Асоціативна операція (сполучний закон) — (бінарна операція), яка володіє властивістю асоціативності (від латинського слова associatio — «з'єднання»), тобто виконується:
- для довільних елементів .
Для асоціативної операції результат обчислення не залежить від порядку обчислення (розташування дужок), і тому можна опускати дужки у записі виразу. Для неасоціативної операції значення виразу при не визначено.
Довільна (групова операція) — асоціативна.
Визначення
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODRMemd3TDFObGJXbG5jbTkxY0Y5aGMzTnZZMmxoZEdsMlpTNXpkbWN2TWpJd2NIZ3RVMlZ0YVdkeWIzVndYMkZ6YzI5amFXRjBhWFpsTG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
Формально, (бінарна операція) ∗ над множиною S називається асоціативною якщо вона задовольняє правилу асоціативності:
- (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) для всіх x, y, z у S.
Тут символ ∗ використовується для заміни символу операції, яка може зрештою задаватися будь-яким символом, а також символ може бути відсутнім (як часто буває при записуванні (множення).
- (xy)z = x(yz) = xyz для всіх x, y, z у S.
Асоціативне правило також можна записати у функціональній нотації наступним чином: f(f(x, y), z) = f(x, f(y, z)).
Приклади асоціативних операцій
- (Додавання) і (множення) дійсних чисел, комплексних чисел, (кватерніонів) та матриць є асоціативним.
- (Об'єднання) та (перетин) множин є асоціативним.
- (Композиція відображень) є асоціативним.
Приклади неасоціативних операцій
- (Віднімання) і (ділення) дійсних чисел, комплексних чисел та кватерніонів є неасоціативним.
- Векторний добуток є неасоціативним.
- (Множення) (октоніонів) неасоціативне.
Логіка висловлювань
Правило підстановки
В стандартній логіці висловлювань, асоціація, або асоціативність є двома істинними (правилами підстановки). Правила дозволяють переставити дужки в логічних виразах при (логічному виведенні). Це наступні правила (у нотації із (логічними сполучниками)):
та
де «» це (металогічний) (символ), що розуміють як «може бути замінений у (доведенні) на… .»
Істині функціональні сполучники
Асоціативність є властивістю деяких логічних сполучників істинно-функціональної логіки висловлювань. Наступні (логічні еквівалентності) демонструють, що асоціативність є властивістю конкретних сполучників. Наступні вирази є істинно-функціональними (тавтологіями).
Асоціативність диз'юнкції:
Асоціативність кон'юнкції:
Асоціативність еквівалентності:
(Спільне заперечення) є прикладом істинно-функціонального сполучника, який не є асоціативним.
Див. також
- (Комутативність)
- (Дистрибутивність)
- (Альтернативність)
- (Степенева асоціативність)
Джерела
- (Винберг Э. Б.) Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — .(рос.)
- Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред. М. П. Бажан ; редкол.: (О. К. Антонов) та ін. — 2-ге вид. — К. : Головна редакція УРЕ, 1974–1985.
Примітки
- Moore and Parker
- Copi and Cohen
- Hurley
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет