www.wikidata.uk-ua.nina.az

Томагавк геометрія Томагавк це інструмент у геометрії для трисекції кута задачі розбиття кута на три рівні частини Фігур

Томагавк (геометрія)

Томагавк — це інструмент у геометрії для трисекції кута, задачі розбиття кута на три рівні частини. Фігура складається з півкола і двох відрізків і зовні нагадує томагавк, сокиру індіанців. Той самий інструмент іноді називали ножем шевця, проте цю назву вже широко використовують для іншої фігури, арбелоса (трикутник зі сторонами у вигляді півкола).

Томагавк, у якого виділено ручку та вістря

Опис Редагувати

Основна фігура томагавка складається з півкола («леза» томагавка), з продовженням діаметра відрізком, рівним радіусу півкола («вістря» томагавка), і ще одним відрізком довільної довжини («ручка» томагавка), перпендикулярному до діаметра. Щоб перетворити фігуру на фізичний інструмент, ручку та вістря роблять з ненульовою товщиною, але відрізки мають залишатися межами фігури. На відміну від трисекції за допомогою теслярського кутника[en], протилежна сторона ручки не мусить бути відрізком, паралельним до робочої сторони.

У деяких джерелах вказується повне коло, а не півколо, або сторона томагавка вздовж діаметра також розширюється, але ці модифікації не впливають на роботу з інструментом.

Трисекція Редагувати

Трисекція кута за допомогою томагавка. Ручка AD дає третину кута, а пунктирна лінія AC до центру півкола дає іншу третину кута

При використанні томагавка для трисекції кута, томагавк розміщують так, щоб ручка лежала на вершині кута, лезо (напівкруг) дотикалося однієї сторони кута (зсередини), а вістря томагавка лежало на іншій стороні кута. Одна з прямих трисекції тоді пройде вздовж ручки, інша — через центр півкола. Якщо кут, який слід розділити на три частини, занадто гострий відносно довжини ручки томагавка, вказаною процедурою кут на три частини поділити не можна, але це обмеження можна обійти, якщо подвоювати кут, доки побудова не буде можливою, а потім поділити кут потрібне число разів навпіл.

Якщо вершину кута позначити буквою A, точку торкання леза буквою B, центр півкола буквою C, основу ручки буквою D, а вершину вістря буквою E, то трикутники ACD та ADE є прямокутними трикутниками зі спільною висотою та рівними катетами при основі. Отже, ці трикутники рівні. Оскільки сторони AB та BC трикутника ABC є дотичним відрізком та радіусом півкола, ці сторони рівні AD та DC відповідно. Таким чином, трикутник ACD дорівнює трикутникам ACB і AED, що показує, що кути при вершині кута A рівні.

Хоча сам томагавк можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки і його можна використати для трисекції кута, це не суперечить теоремі 1837 П'єра Ванцеля про те, що довільний кут неможливо поділити на три частини за допомогою лише циркуля та лінійки. Причина в тому, що поміщення побудованого томагавка в потрібну позицію є різновидом невсісу, а це не дозволяється в побудові за допомогою циркуля та лінійки.

Історія Редагувати

Хто придумав томагавк — невідомо, але раннє посилання йде з Франції XIX століття. Простежуються посилання до 1835, коли томагавк з'явився в книзі Клода Люсьєна Бержері[fr] Géométrie appliquée à l’industrie, à l’usage des artistes et des ouvriers. Ту саму побудову опублікував 1877 рокук Анрі Брокар. Вівн, у свою чергу, приписував винахід побудови французькому морському офіцеру П'єру-Жозефу Глотену.

Примітки Редагувати

  1. ↑ Yates, 1941, с. 278–293.
  2. ↑ Gardner, 1975, с. 262–263.
  3. Dudley, 1996, с. 14–16.
  4. Alsina, Nelsen, 2010, с. 147–148.
  5. ↑ Meserve, 1982, с. 244.
  6. ↑ Isaacs, 2009, с. 209–210.
  7. Eves, 1995, с. 191.
  8. Wantzel, 1837, с. 366–372.
  9. Слово «невсіс» Ла Нейв і Мазур (La Nave, Mazur, 2002) описали в значенні «сімейство побудов, які залежать від одного параметра». У цих побудовах за зміни параметра відбуваються деякі комбінаторні зміни в побудові. Ла Нейв і Мазур описують трисекцію, відмінну від використання томагавка, але той самий опис підходить і тут — ручка томагавка поміщається на вершину кута, параметризація виконується позицією вершини вістря томагавка на промені, що дає сімейство побудов, у якому відносне положення леза та його променя змінюються, доки вістря не потрапить у потрібне місце.
  10. Aaboe, 1997, с. 87.
  11. Brocard, 1877, с. 43–47.
  12. Glotin, 1863, с. 253–278.
  13. Martin, 1998.
  14. Дадлі (Dudley, 1996) помилково написав ці імена як Bricard і Glatin.

Література Редагувати

  • I. Martin Isaacs. Geometry for College Students. — American Mathematical Society, 2009. — Т. 8. — (Pure and Applied Undergraduate Texts) — ISBN 9780821847947.
  • Underwood Dudley. The Trisectors. — 2nd. — Cambridge University Press, 1996. — С. 14–16. — (MAA Spectrum) — ISBN 9780883855140.
  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. — Mathematical Association of America, 2010. — Т. 42. — С. 147–148. — (Dolciani Mathematical Expositions) — ISBN 9780883853481.
  • Robert C. Yates. The Trisection Problem, Chapter III: Mechanical trisectors // National Mathematics Magazine. — 1941. — Т. 15, вип. 6 (8 жовтня). — С. 278–293.
  • Martin Gardner. Mathematical Carnival: from penny puzzles, card shuffles and tricks of lightning calculators to roller coaster rides into the fourth dimension. — Knopf, 1975. — С. 262–263.
  • Bruce E. Meserve. Fundamental Concepts of Algebra. — Courier Dover Publications, 1982. — ISBN 9780486614700.
  • Howard Whitley Eves. College Geometry. — Jones & Bartlett Learning, 1995. — С. 191. — ISBN 9780867204759.
  • L. Wantzel. Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1837. — Vol. 1, livr. 2 (8 octobre). — P. 366–372.
  • Federica La Nave, Barry Mazur. Reading Bombelli // The Mathematical Intelligencer. — 2002. — Т. 24, вип. 1 (8 жовтня). — С. 12–21. — DOI:10.1007/BF03025306.
  • Asger Aaboe. Episodes from the Early History of Mathematics. — Mathematical Association of America, 1997. — Т. 13. — С. 87. — (New Mathematical Library) — ISBN 9780883856130.
  • H. Brocard. Note sur la division mécanique de l'angle // Bulletin de la Société Mathématique de France. — 1877. — Vol. 5 (8 octobre). — P. 43–47.
  • Par M. Glotin. Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux. — 1863. — Т. 2. — С. 253–278.
  • George E. Martin. PREFACE // Geometric Constructions. — Springer, 1998. — (Undegraduate Texts in Mathematics) — ISBN 978-14612-6845-1.

Посилання Редагувати

  • Trisection using special tools: «Tomahawk», Takaya Iwamoto, 2006, демонстрація інструмента «томагавк», виготовленого з прозорого вінілу, і порівняння точності з іншими трисекторами
  • Weisstein, Eric W. Томагавк(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • Construction heptagon with tomahawk, animation
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Tomagavk ce instrument u geometriyi dlya trisekciyi kuta zadachi rozbittya kuta na tri rivni chastini Figura skladayetsya z pivkola i dvoh vidrizkiv i zovni nagaduye tomagavk sokiru indianciv 1 2 Toj samij instrument inodi nazivali nozhem shevcya 3 prote cyu nazvu vzhe shiroko vikoristovuyut dlya inshoyi figuri arbelosa trikutnik zi storonami u viglyadi pivkola 4 Tomagavk u yakogo vidileno ruchku ta vistrya Zmist 1 Opis 2 Trisekciya 3 Istoriya 4 Primitki 5 Literatura 6 PosilannyaOpis RedaguvatiOsnovna figura tomagavka skladayetsya z pivkola leza tomagavka z prodovzhennyam diametra vidrizkom rivnim radiusu pivkola vistrya tomagavka i she odnim vidrizkom dovilnoyi dovzhini ruchka tomagavka perpendikulyarnomu do diametra Shob peretvoriti figuru na fizichnij instrument ruchku ta vistrya roblyat z nenulovoyu tovshinoyu ale vidrizki mayut zalishatisya mezhami figuri Na vidminu vid trisekciyi za dopomogoyu teslyarskogo kutnika en protilezhna storona ruchki ne musit buti vidrizkom paralelnim do robochoyi storoni 1 U deyakih dzherelah vkazuyetsya povne kolo a ne pivkolo 5 abo storona tomagavka vzdovzh diametra takozh rozshiryuyetsya 6 ale ci modifikaciyi ne vplivayut na robotu z instrumentom Trisekciya Redaguvati nbsp Trisekciya kuta za dopomogoyu tomagavka Ruchka AD daye tretinu kuta a punktirna liniya AC do centru pivkola daye inshu tretinu kutaPri vikoristanni tomagavka dlya trisekciyi kuta tomagavk rozmishuyut tak shob ruchka lezhala na vershini kuta lezo napivkrug dotikalosya odniyeyi storoni kuta zseredini a vistrya tomagavka lezhalo na inshij storoni kuta Odna z pryamih trisekciyi todi projde vzdovzh ruchki insha cherez centr pivkola 1 6 Yaksho kut yakij slid rozdiliti na tri chastini zanadto gostrij vidnosno dovzhini ruchki tomagavka vkazanoyu proceduroyu kut na tri chastini podiliti ne mozhna ale ce obmezhennya mozhna obijti yaksho podvoyuvati kut doki pobudova ne bude mozhlivoyu a potim podiliti kut potribne chislo raziv navpil 2 Yaksho vershinu kuta poznachiti bukvoyu A tochku torkannya leza bukvoyu B centr pivkola bukvoyu C osnovu ruchki bukvoyu D a vershinu vistrya bukvoyu E to trikutniki ACD ta ADE ye pryamokutnimi trikutnikami zi spilnoyu visotoyu ta rivnimi katetami pri osnovi Otzhe ci trikutniki rivni Oskilki storoni AB ta BC trikutnika ABC ye dotichnim vidrizkom ta radiusom pivkola ci storoni rivni AD ta DC vidpovidno Takim chinom trikutnik ACD dorivnyuye trikutnikam ACB i AED sho pokazuye sho kuti pri vershini kuta A rivni 5 6 Hocha sam tomagavk mozhna pobuduvati za dopomogoyu cirkulya ta linijki 7 i jogo mozhna vikoristati dlya trisekciyi kuta ce ne superechit teoremi 1837 P yera Vancelya pro te sho dovilnij kut nemozhlivo podiliti na tri chastini za dopomogoyu lishe cirkulya ta linijki 8 Prichina v tomu sho pomishennya pobudovanogo tomagavka v potribnu poziciyu ye riznovidom nevsisu a ce ne dozvolyayetsya v pobudovi za dopomogoyu cirkulya ta linijki 9 Istoriya RedaguvatiHto pridumav tomagavk nevidomo 1 10 ale rannye posilannya jde z Franciyi XIX stolittya Prostezhuyutsya posilannya do 1835 koli tomagavk z yavivsya v knizi Kloda Lyusyena Berzheri fr Geometrie appliquee a l industrie a l usage des artistes et des ouvriers 1 Tu samu pobudovu opublikuvav 1877 rokuk Anri Brokar 11 Vivn u svoyu chergu pripisuvav vinahid pobudovi francuzkomu morskomu oficeru P yeru Zhozefu Glotenu 12 13 14 Primitki Redaguvati a b v g d Yates 1941 s 278 293 a b Gardner 1975 s 262 263 Dudley 1996 s 14 16 Alsina Nelsen 2010 s 147 148 a b Meserve 1982 s 244 a b v Isaacs 2009 s 209 210 Eves 1995 s 191 Wantzel 1837 s 366 372 Slovo nevsis La Nejv i Mazur La Nave Mazur 2002 opisali v znachenni simejstvo pobudov yaki zalezhat vid odnogo parametra U cih pobudovah za zmini parametra vidbuvayutsya deyaki kombinatorni zmini v pobudovi La Nejv i Mazur opisuyut trisekciyu vidminnu vid vikoristannya tomagavka ale toj samij opis pidhodit i tut ruchka tomagavka pomishayetsya na vershinu kuta parametrizaciya vikonuyetsya poziciyeyu vershini vistrya tomagavka na promeni sho daye simejstvo pobudov u yakomu vidnosne polozhennya leza ta jogo promenya zminyuyutsya doki vistrya ne potrapit u potribne misce Aaboe 1997 s 87 Brocard 1877 s 43 47 Glotin 1863 s 253 278 Martin 1998 Dadli Dudley 1996 pomilkovo napisav ci imena yak Bricard i Glatin Literatura RedaguvatiI Martin Isaacs Geometry for College Students American Mathematical Society 2009 T 8 Pure and Applied Undergraduate Texts ISBN 9780821847947 Underwood Dudley The Trisectors 2nd Cambridge University Press 1996 S 14 16 MAA Spectrum ISBN 9780883855140 Claudi Alsina Roger B Nelsen Charming Proofs A Journey Into Elegant Mathematics Mathematical Association of America 2010 T 42 S 147 148 Dolciani Mathematical Expositions ISBN 9780883853481 Robert C Yates The Trisection Problem Chapter III Mechanical trisectors National Mathematics Magazine 1941 T 15 vip 6 8 zhovtnya S 278 293 Martin Gardner Mathematical Carnival from penny puzzles card shuffles and tricks of lightning calculators to roller coaster rides into the fourth dimension Knopf 1975 S 262 263 Bruce E Meserve Fundamental Concepts of Algebra Courier Dover Publications 1982 ISBN 9780486614700 Howard Whitley Eves College Geometry Jones amp Bartlett Learning 1995 S 191 ISBN 9780867204759 L Wantzel Recherches sur les moyens de reconnaitre si un Probleme de Geometrie peut se resoudre avec la regle et le compas Journal de Mathematiques Pures et Appliquees 1837 Vol 1 livr 2 8 octobre P 366 372 Federica La Nave Barry Mazur Reading Bombelli The Mathematical Intelligencer 2002 T 24 vip 1 8 zhovtnya S 12 21 DOI 10 1007 BF03025306 Asger Aaboe Episodes from the Early History of Mathematics Mathematical Association of America 1997 T 13 S 87 New Mathematical Library ISBN 9780883856130 H Brocard Note sur la division mecanique de l angle Bulletin de la Societe Mathematique de France 1877 Vol 5 8 octobre P 43 47 Par M Glotin Memoires de la Societe des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux 1863 T 2 S 253 278 George E Martin PREFACE Geometric Constructions Springer 1998 Undegraduate Texts in Mathematics ISBN 978 14612 6845 1 Posilannya RedaguvatiTrisection using special tools Tomahawk Takaya Iwamoto 2006 demonstraciya instrumenta tomagavk vigotovlenogo z prozorogo vinilu i porivnyannya tochnosti z inshimi trisektorami Weisstein Eric W Tomagavk angl na sajti Wolfram MathWorld Construction heptagon with tomahawk animation Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Tomagavk geometriya amp oldid 40589191