Скалярна кривина (або скаляр Річі) — найпростіший з можливих інваріантів кривизни Ріманових многовидів. Кожній точці многовиду вона ставить у відповідність одне дійсне число, яке визначається внутрішньою геометрією многовида в околиці цієї точки. Зокрема, скалярна кривина виражає значення об'єму на який відрізняються геодезичні кулі у викривленому рімановому многовиді і в евклідовому просторі. Отримується згорткою тензора Річчі з метричним тензором
Рівняння гравітаційного поля ред.
В загальної теорії відносності функціонал дії для гравітаційного поля виражається за допомогою інтеграла по чотиривимірному об'єму від скалярної кривизни:
Тому рівняння гравітаційного поля можуть бути отримані шляхом взяття похідної Ейлера-Лагранжа від скалярної густини кривизни .
Двовимірні поверхні ред.
Для двовимірних ріманових многовидів скалярна кривина збігається з гаусовою кривиною многовиду. Інтеграл по гаусовій кривині дорівнює ейлеровфй характеристиці поверхні помноженій на — це твердження становить суть теореми Гауса-Бонне.
Примітки ред.
- . Архів оригіналу за 21 жовтня 2016. Процитовано 1 листопада 2011.