www.wikidata.uk-ua.nina.az

Розподіл Ґіббса розподіл що визначає кількості частинок в різних квантових станах Ґрунтується на таких постулатах статис

Розподіл Ґіббса

Розподіл Ґіббса — розподіл, що визначає кількості частинок в різних квантових станах. Ґрунтується на таких постулатах статистики:

  1. Всі доступні мікростани системи рівноймовірні.
  2. Рівновазі відповідає найімовірніший розподіл (підсистем за станами).
  3. Ймовірність перебування підсистеми в деякому стані визначається лише енергією стану.

Розподіл Ґіббса являє собою найзагальнішу і зручну основу для побудови рівноважної статистичної механіки.

Кількісний розгляд Редагувати

Статистична сума

як і в термодинаміці, має зміст відносної ймовірність знаходження системи в певному микростанів. І, дивлячись на співвідношення Больцмана , легко зрозуміти, що станам з максимальною ентропією відповідає максимальна статистична вага. Потрібно врахувати, що в системі постійні число частинок

і повна енергія

Факторіал великих чисел (а числа і великі; тими з них, які малі, можна знехтувати) знаходиться за формулою Стірлінга: , де . Цю точну формулу можна замінити наближеною

так як відносна помилка в обчисленнях за цією формулою не перевершує , вже при вона менше одного відсотока. Із співвідношень (0), (1) і (3) випливає наступне:

Чисельник тут є функція від , і можна ввести позначення

що дає

Тоді з формули Больцмана слідує

Тут можна знехтувати 0,5 порівняно з . Тоді

Максимум ентропії (5) із урахуванням співвідношень (1) і (2), використовуючи метод невизначених множників, буде при умовах

Звідси , де и  — множники Лагранжа, не залежні від змінних . У системі є змінні і три рівняння - отже, будь-які дві залежать від інших; відповідно можна вважати залежними та і вибрати множники Лагранжа так, щоб коефіцієнти при и звернулися в 0. Тоді при інших змінні , , … можна прийняти за незалежні, і при них коефіцієнти також будуть рівні 0. Так отримано

звідси

де  — нова константа.

Для визначення сталої можна скласти систему в теплопровідні стінки і квазістатично змінювати її температуру. Зміна енергії газ а одно , а зміна ентропії (зі співвідношення (5)) дорівнює . Так як , то звідси , і тому

Термостат Редагувати

Отримано найбільш ймовірне розподіл системи. Для довільної макроскопічної системи (системи в термостаті), оточеній протяжної середовищем (термостатом), температура якої підтримується постійною, виконується співвідношення (6) - розподіл Гіббса: їм визначається відносна ймовірність того, що система при термодинамічній рівновазі знаходиться в -вому квантовому стані.

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

  • Базаров И. П., Геворкян Э. В., Николаев П. Н. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. — М.: МГУ, 1986. — 312 с.
  • Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. Статистическая физика. — Том 2. — М.: УРСС, 2002. — 430 с.
  • Кубо Р. Статистическая механика. — М.: Мир, 1967. — 452 c.
  • Сивухин Д. В. Общий курс физики. — В 5 т. — Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
  • Терлецкий Я. П. Статистическая физика. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1973. — 277 c.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Rozpodil Gibbsa rozpodil sho viznachaye kilkosti chastinok v riznih kvantovih stanah Gruntuyetsya na takih postulatah statistiki Vsi dostupni mikrostani sistemi rivnojmovirni Rivnovazi vidpovidaye najimovirnishij rozpodil pidsistem za stanami Jmovirnist perebuvannya pidsistemi v deyakomu stani viznachayetsya lishe energiyeyu stanu Rozpodil Gibbsa yavlyaye soboyu najzagalnishu i zruchnu osnovu dlya pobudovi rivnovazhnoyi statistichnoyi mehaniki Zmist 1 Kilkisnij rozglyad 2 Termostat 3 Div takozh 4 DzherelaKilkisnij rozglyad RedaguvatiStatistichna suma G N N 1 N 2 0 displaystyle G frac N N 1 N 2 dots qquad 0 nbsp yak i v termodinamici maye zmist vidnosnoyi jmovirnist znahodzhennya sistemi v pevnomu mikrostaniv I divlyachis na spivvidnoshennya Bolcmana S k ln G displaystyle S k ln G nbsp legko zrozumiti sho stanam z maksimalnoyu entropiyeyu vidpovidaye maksimalna statistichna vaga Potribno vrahuvati sho v sistemi postijni chislo chastinok i N i N c o n s t 1 displaystyle sum limits i N i N mathrm const qquad 1 nbsp i povna energiya i N i e i E c o n s t 2 displaystyle sum limits i N i varepsilon i E mathrm const qquad 2 nbsp Faktorial velikih chisel a chisla N displaystyle N nbsp i N i displaystyle N i nbsp veliki timi z nih yaki mali mozhna znehtuvati znahoditsya za formuloyu Stirlinga N 2 p N N e N exp ϑ 12 N displaystyle N sqrt 2 pi N left frac N e right N exp left frac vartheta 12N right nbsp de 0 lt ϑ lt 1 displaystyle 0 lt vartheta lt 1 nbsp Cyu tochnu formulu mozhna zaminiti nablizhenoyu N 2 p N N e N 3 displaystyle N sqrt 2 pi N left frac N e right N qquad 3 nbsp tak yak vidnosna pomilka v obchislennyah za ciyeyu formuloyu ne perevershuye e 1 12 N 1 1 12 N displaystyle e frac 1 12N 1 approx frac 1 12N nbsp vzhe pri n 10 displaystyle n 10 nbsp vona menshe odnogo vidsotoka Iz spivvidnoshen 0 1 i 3 viplivaye nastupne G N i 2 p N i N i N i e N i N i e N i i 2 p i N i N i N i N e i N i 2 p 0 5 N i N i N i N i N e i N i 2 p 0 5 N i N i N i 0 5 displaystyle G frac N prod limits i sqrt 2 pi N i N i N i e N i frac N cdot prod limits i e N i left prod limits i sqrt 2 pi right left prod limits i sqrt N i N i N i right frac dfrac N cdot e sum limits i N i left 2 pi right 0 5N prod limits i sqrt N i N i N i frac dfrac N cdot e sum limits i N i left 2 pi right 0 5N prod limits i N i N i 0 5 nbsp Chiselnik tut ye funkciya vid N displaystyle N nbsp i mozhna vvesti poznachennya C N N e i N i 2 p 0 5 N displaystyle C N frac N cdot e sum limits i N i 2 pi 0 5N nbsp sho daye G C N i N i N i 0 5 4 displaystyle G frac C N prod limits i N i N i 0 5 qquad 4 nbsp Todi z formuli Bolcmana S k ln G displaystyle S k ln G nbsp sliduye S k i N i 0 5 ln N i c o n s t displaystyle S k sum limits i N i 0 5 ln N i mathrm const nbsp Tut mozhna znehtuvati 0 5 porivnyano z N i displaystyle N i nbsp Todi S k i N i ln N i c o n s t 5 displaystyle S k sum limits i N i ln N i mathrm const qquad 5 nbsp Maksimum entropiyi 5 iz urahuvannyam spivvidnoshen 1 i 2 vikoristovuyuchi metod neviznachenih mnozhnikiv bude pri umovah ln N i d N i 0 d N i 0 e i d N i 0 displaystyle sum ln N i dN i 0 sum dN i 0 sum varepsilon i dN i 0 nbsp Zvidsi ln N i b a e i d N i 0 displaystyle sum ln N i beta alpha varepsilon i dN i 0 nbsp de a displaystyle alpha nbsp i b displaystyle beta nbsp mnozhniki Lagranzha ne zalezhni vid zminnih N i displaystyle N i nbsp U sistemi ye m displaystyle m nbsp zminni i tri rivnyannya otzhe bud yaki dvi zalezhat vid inshih vidpovidno mozhna vvazhati zalezhnimi N 1 displaystyle N 1 nbsp ta N 2 displaystyle N 2 nbsp i vibrati mnozhniki Lagranzha tak shob koeficiyenti pri d N 1 displaystyle dN 1 nbsp i d N 2 displaystyle dN 2 nbsp zvernulisya v 0 Todi pri inshih d N i displaystyle dN i nbsp zminni N 3 displaystyle N 3 nbsp N 4 displaystyle N 4 nbsp mozhna prijnyati za nezalezhni i pri nih koeficiyenti takozh budut rivni 0 Tak otrimano ln N i b a e i 0 displaystyle ln N i beta alpha varepsilon i 0 nbsp zvidsi N i N 0 e a e i displaystyle bar N i N 0 e alpha varepsilon i nbsp de N 0 e b displaystyle N 0 e beta nbsp nova konstanta Dlya viznachennya staloyi a displaystyle alpha nbsp mozhna sklasti sistemu v teploprovidni stinki i kvazistatichno zminyuvati yiyi temperaturu Zmina energiyi gaz a odno d E e i d N i displaystyle dE sum varepsilon i d bar N i nbsp a zmina entropiyi zi spivvidnoshennya 5 dorivnyuye d S k ln N i d N i k a e i d N i displaystyle dS k sum ln bar N i d bar N i k alpha sum varepsilon i d bar N i nbsp Tak yak d E T d S displaystyle dE T dS nbsp to zvidsi a 1 k T displaystyle alpha frac 1 kT nbsp i tomu N i N 0 e e i k T 6 displaystyle bar N i N 0 e frac varepsilon i kT qquad 6 nbsp Termostat RedaguvatiOtrimano najbilsh jmovirne rozpodil sistemi Dlya dovilnoyi makroskopichnoyi sistemi sistemi v termostati otochenij protyazhnoyi seredovishem termostatom temperatura yakoyi pidtrimuyetsya postijnoyu vikonuyetsya spivvidnoshennya 6 rozpodil Gibbsa yim viznachayetsya vidnosna jmovirnist togo sho sistema pri termodinamichnij rivnovazi znahoditsya v i displaystyle i nbsp vomu kvantovomu stani Div takozh RedaguvatiRozpodil Bolcmana Dzhozaya Villard Gibbs Entropiya GibbsaDzherela RedaguvatiBazarov I P Gevorkyan E V Nikolaev P N Termodinamika i statisticheskaya fizika Teoriya ravnovesnyh sistem M MGU 1986 312 s Kvasnikov I A Termodinamika i statisticheskaya fizika Teoriya ravnovesnyh sistem Statisticheskaya fizika Tom 2 M URSS 2002 430 s Kubo R Statisticheskaya mehanika M Mir 1967 452 c Sivuhin D V Obshij kurs fiziki V 5 t T II Termodinamika i molekulyarnaya fizika M FIZMATLIT 2005 Terleckij Ya P Statisticheskaya fizika 2 e izd M Vysshaya shkola 1973 277 c Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Rozpodil Gibbsa amp oldid 31640912