www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорема Гільберта про базис Теоре ма Гі льберта про ба зис одна з основних теорем теорії кілець Нетер якщо R displaystyl

Теорема Гільберта про базис

Теоре́ма Гі́льберта про ба́зис — одна з основних теорем теорії кілець Нетер: якщо  — кільце Нетер, то кільце многочленів R[x] також є кільцем Нетер.

Доведення Редагувати

Нехай  — ідеал в (ми тут вважатимемо комутативним, для некомутативних кілець доведення зберігається, необхідно лише вважати всі ідеали лівими), а множина старших коефіцієнтів многочленів, його складових. Доведемо, що  — ідеал.

Справді, якщо і  — елементи , то і є старшими коефіцієнтами деяких многочленів з  — і . Якщо, наприклад, , то є старшим коефіцієнтом многочлена . Якщо є старшим коефіцієнтом то є старшим коефіцієнтом для будь-якого елементу . Таким чином, — ідеал, а оскільки  — кільце Нетер, то породжується деякими елементами , старшими коефіцієнтами многочленів . Нехай найбільший степінь цих многочленів рівний . Можна вважати, що степінь кожного з цих многочленів рівний (якщо він рівний , то можна зробити його таким помноживши на .

Аналогічно доводиться, що  — множина старших коефіцієнтів многочленів з , степінь яких (до цієї множини доданий 0 кільця) є ідеалом, і тому ідеалом, породженим елементами . Нехай вони є старшими коефіцієнтами многочленів степеня

Доведемо, що ці многочлени породжують ідеал . Нехай — який-небудь многочлен ідеалу , за визначенням . Якщо його степінь то оскільки по доведеному є лінійною комбінацією старших членів многочленів степеня , то ми одержимо, що буде многочленом степеня, меншого, ніж , що також належить ідеалу . Повторюючи при необхідності цю операцію кілька разів, можна дійти до многочлена степеня не більшого .

Для многочлена степеня застосовується та ж процедура, але з використанням многочленів старші коефіцієнти яких породжують ідеал . Далі процедура повторюється, поки ми не дійдемо до нульового многочлена.

Література Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Teore ma Gi lberta pro ba zis odna z osnovnih teorem teoriyi kilec Neter yaksho R displaystyle R kilce Neter to kilce mnogochleniv R x takozh ye kilcem Neter Dovedennya RedaguvatiNehaj F displaystyle F nbsp ideal v R x displaystyle R x nbsp mi tut vvazhatimemo R displaystyle R nbsp komutativnim dlya nekomutativnih kilec dovedennya zberigayetsya neobhidno lishe vvazhati vsi ideali livimi a p displaystyle p nbsp mnozhina starshih koeficiyentiv mnogochleniv jogo skladovih Dovedemo sho p displaystyle p nbsp ideal Spravdi yaksho a displaystyle a nbsp i b displaystyle b nbsp elementi p displaystyle p nbsp to a displaystyle a nbsp i b displaystyle b nbsp ye starshimi koeficiyentami deyakih mnogochleniv z F displaystyle F nbsp f x a x n displaystyle f x ax n nbsp i g x b x m displaystyle g x bx m nbsp Yaksho napriklad m n displaystyle m geq n nbsp to a b displaystyle a b nbsp ye starshim koeficiyentom mnogochlena x m n f x g x F displaystyle x m n f x g x in F nbsp Yaksho a displaystyle a nbsp ye starshim koeficiyentomf x displaystyle f x nbsp to a r displaystyle ar nbsp ye starshim koeficiyentom r f x F displaystyle rf x in F nbsp dlya bud yakogo elementu r displaystyle r nbsp Takim chinom p displaystyle p nbsp ideal a oskilki R displaystyle R nbsp kilce Neter to p displaystyle p nbsp porodzhuyetsya deyakimi elementami a 1 a 2 a n displaystyle a 1 a 2 a n nbsp starshimi koeficiyentami mnogochleniv f 1 f 2 f n F displaystyle f 1 f 2 f n in F nbsp Nehaj najbilshij stepin cih mnogochleniv rivnij r displaystyle r nbsp Mozhna vvazhati sho stepin kozhnogo z cih mnogochleniv rivnij r displaystyle r nbsp yaksho vin rivnij m r displaystyle m leq r nbsp to mozhna zrobiti jogo takim pomnozhivshi na x r m displaystyle x r m nbsp Analogichno dovoditsya sho p k displaystyle p k nbsp mnozhina starshih koeficiyentiv mnogochleniv z F displaystyle F nbsp stepin yakih k r displaystyle k leq r nbsp do ciyeyi mnozhini dodanij 0 kilcya ye idealom i tomu idealom porodzhenim elementami a k 1 a k 2 a k n k displaystyle a k1 a k2 a kn k nbsp Nehaj voni ye starshimi koeficiyentami mnogochleniv f k 1 f k 2 f k n k F displaystyle f k1 f k2 f kn k in F nbsp stepenya k displaystyle k nbsp Dovedemo sho ci mnogochleni f 1 f 2 f n f 11 f 12 f 1 n 1 f r 1 1 f r 1 2 f r 1 n r 1 F displaystyle f 1 f 2 f n f 11 f 12 f 1n 1 ldots f r 1 1 f r 1 2 f r 1 n r 1 in F nbsp porodzhuyut ideal F displaystyle F nbsp Nehajf x a x s displaystyle f x ax s nbsp yakij nebud mnogochlen idealu F displaystyle F nbsp za viznachennyam a p displaystyle a in p nbsp Yaksho jogo stepin s r displaystyle s geq r nbsp to oskilki a displaystyle a nbsp po dovedenomu ye linijnoyu kombinaciyeyu a r 1 a 1 r 2 a 2 r n a n displaystyle a r 1 a 1 r 2 a 2 r n a n nbsp starshih chleniv mnogochleniv f 1 f 2 f n F displaystyle f 1 f 2 f n in F nbsp stepenya r displaystyle r nbsp to mi oderzhimo sho f x r 1 x s r f 1 r 2 x s r f 2 r n x s r f n displaystyle f x r 1 x s r f 1 r 2 x s r f 2 r n x s r f n nbsp bude mnogochlenom stepenya menshogo nizh s displaystyle s nbsp sho takozh nalezhit idealu F displaystyle F nbsp Povtoryuyuchi pri neobhidnosti cyu operaciyu kilka raziv mozhna dijti do mnogochlena stepenya ne bilshogo r displaystyle r nbsp Dlya mnogochlena stepenya k r displaystyle k leq r nbsp zastosovuyetsya ta zh procedura ale z vikoristannyam mnogochleniv f k 1 f k 2 f k n k F displaystyle f k1 f k2 f kn k in F nbsp starshi koeficiyenti yakih porodzhuyut ideal p k displaystyle p k nbsp Dali procedura povtoryuyetsya poki mi ne dijdemo do nulovogo mnogochlena Literatura RedaguvatiVan der Varden B L Algebra Moskva Nauka 1975 623 s ISBN 5 8114 0552 9 ros Zarisskij O Samyuel P Kommutativnaya algebra Moskva IL 1963 T 1 373 s ros Leng S Algebra Moskva Mir 1968 564 s ISBN 5458320840 ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teorema Gilberta pro bazis amp oldid 38054282