom 1 Metod Fibonachchi zavzhdi shoditsya pislya kincevogo chisla krokiv i daye rozkladannya yake shukali Priklad 7 15 1 3 2 15 1 3 1 8 1 120 displaystyle frac 7 15 frac 1 3 frac 2 15 frac 1 3 frac 1 8 frac 1 120 nbsp Ale otrimane takim metodom rozkladannya mozhe viyavitisya ne najkorotshim Priklad jogo nevdalogo zastosuvannya 5 121 1 25 1 757 1 763309 1 873960180913 1 1527612795642093418846225 displaystyle frac 5 121 frac 1 25 frac 1 757 frac 1 763309 frac 1 873960180913 frac 1 1527612795642093418846225 nbsp v toj chas yak bilsh doskonali algoritmi prizvodyat do rozkladannya 5 121 1 33 1 121 1 363 displaystyle frac 5 121 frac 1 33 frac 1 121 frac 1 363 nbsp Rozklad Engelya Redaguvati Dokladnishe Rozklad EngelyaRozklad Engelya ye she odnim metodom predstavlennya chisel u viglyadi yegipetskogo drobu Isnuye kilka algoritmiv vikonannya takogo rozkladu Suchasna teoriya chisel RedaguvatiSuchasni matematiki prodovzhuyut doslidzhuvati ryad zadach pov yazanih z yegipetskimi drobom V kinci minulogo stolittya bulo dano ocinki maksimalnogo znamennika i dovzhini rozkladannya dovilnogo drobu v yegipetski Drib x y maye rozkladannya v yegipetski drobi z maksimalnim znamennikom ne bilsheO y log 2 y log log y displaystyle O left frac y log 2 y log log y right nbsp dd i z chislom dodankiv ne bilshe O log y displaystyle O left sqrt log y right nbsp dd Gipoteza Erdesha Grehema en stverdzhuye sho dlya vsyakoyi rozmalovki cilih chisel bilshih 1 v r gt 0 koloriv isnuye kinceve odnokolorove pidmnozhina S cilih chisel takih sho n S 1 n 1 displaystyle sum n in S 1 n 1 nbsp dd Cya gipoteza dovedena Ernestom Krutom en v 2003 roci Vidkriti problemi RedaguvatiYegipetski drobi stavlyat ryad vazhkih i donini nevirishenih matematichnih problem Gipoteza Erdesha Strausa en stverdzhuye sho dlya bud yakogo cilogo chisla n 2 isnuyut dodatni cili x y i z taki sho4 n 1 x 1 y 1 z displaystyle frac 4 n frac 1 x frac 1 y frac 1 z nbsp Komp yuterni eksperimenti pokazuyut sho gipoteza virna dlya vsih n 1014 ale dokaz poki ne znajdeno Uzagalnennya ciyeyi gipotezi stverdzhuye sho dlya bud yakogo dodatnogo k isnuye N take sho dlya vsih n N isnuye rozkladannyak n 1 x 1 y 1 z displaystyle frac k n frac 1 x frac 1 y frac 1 z nbsp Cya gipoteza nalezhit Andzheyu Shincelyu en Literatura RedaguvatiVan der Varden Probuzhdayushayasya nauka Matematika drevnego Egipta Vavilona i Grecii Arhivovano 27 bereznya 2009 u Wayback Machine Perevod s gollandskogo N Veselovskogo M Fizmatgiz 1959 456 s Reprint M URSS 2007 Nejgebauer O Lekcii po istorii antichnyh matematicheskih nauk Dogrecheskaya matematika T 1 M L ONTI 1937 Nejgebauer O Tochnye nauki v drevnosti M Nauka 1968 Reprint M URSS 2003 Raik A E Ocherki po istorii matematiki v drevnosti Saransk Mordovskoe gos izd vo 1977 Raik A E K istorii egipetskih drobej Istoriko matematicheskie issledovaniya 23 1978 s 181 191 Yanovskaya S A K teorii egipetskih drobej Trudy Instituta istorii estestvoznaniya 1 1947 s 269 282 Beeckmans L 1993 The splitting algorythm for Egyptian fractions Journal of Number Theory 43 173 185 Botts Truman 1967 A chain reaction process in number theory Mathematics Magazine 55 65 Breusch R 1954 A special case of Egyptian fractions solution to advanced problem 4512 American Mathematical Monthly 61 200 201 Bruins Evert M 1957 Platon et la tabl egyptienne 2 n Janus 46 253 263 Eves Howard 1953 An Introduction to the History of Mathematics Holt Reinhard and Winston 0 03 029558 0 Gillings Richard J 1982 Mathematics in the Time of the Pharaohs Dover ISBN 0 486 24315 X Graham R L 1964 On finite sums of reciprocals of distinct nth powers Pacific Journal of Mathematics 14 1 85 92 Arhiv originalu za 22 listopada 2009 Procitovano 28 travnya 2014 Hultsch Friedrich 1895 Die Elemente der agyptischen Theilungsrechnung Leipzig S Hirzel Knorr Wilbur R 1982 Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece Historia Mathematica 9 133 171 Luneburg Heinz 1993 Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnugen eines Mathematikers Mannheim B I Wissenschaftsverlag ISBN 3 411 15461 6 Martin G 1999 Dense Egyptian fractions Transactions of the American Mathematical Society 351 3641 3657 Menninger Karl W 1969 Number Words and Number Symbols A Cultural History of Numbers MIT Press ISBN 0 262 13040 8 Robins Gay Shute Charles 1990 The Rhind Mathematical Papyrus An Ancient Egyptian Text Dover ISBN 0 486 26407 6 Stewart B M 1954 Sums of distinct divisors American Journal of Mathematics 76 779 785 Stewart I 1992 The riddle of the vanishing camel Scientific American June 122 124 Struik Dirk J 1967 A Concise History of Mathematics Dover s 20 25 ISBN 0 486 60255 9 Takenouchi T 1921 On an indeterminate equation Proc Physico Mathematical Soc of Japan 3rd ser 3 78 92 Tenenbaum G Yokota H 1990 Length and denominators of Egyptian fractions Journal of Number Theory 35 150 156 Vose M 1985 Egyptian fractions Bulletin of the London Mathematical Society 17 21 Wagon S 1991 Mathematica in Action W H Freeman s 271 277 Posilannya RedaguvatiDevid Eppshtejn Egyptian Fractions Arhiv originalu za 19 lyutogo 2012 Procitovano 28 travnya 2014 Egyptian fractions Arhiv originalu za 19 lyutogo 2012 Procitovano 28 travnya 2014 Mathematics in Egyptian Papyri 2000 Arhiv originalu za 19 lyutogo 2012 Procitovano 28 travnya 2014 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Yegipetskij drib amp oldid 40290869