www.wikidata.uk-ua.nina.az

Число з рухомою комою Число з рухо мою ко мою 1 2 3 форма подання дійсних чисел в якій число зберігається у формі мантис

Число з рухомою комою

Число́ з рухо́мою ко́мою — форма подання дійсних чисел, в якій число зберігається у формі мантиси і показника степеня.

Число з рухомою комою має фіксовану відносну точність, залежну від кількості розрядів мантиси, і змінювану абсолютну. Найчастіше використовувані подання затверджено в стандарті IEEE 754. Реалізація математичних операцій з числами з рухомою комою у комп'ютерах може бути як апаратною, так і програмною.

«Рухома кома» та «рухома крапка» Редагувати

Оскільки в деяких, переважно англомовних та англіцизованих країнах (див. докладний список десятковий розділювач) при запису чисел ціла частина відділяється від дробової крапкою, то в термінології цих країн фігурує назва «рухома крапка» (англ. floating point). Оскільки в Україні ціла частина числа від дробової традиційно відділяється комою, то для позначення того ж поняття історично використовується термін «рухома кома», проте в літературі та технічній документації можна зустріти обидва варіанти.

Походження назви Редагувати

Назва «рухома кома» походить від того, що кома в позиційному поданні числа (десяткова кома, або, для комп'ютерів, двійкова кома — далі по тексту просто кома) може бути поміщена де завгодно відносно цифр у рядку. Це положення коми вказується окремо у внутрішньому поданні. Таким чином, подання числа у формі з рухомою комою може розглядатися як комп'ютерна реалізація експоненційного запису чисел.

Перевага використання подання чисел у форматі з рухомою комою порівняно з використанням у форматі з фіксованою комою (і цілими числами) полягає в тому, що можна використовувати істотно ширший діапазон значень за незмінної відносної точності. Наприклад, у формі з фіксованою комою число, що має 8 розрядів у цілій частині і 2 розряди після коми, можна подати у вигляді 123456,78; 8765,43; 123,00 і так далі. У свою чергу, у форматі з рухомою комою (в тих же 8 розрядах) можна записати числа 1,2345678; 1234567,8; 0,000012345678; 12345678000000000 і так далі, але для цього потрібне дворозрядне[прояснити] додаткове поле для запису показника степеня 10 від 0 до 1610, при цьому загальне число розрядів складе 8+2=10.

Швидкість виконання комп'ютером операцій з числами, поданими у формі з рухомою комою, вимірюється в мегафлопсах (від англ. FLOPS — число операцій з рухомою комою за секунду), гігафлопсах і так далі, і є однією з основних одиниць вимірювання швидкодії обчислювальних систем.

Структура числа Редагувати

Число з рухомою комою складається зі:

  • Знаку мантиси (вказує на від'ємність чи додатність числа)
  • Мантиси (виражає значення числа без урахування порядку)
  • Знаку порядку
  • Порядку (виражає степінь основи числа, на яке множиться мантиса)

Нормальна форма та нормалізована форма Редагувати

Нормальною формою числа з рухомою комою називається така форма, в якій мантиса (без урахування знаку) міститься на напівінтервалі [0; 1) (). Така форма запису має недолік: деякі числа записуються неоднозначно (наприклад, 0,0001 можна записати в 4 формах — 0,0001× 100, 0,001× 10-1, 0,01× 10-2, 0,1× 10-3), тому поширеною (особливо в інформатиці) є й інша форма запису — нормалізована, в якій мантиса десяткового числа набуває значень від 1 (включно) до 10 (НЕ включно), а мантиса двійкового числа набуває значень від 1 (включно) до 2 (НЕ включно) (). У такій формі будь-яке число (крім 0) записується єдиним чином. Недолік полягає в тому, що в такому вигляді неможливо отримати 0, тому представлення чисел в інформатиці передбачає спеціальну ознаку (біт) для числа 0.

Оскільки старший розряд (ціла частина числа) мантиси двійкового числа (крім 0) в нормалізованому вигляді дорівнює «1», то при записі мантиси числа в ЕОМ старший розряд можна не записувати, що й використовується в стандарті IEEE 754. В позиційних системах числення з основою, більшою, ніж 2 (в трійковій, четвірковій та інших), цієї властивості немає.

Використання в обчислювальних машинах Редагувати

В обчислювальних машинах показник степеня прийнято відокремлювати від мантиси літерою «E» (англ. exponent). Наприклад, число 1,528535047× 10-25 у більшості мов програмування високого рівня записується як 1.528535047E-25.

Короткий огляд Редагувати

Існує кілька способів того, як рядки з цифр можуть подавати числа:

  • Найпоширеніший спосіб подання значення числа рядком з цифрами — у вигляді цілого числа  — кома (radix point) за замовчуванням розташована наприкінці рядка.
  • Загалом, у математичному поданні рядок з цифр може мати яку завгодно довжину, а положення коми позначається явним записом символу коми (або крапки) в потрібному місці.
  • У системах з поданням чисел у форматі з фіксованою комою існує певна умова щодо положення коми. Наприклад, у рядку з 8 цифр умова може вказувати положення коми в середині запису (між 4-ю і 5-ю цифрами). Таким чином, рядок «00012345» позначає число 1,2345 (нулі ліворуч завжди можна відкинути).
  • В експоненційному записі використовують стандартний (нормалізований) вид подання чисел. Число вважається записаним у стандартному (нормалізованому) вигляді, якщо воно записане у вигляді , де , зване мантисою, таке, що ,   — ціле, називається показником степеня та   — ціле, основа системи числення (на письмі це зазвичай 10). Тобто у мантиси кома поміщається одразу після першої значущої (не рівної нулю) цифри, рахуючи зліва направо, а подальший запис дає інформацію про дійсне значення числа. Наприклад, період обертання (на орбіті) супутника Юпітера Іо, який дорівнює 152853,5047 с, у стандартному вигляді можна записати як 1,528535047× 105 с. Побічним ефектом обмеження на значення мантиси є те, що в такому записі неможливо зобразити число 0.
  • Запис із рухомою комою схожий на запис чисел у стандартному вигляді, але мантиса та експонента записуються окремо. Повертаючись до прикладу з Іо, запис у формі з рухомою комою буде 1528535047 з показником 5. Це означає, що записане число в 105 разів більше числа 1,528535047, тобто для отримання потрібного числа кома зсувається на 5 розрядів вправо. Однак, запис у формі з рухомою комою використовується переважно в електронному поданні чисел, для якого використовується основа системи числення 2, а не 10. Крім того, в двійковій системі запису мантиса зазвичай денормалізована, тобто вважається, що кома стоїть перед першою цифрою, а не після, і ціла частина взагалі не розглядається  — так з'являється можливість значення 0 зберегти природним чином. Таким чином, десяткова 9 в двійковому поданні з рухомою комою буде записана як мантиса +1001000…0 і показник +0…0100. Звідси, наприклад, проблеми з двійковим поданням чисел на зразок однієї десятої (0,1), для якої двійкове подання мантиси виявляється періодичним двійковим дробом  — за аналогією з дробом 1/3, який неможливо записати з скінченною кількістю цифр у десятковій системі числення.

Запис числа у формі з рухомою комою дозволяє виконувати обчислення над широким діапазоном величин, поєднуючи фіксовану кількість розрядів та точність. Наприклад, у десятковій системі подання чисел з рухомою комою (3 розряди) операція множення, яку ми записуємо так:

у нормальній формі подається у вигляді: (1,20× 10-1) × (1,20× 10-1) = (1,44× 10-2). У форматі з фіксованою комою ми б отримали вимушене округлення

При цьому втрачено крайній правий розряд числа, оскільки цей формат не дозволяє комі «рухатися» по запису числа.

Діапазон чисел, які можна подати у форматі з рухомою комою Редагувати

Діапазон чисел, які можна записати цим способом, залежить від кількості біт, відведених для подання мантиси та показника. На звичайній 32-бітній обчислювальній машині, що використовує подвійну точність (64 біти), мантиса становить 1 біт знак + 52 біти, показник — 1 біт знак + 10 біт. Таким чином отримуємо діапазон приблизно від 4,94× 10-324 до 1.79× 10308 (від 2−52 × 2−1022 до ~ 1 × 21024). В стандарті IEEE 754 декілька значень цього типу зарезервовано для подання спеціальних чисел. До них належать значення NaN (Not a Number — «не число») і +/-INF (Infinity, нескінченність), які утворюються внаслідок операцій на зразок ділення на нуль нуля, додатних та від'ємних чисел. Також сюди потрапляють денормалізовані числа, в яких мантиса менша від одиниці. У спеціалізованих пристроях (наприклад GPU) підтримка спеціальних чисел часто відсутня. Існують програмні пакунки, в яких обсяг пам'яті виділений під мантису та показник задається програмно, і обмежується лише обсягом доступної пам'яті комп'ютера.

Точність Одинарна Подвійна Розширена
Розмір (байти) 4 8 10
Число десяткових знаків ~7.2 ~15.9 ~ 19.2
Найменше значення (>0), денормалізоване 1,4× 10-45 5,0× 10-324 1,9× 10-4951
Найменше значення (>0), нормалізоване 1,2× 10-38 2,3× 10-308 3,4× 10-4932
Найбільше значення 3,4 ×10+38 1,7 ×10+308 1,1 ×10+4932
Поля S-E-F S-E-F S-E-I-F
Розміри полів 1-8-23 1-11-52 1-15-1-63
  • S — знак, E  — показник степеня, I — ціла частина, F — дробова частина
  • Так само, як і для цілих, знаковий біт — старший.

Машинний епсилон Редагувати

На відміну від чисел з фіксованою комою, сітка чисел, яку здатна відобразити арифметика з рухомою комою, нерівномірна: вона густіша для чисел з малими порядками та рідша для чисел з великими порядками. Але відносна похибка запису чисел однакова і для малих чисел, і для великих. Тому можна ввести поняття машинного епсилону.

Машинним епсилоном називається найменше додатне число ε таке, що (знаком позначено машинне додавання). Грубо кажучи, числа a і b, для яких , машина не розрізняє.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. number // Англійсько-український словник з математики та інформатики 2010 р. (Є. Мейнарович, М. Кратко).
  2. number // Англійсько-українсько-англійський словник наукової мови (фізика та споріднені науки). Частина І англійсько-українська 2010 р. (О. Кочерга, Є. Мейнарович).
  3. число // Українсько-англійський словник з радіоелектроніки 2015 (Богдан Рицар, Леонід Сніцарук, Роман Мисак).

Посилання Редагувати

Література Редагувати

  • Н. А. Криницький, Г. А. Миронов, Г. Д. Фролов. Програмування. — М. : Державне видавництво фізико-математичної літератури, 1963. — 384 с.
  • Генрі С. Воррен, мл. Глава 15. Числа з рухомою точкою // Алгоритмічні трюки для програмістів = Hacker's Delight. — М. : Вільямс, 2007. — С. 288. — ISBN 0-201-91465-4.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Chislo z ruho moyu ko moyu 1 2 3 forma podannya dijsnih chisel v yakij chislo zberigayetsya u formi mantisi i pokaznika stepenya Chislo z ruhomoyu komoyu maye fiksovanu vidnosnu tochnist zalezhnu vid kilkosti rozryadiv mantisi i zminyuvanu absolyutnu Najchastishe vikoristovuvani podannya zatverdzheno v standarti IEEE 754 Realizaciya matematichnih operacij z chislami z ruhomoyu komoyu u komp yuterah mozhe buti yak aparatnoyu tak i programnoyu Zmist 1 Ruhoma koma ta ruhoma krapka 2 Pohodzhennya nazvi 3 Struktura chisla 3 1 Normalna forma ta normalizovana forma 4 Vikoristannya v obchislyuvalnih mashinah 5 Korotkij oglyad 5 1 Diapazon chisel yaki mozhna podati u formati z ruhomoyu komoyu 5 2 Mashinnij epsilon 6 Div takozh 7 Primitki 8 Posilannya 9 Literatura Ruhoma koma ta ruhoma krapka RedaguvatiOskilki v deyakih perevazhno anglomovnih ta anglicizovanih krayinah div dokladnij spisok desyatkovij rozdilyuvach pri zapisu chisel cila chastina viddilyayetsya vid drobovoyi krapkoyu to v terminologiyi cih krayin figuruye nazva ruhoma krapka angl floating point Oskilki v Ukrayini cila chastina chisla vid drobovoyi tradicijno viddilyayetsya komoyu to dlya poznachennya togo zh ponyattya istorichno vikoristovuyetsya termin ruhoma koma prote v literaturi ta tehnichnij dokumentaciyi mozhna zustriti obidva varianti Pohodzhennya nazvi RedaguvatiNazva ruhoma koma pohodit vid togo sho koma v pozicijnomu podanni chisla desyatkova koma abo dlya komp yuteriv dvijkova koma dali po tekstu prosto koma mozhe buti pomishena de zavgodno vidnosno cifr u ryadku Ce polozhennya komi vkazuyetsya okremo u vnutrishnomu podanni Takim chinom podannya chisla u formi z ruhomoyu komoyu mozhe rozglyadatisya yak komp yuterna realizaciya eksponencijnogo zapisu chisel Perevaga vikoristannya podannya chisel u formati z ruhomoyu komoyu porivnyano z vikoristannyam u formati z fiksovanoyu komoyu i cilimi chislami polyagaye v tomu sho mozhna vikoristovuvati istotno shirshij diapazon znachen za nezminnoyi vidnosnoyi tochnosti Napriklad u formi z fiksovanoyu komoyu chislo sho maye 8 rozryadiv u cilij chastini i 2 rozryadi pislya komi mozhna podati u viglyadi 123456 78 8765 43 123 00 i tak dali U svoyu chergu u formati z ruhomoyu komoyu v tih zhe 8 rozryadah mozhna zapisati chisla 1 2345678 1234567 8 0 000012345678 12345678000000000 i tak dali ale dlya cogo potribne dvorozryadne proyasniti dodatkove pole dlya zapisu pokaznika stepenya 10 vid 0 do 1610 pri comu zagalne chislo rozryadiv sklade 8 2 10 Shvidkist vikonannya komp yuterom operacij z chislami podanimi u formi z ruhomoyu komoyu vimiryuyetsya v megaflopsah vid angl FLOPS chislo operacij z ruhomoyu komoyu za sekundu gigaflopsah i tak dali i ye odniyeyu z osnovnih odinic vimiryuvannya shvidkodiyi obchislyuvalnih sistem Struktura chisla RedaguvatiChislo z ruhomoyu komoyu skladayetsya zi Znaku mantisi vkazuye na vid yemnist chi dodatnist chisla Mantisi virazhaye znachennya chisla bez urahuvannya poryadku Znaku poryadku Poryadku virazhaye stepin osnovi chisla na yake mnozhitsya mantisa Normalna forma ta normalizovana forma Redaguvati Normalnoyu formoyu chisla z ruhomoyu komoyu nazivayetsya taka forma v yakij mantisa bez urahuvannya znaku mistitsya na napivintervali 0 1 0 a lt 1 displaystyle 0 leqslant a lt 1 nbsp Taka forma zapisu maye nedolik deyaki chisla zapisuyutsya neodnoznachno napriklad 0 0001 mozhna zapisati v 4 formah 0 0001 100 0 001 10 1 0 01 10 2 0 1 10 3 tomu poshirenoyu osoblivo v informatici ye j insha forma zapisu normalizovana v yakij mantisa desyatkovogo chisla nabuvaye znachen vid 1 vklyuchno do 10 NE vklyuchno a mantisa dvijkovogo chisla nabuvaye znachen vid 1 vklyuchno do 2 NE vklyuchno 1 a lt q displaystyle 1 leqslant a lt q nbsp U takij formi bud yake chislo krim 0 zapisuyetsya yedinim chinom Nedolik polyagaye v tomu sho v takomu viglyadi nemozhlivo otrimati 0 tomu predstavlennya chisel v informatici peredbachaye specialnu oznaku bit dlya chisla 0 Oskilki starshij rozryad cila chastina chisla mantisi dvijkovogo chisla krim 0 v normalizovanomu viglyadi dorivnyuye 1 to pri zapisi mantisi chisla v EOM starshij rozryad mozhna ne zapisuvati sho j vikoristovuyetsya v standarti IEEE 754 V pozicijnih sistemah chislennya z osnovoyu bilshoyu nizh 2 v trijkovij chetvirkovij ta inshih ciyeyi vlastivosti nemaye Vikoristannya v obchislyuvalnih mashinah RedaguvatiV obchislyuvalnih mashinah pokaznik stepenya prijnyato vidokremlyuvati vid mantisi literoyu E angl exponent Napriklad chislo 1 528535047 10 25 u bilshosti mov programuvannya visokogo rivnya zapisuyetsya yak 1 528535047E 25 Korotkij oglyad RedaguvatiIsnuye kilka sposobiv togo yak ryadki z cifr mozhut podavati chisla Najposhirenishij sposib podannya znachennya chisla ryadkom z ciframi u viglyadi cilogo chisla koma radix point za zamovchuvannyam roztashovana naprikinci ryadka Zagalom u matematichnomu podanni ryadok z cifr mozhe mati yaku zavgodno dovzhinu a polozhennya komi poznachayetsya yavnim zapisom simvolu komi abo krapki v potribnomu misci U sistemah z podannyam chisel u formati z fiksovanoyu komoyu isnuye pevna umova shodo polozhennya komi Napriklad u ryadku z 8 cifr umova mozhe vkazuvati polozhennya komi v seredini zapisu mizh 4 yu i 5 yu ciframi Takim chinom ryadok 00012345 poznachaye chislo 1 2345 nuli livoruch zavzhdi mozhna vidkinuti V eksponencijnomu zapisi vikoristovuyut standartnij normalizovanij vid podannya chisel Chislo vvazhayetsya zapisanim u standartnomu normalizovanomu viglyadi yaksho vono zapisane u viglyadi a q n displaystyle aq n nbsp de a displaystyle a nbsp zvane mantisoyu take sho 1 a lt q displaystyle 1 leqslant a lt q nbsp n displaystyle n nbsp cile nazivayetsya pokaznikom stepenya ta q displaystyle q nbsp cile osnova sistemi chislennya na pismi ce zazvichaj 10 Tobto u mantisi koma pomishayetsya odrazu pislya pershoyi znachushoyi ne rivnoyi nulyu cifri rahuyuchi zliva napravo a podalshij zapis daye informaciyu pro dijsne znachennya chisla Napriklad period obertannya na orbiti suputnika Yupitera Io yakij dorivnyuye 152853 5047 s u standartnomu viglyadi mozhna zapisati yak 1 528535047 105 s Pobichnim efektom obmezhennya na znachennya mantisi ye te sho v takomu zapisi nemozhlivo zobraziti chislo 0 Zapis iz ruhomoyu komoyu shozhij na zapis chisel u standartnomu viglyadi ale mantisa ta eksponenta zapisuyutsya okremo Povertayuchis do prikladu z Io zapis u formi z ruhomoyu komoyu bude 1528535047 z pokaznikom 5 Ce oznachaye sho zapisane chislo v 105 raziv bilshe chisla 1 528535047 tobto dlya otrimannya potribnogo chisla koma zsuvayetsya na 5 rozryadiv vpravo Odnak zapis u formi z ruhomoyu komoyu vikoristovuyetsya perevazhno v elektronnomu podanni chisel dlya yakogo vikoristovuyetsya osnova sistemi chislennya 2 a ne 10 Krim togo v dvijkovij sistemi zapisu mantisa zazvichaj denormalizovana tobto vvazhayetsya sho koma stoyit pered pershoyu cifroyu a ne pislya i cila chastina vzagali ne rozglyadayetsya tak z yavlyayetsya mozhlivist znachennya 0 zberegti prirodnim chinom Takim chinom desyatkova 9 v dvijkovomu podanni z ruhomoyu komoyu bude zapisana yak mantisa 1001000 0 i pokaznik 0 0100 Zvidsi napriklad problemi z dvijkovim podannyam chisel na zrazok odniyeyi desyatoyi 0 1 dlya yakoyi dvijkove podannya mantisi viyavlyayetsya periodichnim dvijkovim drobom za analogiyeyu z drobom 1 3 yakij nemozhlivo zapisati z skinchennoyu kilkistyu cifr u desyatkovij sistemi chislennya Zapis chisla u formi z ruhomoyu komoyu dozvolyaye vikonuvati obchislennya nad shirokim diapazonom velichin poyednuyuchi fiksovanu kilkist rozryadiv ta tochnist Napriklad u desyatkovij sistemi podannya chisel z ruhomoyu komoyu 3 rozryadi operaciya mnozhennya yaku mi zapisuyemo tak 0 12 0 12 0 0144u normalnij formi podayetsya u viglyadi 1 20 10 1 1 20 10 1 1 44 10 2 U formati z fiksovanoyu komoyu mi b otrimali vimushene okruglennya 0 120 0 120 0 014 Pri comu vtracheno krajnij pravij rozryad chisla oskilki cej format ne dozvolyaye komi ruhatisya po zapisu chisla Diapazon chisel yaki mozhna podati u formati z ruhomoyu komoyu Redaguvati Diapazon chisel yaki mozhna zapisati cim sposobom zalezhit vid kilkosti bit vidvedenih dlya podannya mantisi ta pokaznika Na zvichajnij 32 bitnij obchislyuvalnij mashini sho vikoristovuye podvijnu tochnist 64 biti mantisa stanovit 1 bit znak 52 biti pokaznik 1 bit znak 10 bit Takim chinom otrimuyemo diapazon priblizno vid 4 94 10 324 do 1 79 10308 vid 2 52 2 1022 do 1 21024 V standarti IEEE 754 dekilka znachen cogo tipu zarezervovano dlya podannya specialnih chisel Do nih nalezhat znachennya NaN Not a Number ne chislo i INF Infinity neskinchennist yaki utvoryuyutsya vnaslidok operacij na zrazok dilennya na nul nulya dodatnih ta vid yemnih chisel Takozh syudi potraplyayut denormalizovani chisla v yakih mantisa mensha vid odinici U specializovanih pristroyah napriklad GPU pidtrimka specialnih chisel chasto vidsutnya Isnuyut programni pakunki v yakih obsyag pam yati vidilenij pid mantisu ta pokaznik zadayetsya programno i obmezhuyetsya lishe obsyagom dostupnoyi pam yati komp yutera Tochnist Odinarna Podvijna RozshirenaRozmir bajti 4 8 10Chislo desyatkovih znakiv 7 2 15 9 19 2Najmenshe znachennya gt 0 denormalizovane 1 4 10 45 5 0 10 324 1 9 10 4951Najmenshe znachennya gt 0 normalizovane 1 2 10 38 2 3 10 308 3 4 10 4932Najbilshe znachennya 3 4 10 38 1 7 10 308 1 1 10 4932Polya S E F S E F S E I FRozmiri poliv 1 8 23 1 11 52 1 15 1 63S znak E pokaznik stepenya I cila chastina F drobova chastina Tak samo yak i dlya cilih znakovij bit starshij Mashinnij epsilon Redaguvati Dokladnishe Mashinnij epsilonNa vidminu vid chisel z fiksovanoyu komoyu sitka chisel yaku zdatna vidobraziti arifmetika z ruhomoyu komoyu nerivnomirna vona gustisha dlya chisel z malimi poryadkami ta ridsha dlya chisel z velikimi poryadkami Ale vidnosna pohibka zapisu chisel odnakova i dlya malih chisel i dlya velikih Tomu mozhna vvesti ponyattya mashinnogo epsilonu Mashinnim epsilonom nazivayetsya najmenshe dodatne chislo e take sho 1 e 1 displaystyle 1 oplus varepsilon neq 1 nbsp znakom displaystyle oplus nbsp poznacheno mashinne dodavannya Grubo kazhuchi chisla a i b dlya yakih 1 lt a b lt 1 e displaystyle 1 lt frac a b lt 1 varepsilon nbsp mashina ne rozriznyaye Div takozh RedaguvatiEksponencialnij zapis Formati z ruhomoyu komoyu Obchislyuvalna stijkist Neruhoma koma Chislo polovinnoyi tochnosti Chislo odinarnoyi tochnosti Chislo podvijnoyi tochnosti Desyatkovij rozdilyuvachPrimitki Redaguvati number Anglijsko ukrayinskij slovnik z matematiki ta informatiki 2010 r Ye Mejnarovich M Kratko number Anglijsko ukrayinsko anglijskij slovnik naukovoyi movi fizika ta sporidneni nauki Chastina I anglijsko ukrayinska 2010 r O Kocherga Ye Mejnarovich chislo Ukrayinsko anglijskij slovnik z radioelektroniki 2015 Bogdan Ricar Leonid Snicaruk Roman Misak Posilannya RedaguvatiArifmetika ruhomoyi komiLiteratura RedaguvatiN A Krinickij G A Mironov G D Frolov Programuvannya M Derzhavne vidavnictvo fiziko matematichnoyi literaturi 1963 384 s Genri S Vorren ml Glava 15 Chisla z ruhomoyu tochkoyu Algoritmichni tryuki dlya programistiv Hacker s Delight M Vilyams 2007 S 288 ISBN 0 201 91465 4 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Chislo z ruhomoyu komoyu amp oldid 39545830