www.wikidata.uk-ua.nina.az

Хвилі де Бройля основний компонент корпускулярно хвильового дуалізму Луї де Бройля який у середині 20 х років 20 го стол

Хвилі де Бройля

Хвилі де Бройля — основний компонент корпускулярно-хвильового дуалізму Луї де Бройля, який у середині 20-х років 20-го століття запропонував аксіоматичну квантову теорію, яка лягла в основу хвильової механіки, зокрема рівняння Шредінгера.

Основна думка де Бройля полягає у розповсюдженні основних законів квантової теорії світла (вірніше випромінювання Планка - Ейнштейна) на рух матеріальних частинок певної маси. З рухом будь-якої вільної частинки, яка має енергію та імпульс , де Бройль зв'язує плоску хвилю

де - радіус- вектор частинки, що вільно рухається, - час. Частота цієї хвилі та її хвильовий вектор зв'язані з енергією та імпульсом частинки такими ж рівняннями, що справедливі і для квантів світла, тобто:

Це і є основні рівняння де Бройля. На відміну від теорії квантів світла, де йшли від хвильової концепції до корпускулярної, тут все протікало навпаки - від корпускулярної - до хвильової. Тобто тут ми доповнюємо корпускулярну теорію елементами хвильової, шляхом введення частоти та довжини хвилі , пов'язаних з рухом часток.

Підставляючи значення для та у вираз для плоскої хвилі, отримуємо дещо змінений вираз для плоскої матеріальної хвилі, котра залежить від величини енергії та імпульса :

Таку хвилю і називають хвилею де Бройля. Питання про природу цих матеріальних хвиль - не просте... На перший погляд може здатися, що рух матеріальних хвиль не може мати ніякого зв'язку з механічними законами руху часток. Проте це не так. Щоб переконатися в цьому досить розглянути властивості хвиль де Бройля. Заради спрощення розглянемо рух хвилі вздовж осі (одномірний випадок):


Величина являє собою фазу плоскої хвилі. Можна розглянути деяку точку , де фаза має певне значення . Координата цієї точки визначається із рівняння

звідки видно, що значення фази буде з плином часу буде переміщуватися в просторі зі швидкістю , яку можна отримати шляхом диференціювання попереднього рівняння по :

Ця швидкість називається фазовою. Якщо ця швидкість залежить від , а також і від довжини хвилі (так як ), то має місце дисперсія хвиль. На відміну від електромагнітних хвиль, для хвиль де Бройля дисперсія існує і в пустому просторі (вакуум). Ця властивість витікає із самого визначення основних рівнянь де Бройля. Дійсно, між енергією та імпульсом існує деякий зв'язок. Для швидкостей частки (- швидкість світла), тобто в області справедливості механіки Ньютона, енергія частки, що вільно рухається:

де - маса частки. Підставляючи це значення в основні рівняння де Бройля та виражаючи через , знаходимо:

і значить є функція від .

Тепер можна перейти до встановлення зв'язку між рухом хвилі та частки. Для цього можна розглянути не строго монохроматичну хвилю, котра має певну частоту та довжину хвилі , а майже монохроматичну хвилю, яку будемо називати групою хвиль. Під групою хвиль будемо розуміти суперпозицію хвиль, які мало відрізняються одна від одною по довжині хвилі та напряму розповсюдження. Для простоти можна розглянути групу хвиль, що розповсюджується в напрямі . Згідно з даним визначенням групи можна записати для коливання такий вираз:

де є хвильове число, біля якого лежать хвильові числа хвиль, що утворюють групу ( припускається достатньо малим). Внаслідок того, що мале, ми можемо розкласти частоту , котра є функція від по ступеням . Тоді отримуємо:

Взявши як нову змінну інтегрування та вважаючи, що амплітуда є функція, що повільно змінюється з , знаходимо, що може бути представлена у вигляді:

Виконуючи просте інтегрування по , знаходимо:

Враховуючи малість , величина буде повільно змінюватися із зміною та . Тому можна розглядати як амплітуду майже монохроматичної хвилі, а - як її фазу. Визначимо точку , де амплітуда має максимум. Цю точку будемо називати центром групи хвиль. Очевидно, що даний максимум буде знаходитися в точці

Звідси випливає, що центр групи буде переміщуватися зі швидкістю , яку можна знайти шляхом диференціювання попереднього рівняння по , тобто:

Цю швидкість назвемо "груповою швидкістю" (на відміну від швидкості фази, рівну ). Якби хвилі не мали дисперсії, то ми б мали тривіальний випадок . У випадку хвиль де Бройля, враховуючи дисперсію, маємо . Тому групова швидкість тут буде:

Проте, оскільки , а із іншого боку , де - швидкість частки. Тому ми приходимо до важливого виводу:

що групова швидкість хвиль де Бройля рівна механічній швидкості частки .

Отримані вище співвідношення для одномірного простору, можуть бути легко розповсюджені на загальний випадок руху в тримірному просторі:

або у векторній формі:

Обчислимо для двох випадків довжину хвилі де Бройля. Оскільки

тому у випадку малих швидкостей із врахуванням , будемо мати:

Ця формула дозволяє обчислення довжини хвилі , знаючи масу та енергію частки .

Можна використати цю формулу для електрона. В даному випадку при г виражаючи енергію в (електрон- вольтах), покладемо , де - заряд електрона, а - різниця потенціалів, що прискорює електрон, яка вимірюється у вольтах:

Для = 1 еВ = 12,2 Ǻ, а для = 10000 еВ 0,122 Ǻ.

Література Редагувати

  • Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики.- М.:ГосИздат, 1949.-588с.
  • Steven S. Zumdahl, Chemical Principles 5th Edition, (2005) Houghton Mifflin Company.
  • Broglie, Louis de, The wave nature of the electron, Nobel Lecture, 12, 1929 [ 1 лютого 2017 у Wayback Machine.]
  • Tipler, Paul A. and Ralph A. Llewellyn (2003). Modern Physics. 4th ed. New York; W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-4345-0. pp. 203-4, 222-3, 236.
  • Web version of Thesis, translated (English):
Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки.
Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (червень 2008)
Цю статтю треба вікіфікувати для відповідності стандартам якості Вікіпедії. Будь ласка, допоможіть додаванням доречних внутрішніх посилань або вдосконаленням розмітки статті. (липень 2008)
Ця стаття містить текст, що не відповідає енциклопедичному стилю. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, погодивши стиль викладу зі стилістичними правилами Вікіпедії. Можливо, сторінка обговорення містить зауваження щодо потрібних змін. (червень 2008)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Hvili de Brojlya osnovnij komponent korpuskulyarno hvilovogo dualizmu Luyi de Brojlya yakij u seredini 20 h rokiv 20 go stolittya zaproponuvav aksiomatichnu kvantovu teoriyu yaka lyagla v osnovu hvilovoyi mehaniki zokrema rivnyannya Shredingera Osnovna dumka de Brojlya polyagaye u rozpovsyudzhenni osnovnih zakoniv kvantovoyi teoriyi svitla virnishe viprominyuvannya Planka Ejnshtejna na ruh materialnih chastinok pevnoyi masi Z ruhom bud yakoyi vilnoyi chastinki yaka maye energiyu E displaystyle E ta impuls p displaystyle mathbf p de Brojl zv yazuye plosku hvilyu ps r t C e i w t k r displaystyle psi mathbf r t C cdot e i omega t mathbf k mathbf r de r displaystyle mathbf r radius vektor chastinki sho vilno ruhayetsya t displaystyle t chas Chastota ciyeyi hvili w displaystyle omega ta yiyi hvilovij vektor k displaystyle mathbf k zv yazani z energiyeyu ta impulsom chastinki takimi zh rivnyannyami sho spravedlivi i dlya kvantiv svitla tobto E ℏ w p ℏ k displaystyle E hbar omega mathbf p hbar mathbf k Ce i ye osnovni rivnyannya de Brojlya Na vidminu vid teoriyi kvantiv svitla de jshli vid hvilovoyi koncepciyi do korpuskulyarnoyi tut vse protikalo navpaki vid korpuskulyarnoyi do hvilovoyi Tobto tut mi dopovnyuyemo korpuskulyarnu teoriyu elementami hvilovoyi shlyahom vvedennya chastoti w displaystyle omega ta dovzhini hvili l 2 p k displaystyle lambda frac 2 pi mathbf k pov yazanih z ruhom chastok Pidstavlyayuchi znachennya dlya w displaystyle omega ta k displaystyle mathbf k u viraz dlya ploskoyi hvili otrimuyemo desho zminenij viraz dlya ploskoyi materialnoyi hvili kotra zalezhit vid velichini energiyi E displaystyle E ta impulsa p displaystyle p ps r t C e i E t h p r h displaystyle psi mathbf r t C cdot e i left frac Et h frac mathbf p mathbf r h right Taku hvilyu i nazivayut hvileyu de Brojlya Pitannya pro prirodu cih materialnih hvil ne proste Na pershij poglyad mozhe zdatisya sho ruh materialnih hvil ne mozhe mati niyakogo zv yazku z mehanichnimi zakonami ruhu chastok Prote ce ne tak Shob perekonatisya v comu dosit rozglyanuti vlastivosti hvil de Brojlya Zaradi sproshennya rozglyanemo ruh hvili vzdovzh osi O X displaystyle OX odnomirnij vipadok ps x t C e i t w k x displaystyle psi x t C cdot e i t omega kx Velichina t w k x displaystyle t omega kx yavlyaye soboyu fazu ploskoyi hvili Mozhna rozglyanuti deyaku tochku x displaystyle x de faza maye pevne znachennya ϕ displaystyle phi Koordinata ciyeyi tochki viznachayetsya iz rivnyannya ϕ t w k x displaystyle phi t omega kx zvidki vidno sho znachennya fazi ϕ displaystyle phi bude z plinom chasu bude peremishuvatisya v prostori zi shvidkistyu u displaystyle u yaku mozhna otrimati shlyahom diferenciyuvannya poperednogo rivnyannya po t displaystyle t u w k displaystyle u frac omega k Cya shvidkist nazivayetsya fazovoyu Yaksho cya shvidkist zalezhit vid k displaystyle k a takozh i vid dovzhini hvili l displaystyle lambda tak yak l 2 p k displaystyle lambda frac 2 pi k to maye misce dispersiya hvil Na vidminu vid elektromagnitnih hvil dlya hvil de Brojlya dispersiya isnuye i v pustomu prostori vakuum Cya vlastivist vitikaye iz samogo viznachennya osnovnih rivnyan de Brojlya Dijsno mizh energiyeyu E displaystyle E ta impulsom p displaystyle p isnuye deyakij zv yazok Dlya shvidkostej chastki v c displaystyle v ll c c displaystyle c shvidkist svitla tobto v oblasti spravedlivosti mehaniki Nyutona energiya chastki sho vilno ruhayetsya E p 2 2 m 0 displaystyle E frac p 2 2m 0 de m 0 displaystyle m 0 masa chastki Pidstavlyayuchi ce znachennya E displaystyle E v osnovni rivnyannya de Brojlya ta virazhayuchi p 2 displaystyle p 2 cherez k 2 displaystyle k 2 znahodimo w h 2 m 0 k 2 displaystyle omega frac h 2m 0 k 2 i znachit u w k displaystyle u frac omega k ye funkciya vid k displaystyle k Teper mozhna perejti do vstanovlennya zv yazku mizh ruhom hvili ta chastki Dlya cogo mozhna rozglyanuti ne strogo monohromatichnu hvilyu kotra maye pevnu chastotu w displaystyle omega ta dovzhinu hvili l 2 p k displaystyle lambda frac 2 pi k a majzhe monohromatichnu hvilyu yaku budemo nazivati grupoyu hvil Pid grupoyu hvil budemo rozumiti superpoziciyu hvil yaki malo vidriznyayutsya odna vid odnoyu po dovzhini hvili ta napryamu rozpovsyudzhennya Dlya prostoti mozhna rozglyanuti grupu hvil sho rozpovsyudzhuyetsya v napryami O X displaystyle OX Zgidno z danim viznachennyam grupi mozhna zapisati dlya kolivannya ps x t displaystyle psi x t takij viraz ps x t k 0 D k k 0 D k c k e i t w k x d k displaystyle psi x t int k 0 Delta k k 0 Delta k c k e i t omega kx dk de k 0 2 p l 0 displaystyle k 0 frac 2 pi lambda 0 ye hvilove chislo bilya yakogo lezhat hvilovi chisla hvil sho utvoryuyut grupu D k displaystyle Delta k pripuskayetsya dostatno malim Vnaslidok togo sho D k displaystyle Delta k male mi mozhemo rozklasti chastotu w displaystyle omega kotra ye funkciya vid k displaystyle k po stupenyam k k 0 displaystyle k k 0 Todi otrimuyemo w w 0 d w d k 0 k k 0 displaystyle omega omega 0 frac d omega dk 0 k k 0 k k 0 k k 0 displaystyle k k 0 k k 0 Vzyavshi k k 0 displaystyle k k 0 yak novu zminnu integruvannya 3 displaystyle xi ta vvazhayuchi sho amplituda c k displaystyle c k ye funkciya sho povilno zminyuyetsya z k displaystyle k znahodimo sho ps x t displaystyle psi x t mozhe buti predstavlena u viglyadi ps x t c k 0 e i w 0 t k 0 x D k D k e i d w d k 0 t x 3 d 3 displaystyle psi x t c k 0 e i omega 0 t k 0 x int Delta k Delta k e i big frac d omega dk 0 t x big xi d xi Vikonuyuchi proste integruvannya po ps x t displaystyle psi x t znahodimo ps x t 2 c k 0 sin d w d k 0 t x D k d w d k 0 t x e i w 0 t k 0 x c x t e i w 0 t k 0 x displaystyle psi x t 2c k 0 frac sin big left frac d omega dk right 0 t x big Delta k big left frac d omega dk right 0 t x big e i omega 0 t k 0 x c x t cdot e i omega 0 t k 0 x Vrahovuyuchi malist D k displaystyle Delta k velichina c x t displaystyle c x t bude povilno zminyuvatisya iz zminoyu t displaystyle t ta x displaystyle x Tomu c x t displaystyle c x t mozhna rozglyadati yak amplitudu majzhe monohromatichnoyi hvili a w t k 0 x displaystyle omega t k 0 x yak yiyi fazu Viznachimo tochku x displaystyle x de amplituda c x t displaystyle c x t maye maksimum Cyu tochku budemo nazivati centrom grupi hvil Ochevidno sho danij maksimum bude znahoditisya v tochci x d w d k 0 t displaystyle x left frac d omega dk right 0 t Zvidsi viplivaye sho centr grupi bude peremishuvatisya zi shvidkistyu V displaystyle V yaku mozhna znajti shlyahom diferenciyuvannya poperednogo rivnyannya po t displaystyle t tobto V d w d k 0 displaystyle V left frac d omega dk right 0 Cyu shvidkist nazvemo grupovoyu shvidkistyu na vidminu vid shvidkosti fazi rivnu w 0 k 0 displaystyle frac omega 0 k 0 Yakbi hvili ne mali dispersiyi to mi b mali trivialnij vipadok V u displaystyle V u U vipadku hvil de Brojlya vrahovuyuchi dispersiyu mayemo V u displaystyle V neq u Tomu grupova shvidkist V displaystyle V tut bude V d w d k h k m 0 displaystyle V frac d omega dk frac hk m 0 Prote oskilki h k p displaystyle hk p a iz inshogo boku p m 0 v displaystyle p m 0 v de v displaystyle v shvidkist chastki Tomu mi prihodimo do vazhlivogo vivodu V v displaystyle V v sho grupova shvidkist hvil de Brojlya rivna mehanichnij shvidkosti chastki v displaystyle v Otrimani vishe spivvidnoshennya dlya odnomirnogo prostoru mozhut buti legko rozpovsyudzheni na zagalnij vipadok ruhu v trimirnomu prostori V x w k x E p x v x displaystyle V x frac partial omega partial k x frac partial E partial p x v x V y w k y E p y v y displaystyle V y frac partial omega partial k y frac partial E partial p y v y V z w k z E p z v z displaystyle V z frac partial omega partial k z frac partial E partial p z v z abo u vektornij formi V k w p E v displaystyle mathbf V nabla k omega nabla p E mathbf v Obchislimo dlya dvoh vipadkiv dovzhinu hvili de Brojlya Oskilki l 2 p k 2 p h p displaystyle lambda frac 2 pi k frac 2 pi h p tomu u vipadku malih shvidkostej v c displaystyle v ll c iz vrahuvannyam E p 2 2 m 0 displaystyle E frac p 2 2m 0 budemo mati l 2 p h 2 m 0 E displaystyle lambda frac 2 pi h sqrt 2m 0 E Cya formula dozvolyaye obchislennya dovzhini hvili l displaystyle lambda znayuchi masu m 0 displaystyle m 0 ta energiyu chastki E displaystyle E Mozhna vikoristati cyu formulu dlya elektrona V danomu vipadku pri m 0 9 10 28 displaystyle m 0 9 cdot 10 28 g virazhayuchi energiyu v e V displaystyle eV elektron voltah poklademo E e V displaystyle E eV de e displaystyle e zaryad elektrona a V displaystyle V riznicya potencialiv sho priskoryuye elektron yaka vimiryuyetsya u voltah l 150 V displaystyle lambda sqrt frac 150 V ADlya V displaystyle V 1 eV l displaystyle lambda 12 2 Ǻ a dlya V displaystyle V 10000 eV l displaystyle lambda 0 122 Ǻ Literatura RedaguvatiBlohincev D I Osnovy kvantovoj mehaniki M GosIzdat 1949 588s Steven S Zumdahl Chemical Principles 5th Edition 2005 Houghton Mifflin Company Broglie Louis de The wave nature of the electron Nobel Lecture 12 1929 Arhivovano 1 lyutogo 2017 u Wayback Machine Tipler Paul A and Ralph A Llewellyn 2003 Modern Physics 4th ed New York W H Freeman and Co ISBN 0 7167 4345 0 pp 203 4 222 3 236 Web version of Thesis translated English https web archive org web 20080220100053 http www ensmp fr aflb LDB oeuvres De Broglie Kracklauer htmCya stattya potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya yiyi perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno cherven 2008 Cyu stattyu treba vikifikuvati dlya vidpovidnosti standartam yakosti Vikipediyi Bud laska dopomozhit dodavannyam dorechnih vnutrishnih posilan abo vdoskonalennyam rozmitki statti lipen 2008 Cya stattya mistit tekst sho ne vidpovidaye enciklopedichnomu stilyu Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu pogodivshi stil vikladu zi stilistichnimi pravilami Vikipediyi Mozhlivo storinka obgovorennya mistit zauvazhennya shodo potribnih zmin cherven 2008 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Hvili de Brojlya amp oldid 35131443