www.wikidata.uk-ua.nina.az

Радіальна базисна функція РБФ дійснозначна функція чиє значення залежить від відстані до початку системи координат тобто

Радіальна базисна функція

Радіальна базисна функція (РБФ) — дійснозначна функція, чиє значення залежить від відстані до початку системи координат, тобто , або від відстані до деякої іншої точки , яка називається центром, тоді . Функція , що задовольняє умові , є радіальною функцією[en]. Нормою зазвичай є евклідова відстань, хоча можлива будь-яка функція відстані.

Суми радіальних базисних функцій зазвичай використовують для апроксимації заданих функцій[en]. Процес апроксимації можна розглядати як просту нейронну мережу. Саме в такому контексті вони й виникли у роботі Девіда Брумхеда[en] та Девіда Луї у 1988 році, що походить з дослідження Майкла Пауелла[en] 1977 року. РБФ також використовуються як ядро[en] в методі опорних векторів.

Цікавий факт Редагувати

Це 800 000 стаття в українській Вікіпедії

Типи Редагувати

Часто використовувані типи радіальних базисних функцій (підставляємо ):

Апроксимація Редагувати

Радіальні базисні функції зазвичай використовуються для побудови апроксимації функцій[en] у вигляді

де функція, яка апроксимується представлена у вигляді суми радіальних базисних функцій, кожна з яких береться з різним центром , і множиться на відповідну вагу . Ваги можна оцінити за допомогою матричних методів лінійних найменших квадратів, бо функція, яка апроксимується є лінійною відносно вагів .

Такі методи апроксимації зокрема використовуються [джерело?] в часових рядах, при управлінні нелінійними системами додаючи достатньо просту хаотичну поведінку та при 3D реконструкції у комп'ютерній графіці.

Мережа РБФ Редагувати

Дві ненормалізовані Гаусові радіальні базисні функції одного вхідного виміру. Базисна функція відцентрована відносно та .

Суму

можна інтерпретувати як доволі просту одношарову штучну мережу, яка називається мережею радіальних базисних функцій в якій РБФ відіграють роль функцій активації мережі. Можна показати, що будь-яку неперервну функція на відрізку можна інтерполювати з довільною точністю, як суму такого вигляду, якщо використати достатньо велике число РБФ.

Апроксимація є диференційовною відносно ваг . Тому ваги можуть бути навчені за допомогою стандартних ітераційний методів для нейронних мереж.

Використання радіальних базових функцій таким способом дає розумний інтерполяційний підхід, за умови, що тренувальна множина вибрана таким чином, що вона охоплює весь діапазон систематично (ідеально мати рівновіддалені точки). Проте, без поліноміального доданку, ортогонального радіальним базисним функціям, оцінки за межами тренувальної множини, як правило, погано виконуються.

Примітки Редагувати

  1. Radial Basis Function networks [ 2014-04-23 у Wayback Machine.]
  2. Broomhead, David H.; Lowe, David (1988). . Complex Systems 2: 321–355. Архів оригіналу за 14 липня 2014. 
  3. Michael J. D. Powell[en] (1977). Restart procedures for the conjugate gradient method. Mathematical Programming (Springer) 12 (1): 241—254. doi:10.1007/bf01593790. 
  4. Sahin, Ferat (1997). (M.Sc.). Virginia Tech. с. 26. Архів оригіналу за 26 жовтня 2015. Процитовано 10 липня 2018. «Radial basis functions were first introduced by Powell to solve the real multivariate interpolation problem.»  
  5. (Broomhead та Lowe, 1988, с. 347): «We would like to thank Professor M.J.D. Powell at the Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics at Cambridge University for providing the initial stimulus for this work.»
  6. VanderPlas, Jake (6 травня 2015). . [O'Reilly]. Архів оригіналу за 5 вересня 2015. Процитовано 14 травня 2015. 
  7. Wendland H., Piecewise polynomial, positive definite and compactly supported radial functions of minimal degree, Advances in Comp. Mathematics, 4, 1995.
  8. Wu Z., Multivariate compactly supported positive definite radial functions, Advances in Computational Mathematics, 4(3), 1996.

Подальше читання Редагувати

  • Buhmann, Martin D. (2003). Radial Basis Functions: Theory and Implementations. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63338-3. .
  • Hardy, R.L. (1971). Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces. Journal of Geophysical Research 76 (8): 1905–1915. Bibcode:1971JGR....76.1905H. doi:10.1029/jb076i008p01905. 
  • Hardy, R.L. (1990). Theory and applications of the multiquadric-biharmonic method, 20 years of Discovery, 1968 1988. Comp. math Applic 19 (8/9): 163–208. doi:10.1016/0898-1221(90)90272-l. 
  • Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). Section 3.7.1. Radial Basis Function Interpolation. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (вид. 3rd). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. 
  • Sirayanone, S., 1988, Comparative studies of kriging, multiquadric-biharmonic, and other methods for solving mineral resource problems, PhD. Dissertation, Dept. of Earth Sciences, Iowa State University, Ames, Iowa.
  • Sirayanone, S.; Hardy, R.L. (1995). The Multiquadric-biharmonic Method as Used for Mineral Resources, Meteorological, and Other Applications. Journal of Applied Sciences and Computations 1: 437–475. 

Див. також Редагувати

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Radialna bazisna funkciya RBF dijsnoznachna funkciya chiye znachennya zalezhit vid vidstani do pochatku sistemi koordinat tobto ϕ x ϕ x displaystyle phi bf x phi bf x abo vid vidstani do deyakoyi inshoyi tochki c displaystyle bf c yaka nazivayetsya centrom todi ϕ x c ϕ x c displaystyle phi left mathbf x mathbf c right phi left left mathbf x mathbf c right right Funkciya ϕ displaystyle phi sho zadovolnyaye umovi ϕ x ϕ x displaystyle phi left mathbf x right phi left left mathbf x right right ye radialnoyu funkciyeyu en Normoyu zazvichaj ye evklidova vidstan hocha mozhliva bud yaka funkciya vidstani Sumi radialnih bazisnih funkcij zazvichaj vikoristovuyut dlya aproksimaciyi zadanih funkcij en Proces aproksimaciyi mozhna rozglyadati yak prostu nejronnu merezhu Same v takomu konteksti voni j vinikli u roboti Devida Brumheda en ta Devida Luyi u 1988 roci 1 2 sho pohodit z doslidzhennya Majkla Pauella en 1977 roku 3 4 5 RBF takozh vikoristovuyutsya yak yadro en v metodi opornih vektoriv 6 Zmist 1 Cikavij fakt 2 Tipi 3 Aproksimaciya 4 Merezha RBF 5 Primitki 6 Podalshe chitannya 7 Div takozhCikavij fakt RedaguvatiCe 800 000 stattya v ukrayinskij VikipediyiTipi RedaguvatiChasto vikoristovuvani tipi radialnih bazisnih funkcij pidstavlyayemo r x x i textstyle r left mathbf x mathbf x i right nbsp Gausova ϕ r e e r 2 displaystyle phi left r right e left varepsilon r right 2 nbsp Multikvadratichna ϕ r 1 e r 2 displaystyle phi left r right sqrt 1 left varepsilon r right 2 nbsp Zvorotna kvadratichna ϕ r 1 1 e r 2 displaystyle phi left r right dfrac 1 1 left varepsilon r right 2 nbsp Zvorotna multikvadratichna ϕ r 1 1 e r 2 displaystyle phi left r right dfrac 1 sqrt 1 left varepsilon r right 2 nbsp Polinomialnij splajn ϕ r r k k 1 3 5 ϕ r r k ln r k 2 4 6 displaystyle begin aligned phi left r right amp r k amp k amp 1 3 5 dotsc phi left r right amp r k ln left r right amp k amp 2 4 6 dotsc end aligned nbsp Tonkij plastinchatij splajn en specialnij poligarmonichnij splajn ϕ r r 2 ln r displaystyle phi left r right r 2 ln left r right nbsp Linijna ϕ r r displaystyle phi r r nbsp Kubichna ϕ r r 3 displaystyle phi r r 3 nbsp Funkciya Vendlenda 7 ϕ r 1 r R 4 4 r R 1 r R lt 1 0 r R 1 displaystyle phi r begin cases left 1 frac r R right 4 left 4 frac r R 1 right amp frac r R lt 1 0 amp frac r R geqslant 1 end cases nbsp Funkciya Vu 8 ϕ r 1 r R 4 4 16 r R 12 r R 2 3 r R 3 r R lt 1 0 r R 1 displaystyle phi r begin cases left 1 frac r R right 4 left 4 16 frac r R 12 left frac r R right 2 3 left frac r R right 3 right amp frac r R lt 1 0 amp frac r R geqslant 1 end cases nbsp Aproksimaciya RedaguvatiRadialni bazisni funkciyi zazvichaj vikoristovuyutsya dlya pobudovi aproksimaciyi funkcij en u viglyadiy x i 1 N w i ϕ x x i displaystyle y left mathbf x right sum i 1 N w i phi left left mathbf x mathbf x i right right nbsp de funkciya yaka aproksimuyetsya y x textstyle y left mathbf x right nbsp predstavlena u viglyadi sumi N displaystyle N nbsp radialnih bazisnih funkcij kozhna z yakih beretsya z riznim centrom x i textstyle mathbf x i nbsp i mnozhitsya na vidpovidnu vagu w i textstyle w i nbsp Vagi w i textstyle w i nbsp mozhna ociniti za dopomogoyu matrichnih metodiv linijnih najmenshih kvadrativ bo funkciya yaka aproksimuyetsya ye linijnoyu vidnosno vagiv w i textstyle w i nbsp Taki metodi aproksimaciyi zokrema vikoristovuyutsya dzherelo v chasovih ryadah pri upravlinni nelinijnimi sistemami dodayuchi dostatno prostu haotichnu povedinku ta pri 3D rekonstrukciyi u komp yuternij grafici Merezha RBF RedaguvatiDokladnishe Merezha radialnih bazisnih funkcij nbsp Dvi nenormalizovani Gausovi radialni bazisni funkciyi odnogo vhidnogo vimiru Bazisna funkciya vidcentrovana vidnosno x 1 0 75 textstyle x 1 0 75 nbsp ta x 2 3 25 textstyle x 2 3 25 nbsp Sumuy x i 1 N w i ϕ x x i displaystyle y left mathbf x right sum i 1 N w i phi left left mathbf x mathbf x i right right nbsp mozhna interpretuvati yak dovoli prostu odnosharovu shtuchnu merezhu yaka nazivayetsya merezheyu radialnih bazisnih funkcij v yakij RBF vidigrayut rol funkcij aktivaciyi merezhi Mozhna pokazati sho bud yaku neperervnu funkciya na vidrizku mozhna interpolyuvati z dovilnoyu tochnistyu yak sumu takogo viglyadu yaksho vikoristati dostatno velike chislo N textstyle N nbsp RBF Aproksimaciya y x textstyle y left mathbf x right nbsp ye diferencijovnoyu vidnosno vag w i textstyle w i nbsp Tomu vagi mozhut buti navcheni za dopomogoyu standartnih iteracijnij metodiv dlya nejronnih merezh Vikoristannya radialnih bazovih funkcij takim sposobom daye rozumnij interpolyacijnij pidhid za umovi sho trenuvalna mnozhina vibrana takim chinom sho vona ohoplyuye ves diapazon sistematichno idealno mati rivnoviddaleni tochki Prote bez polinomialnogo dodanku ortogonalnogo radialnim bazisnim funkciyam ocinki za mezhami trenuvalnoyi mnozhini yak pravilo pogano vikonuyutsya Primitki Redaguvati Radial Basis Function networks Arhivovano 2014 04 23 u Wayback Machine Broomhead David H Lowe David 1988 Multivariable Functional Interpolation and Adaptive Networks Complex Systems 2 321 355 Arhiv originalu za 14 lipnya 2014 Michael J D Powell en 1977 Restart procedures for the conjugate gradient method Mathematical Programming Springer 12 1 241 254 doi 10 1007 bf01593790 Sahin Ferat 1997 A Radial Basis Function Approach to a Color Image Classification Problem in a Real Time Industrial Application M Sc Virginia Tech s 26 Arhiv originalu za 26 zhovtnya 2015 Procitovano 10 lipnya 2018 Radial basis functions were first introduced by Powell to solve the real multivariate interpolation problem Broomhead ta Lowe 1988 s 347 We would like to thank Professor M J D Powell at the Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics at Cambridge University for providing the initial stimulus for this work VanderPlas Jake 6 travnya 2015 Introduction to Support Vector Machines O Reilly Arhiv originalu za 5 veresnya 2015 Procitovano 14 travnya 2015 Wendland H Piecewise polynomial positive definite and compactly supported radial functions of minimal degree Advances in Comp Mathematics 4 1995 Wu Z Multivariate compactly supported positive definite radial functions Advances in Computational Mathematics 4 3 1996 Podalshe chitannya RedaguvatiBuhmann Martin D 2003 Radial Basis Functions Theory and Implementations Cambridge University Press ISBN 978 0 521 63338 3 Hardy R L 1971 Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces Journal of Geophysical Research 76 8 1905 1915 Bibcode 1971JGR 76 1905H doi 10 1029 jb076i008p01905 Hardy R L 1990 Theory and applications of the multiquadric biharmonic method 20 years of Discovery 1968 1988 Comp math Applic 19 8 9 163 208 doi 10 1016 0898 1221 90 90272 l Press WH Teukolsky SA Vetterling WT Flannery BP 2007 Section 3 7 1 Radial Basis Function Interpolation Numerical Recipes The Art of Scientific Computing vid 3rd New York Cambridge University Press ISBN 978 0 521 88068 8 Sirayanone S 1988 Comparative studies of kriging multiquadric biharmonic and other methods for solving mineral resource problems PhD Dissertation Dept of Earth Sciences Iowa State University Ames Iowa Sirayanone S Hardy R L 1995 The Multiquadric biharmonic Method as Used for Mineral Resources Meteorological and Other Applications Journal of Applied Sciences and Computations 1 437 475 Div takozh RedaguvatiMerezha radialnih bazisnih funkcij Metod opornih vektoriv Mashinne navchannya nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Radialna bazisna funkciya amp oldid 40173283