www.wikidata.uk-ua.nina.az

Приєднані функції Лежандра канонічні розв язки узагальненого рівняння Лежандра 1 x 2 d 2 d x 2 P ℓ m x 2 x d d x P ℓ m x

Приєднані функції Лежандра

Приєднані функції Лежандра — канонічні розв'язки узагальненого рівняння Лежандра

або

де індекси ℓ та m називають степінню та порядком, відповідно. У разі, коли ℓ ціле, а m — не тільки ціле, а парне ці функції зводяться до поліномів Лежандра, томі їх часто неформально називають приєднаними поліномами Лежандра, хоча для довільних ℓ та m вони поліномами не є. Загалом узагальнене рівняння Лежандра має аналітичний розв'язок на інтревалі on [−1, 1] лише для цілих ℓ та m.

Рівняння Лежандра часто зустрічається фізиці та суміжних дисциплінах. Зокрема вони виникають при розв'язанні рівняння Лапласа в сферичній системі координат. Вони важливі для визначення сферичних гармонік.


Означення для невід'ємних цілих значень ℓ та m Редагувати

Розв'язки поначаються , де m — верхній індекс. Налегше їх визначити як похідні від поліномів Лежандра (m ≥ 0)

Іноді множник (−1)m у визначенні опускають.

Визначені так функції задовольняють узагальнене рівняння Лежандра, учому можна переконатися взявши m похідну від рівняння Лежандра для поліномів Pℓ:


Враховуючи формулу Родріга,

Pm
ℓ можна записати у вигляді

Це рівняння дозволяє розширити діапозон значень m до: −ℓ ≤ m ≤ ℓ. Означення Pℓ±m, що слідує з цього виразу після заміни ±m, пропрціональні між собою. Справді, прирівняюючи коефіцієнти при однакових степенях у правій та лівій частині формули

стала пропорційносі визначається як

тож

Альтернативне позначення Редагувати

У літературі також використовується позначення:

Ортогональність Редагувати

У межах 0 ≤ m ≤ ℓ, фукції задовольняють умову ортогональності для фіксованих m:

де δk, ℓ — символ Кронекера.

Вони також задовольняють умову ортогональності при фіксованих ℓ:

Від'ємні m та/або від'ємні ℓ Редагувати

Диференційне рівняння інваріантне щодо зміни знаку m.

Функції при від'ємнмх m пропорційні визначеним при додатних m:

Якщо то

Диференційне рівняння не зміюється також при заміні ℓ на −ℓ − 1, тому функції при від'ємних ℓ визначаються як

Парність Редагувати

З означення випливає, що приєднані функції Лежандра або парні або непарні

Перші кілька приєднаних функцій Лежандра Редагувати

Associated Legendre functions for m = 4

Перші кілька приєднаних функцій Лежандра включно з від'ємними значеннями m:


Рекурентні співвідношення Редагувати

Функції Лежандра задовольняють рекурентним співвідношенням:

Корисні тотожності (початкові значення для рекурсії):


Формула Гонта Редагувати

Інтеграл від добутку трьох приєднаних поліномів Лежандра з порядками вказаними нижче має значення для розкладу добутку поліномів Лежандра в лінійні ряди поліномів. Наприклад, у цьому виникає потреба при атомних розрахунках, які використовують матричні елементи від кулонівського оператора в методі Гартрі-Фока. Цій меті відповідає формула Гонта

Ця формула використовується за умови виконання наступних припущень:

  1. степені невід'ємні цілі числа ,
  2.  — невід'ємні цілі,
  3.  — найбільший зі степенів
  4. у сумі степені дають
  5. порядки задовольняють умові

Інші величини у формулі означені так:

Інтеграл дорівнює нулю, якщо не виконується наступне:

  1. сума всіх степенів парна, тож є цілим числом
  2. задовольняється умова трикутника: .

Донг та Лемю (2002) узагальнили доведення цієї формули на інтеграли від добутку довільного числа приєднаних поліномів Лежандра.

Узагальнення через гіпергеометричну функцію Редагувати

Функції можна визначити для довільних комплексних параметрів та аргументів:

де  — гамма-функція, а  — гіпергеометрична функція:

За такого загального означення функції однозначно називають функціями Лежандра. Вони задовольняють тому ж диференційному рівнянню:

Оскільки це рівняння другого порядку, воно має ще один розв'язок , визначений як:

Як так і задовольняють рекурентним формулам, наведеним раніше.

Параметризація через кути Редагувати

Приєднані функції Лежандра найбільше використовуються, коли їхнім арументом є кут. Після заміни :

Використовуючи , наведений вище перелік набирає форми:

Ортогональність у цих позначеннях стає: для фіксованих m, ортогоналіні в інтервалі зміни θ з вагою :

Для фіксованих ℓ:

Як функції від θ, є розв'язками рівняння

Точніше, для цілого m0, наведене рівняння має розв'язки без особливостей тільки тоді, коли для цілих ℓ ≥ m, і ці розв'язки пропорційні .


Застосування в фізиці: сферичні гармоніки Редагувати

У фізиці приєднані поліноми Лежандра як функції кута зустрічаються в задачах зі сферичною симетрією. Крім полярного кута в цих задачах фігурує кут . Функції цих двох кутів утворюють так звані сферичні гармоніки. Вони відображають симетрію дво-сфери під дією групи Лі SO(3).

Корисність цих функцій у тому, що вони є розв'язками рівняння на поверхні сфери. У сферичних координатах θ та φ , Лапласіан має вигляд

Якщо розв'язати рівняння в часткових похідних

методом розділення змінних, залежна від φ частина має вигляд або для цілих m≥0, а рівняння для залежної від θ частини набирає вигляду

розв'язками якого є з та .

Тому рівняння

має сепарабельні розв'язки без особливостей лише тоді, коли , і ці розв'язки пропорційні


та

Для кожного ℓ існує 2ℓ + 1 функцій з різними значеннями m та вибором синуса чи косинуса. Усі вони ортогональні щодо ℓ та m при інтегруванні по поверхні сфери.

Зазвичай розв'язки записують через комплексні експоненти:

Функції називають сферичними гармоніками, а вираз у квадратних дужках є множником нормування. З означення приєднаних поліномів Лежандра для додатних та від'ємних m, легко доказати, що сферичні гармоніки задовольняють тотожність


Сферичні гармоніки утворюють повний ортонормований набір у сенсі рядів Фур'є. У геодезії, геомагнетизмі та спектральному аналізі використовуються інші фази та множники нормування.

Узагальнення Редагувати

Приєднані поліноми Лежандра тісно пов'язані з гіпергеометричними рядами . У формі сферичних гармонік вони відображають симетрію сфери Рімана щодо дії групи Лі SO(3). Поряд із SO(3) існує багато інших груп Лі, тож аналогіні поліноми відповідають симетріям напівпростих груп Лі та симетричним просторам Рімана. Грубо кажучи, можна записати лапласіан у симертричних просторах: тоді власні функції лапласіана можна вважати узагальненням поліномів Лежандра в інших умовах.

Див. також Редагувати

Література Редагувати

  • Arfken, G.B.; Weber, H.J. (2001). Mathematical methods for physicists. Academic Press. ISBN 0-12-059825-6. ; Section 12.5. (Uses a different sign convention.)
  • Belousov, S. L. (1962). Tables of normalized associated Legendre polynomials. Mathematical tables 18. Pergamon Press. .
  • Condon, E. U.; Shortley, G. H. (1970). The Theory of Atomic Spectra. Cambridge, England: Cambridge University Press. OCLC 5388084. ; Chapter 3.
  • Courant, Richard; Hilbert, David (1953). Methods of Mathematical Physics, Volume 1. New York: Interscience Publischer, Inc. .
  • Edmonds, A.R. (1957). Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton University Press. ISBN 0-691-07912-9. ; Chapter 2.
  • Hildebrand, F. B. (1976). Advanced Calculus for Applications. Prentice Hall. ISBN 0-13-011189-9. .
  • Schach, S. R. (1973) New Identities for Legendre Associated Functions of Integral Order and Degree , Society for Industrial and Applied Mathematics Journal on Mathematical Analysis, 1976, Vol. 7, No. 1 : pp. 59–69

Посилання Редагувати

Виноски Редагувати

  1. (Courant та Hilbert, 1953, V, §10).
  2. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, ред. (1983). Chapter 8. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series 55 (вид. Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. с. 332. ISBN 0-486-61272-4. LCCN 64-60036. MR 0167642. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 6512253-{{{3}}}. 
  3. From John C. Slater Quantum Theory of Atomic Structure, McGraw-Hill (New York, 1960), Volume I, page 309, which cites the original work of J. A. Gaunt, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, A228:151 (1929)
  4. Dong S.H., Lemus R., (2002), «The overlap integral of three associated Legendre polynomials», Appl. Math. Lett. 15, 541—546.
  5. Ця тотожність також встановлює зв'язок із D-матрицями Вігнера і використовується при зміні в них напрямку часу. Співвідношення між приєднаними поліномами Лежандра з ±m можна показати з комплексного спряження сферичних гармонік.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Priyednani funkciyi Lezhandra kanonichni rozv yazki uzagalnenogo rivnyannya Lezhandra 1 x 2 d 2 d x 2 P ℓ m x 2 x d d x P ℓ m x ℓ ℓ 1 m 2 1 x 2 P ℓ m x 0 displaystyle 1 x 2 frac d 2 dx 2 P ell m x 2x frac d dx P ell m x left ell ell 1 frac m 2 1 x 2 right P ell m x 0 abo d d x 1 x 2 d d x P ℓ m x ℓ ℓ 1 m 2 1 x 2 P ℓ m x 0 displaystyle frac d dx left 1 x 2 frac d dx P ell m x right left ell ell 1 frac m 2 1 x 2 right P ell m x 0 de indeksi ℓ ta m nazivayut stepinnyu ta poryadkom vidpovidno U razi koli ℓ cile a m ne tilki cile a parne ci funkciyi zvodyatsya do polinomiv Lezhandra tomi yih chasto neformalno nazivayut priyednanimi polinomami Lezhandra hocha dlya dovilnih ℓ ta m voni polinomami ne ye Zagalom uzagalnene rivnyannya Lezhandra maye analitichnij rozv yazok na intrevali on 1 1 lishe dlya cilih ℓ ta m Rivnyannya Lezhandra chasto zustrichayetsya fizici ta sumizhnih disciplinah Zokrema voni vinikayut pri rozv yazanni rivnyannya Laplasa v sferichnij sistemi koordinat Voni vazhlivi dlya viznachennya sferichnih garmonik Zmist 1 Oznachennya dlya nevid yemnih cilih znachen ℓ ta m 1 1 Alternativne poznachennya 2 Ortogonalnist 3 Vid yemni m ta abo vid yemni ℓ 4 Parnist 5 Pershi kilka priyednanih funkcij Lezhandra 6 Rekurentni spivvidnoshennya 7 Formula Gonta 8 Uzagalnennya cherez gipergeometrichnu funkciyu 9 Parametrizaciya cherez kuti 10 Zastosuvannya v fizici sferichni garmoniki 11 Uzagalnennya 12 Div takozh 13 Literatura 14 Posilannya 15 VinoskiOznachennya dlya nevid yemnih cilih znachen ℓ ta m RedaguvatiRozv yazki ponachayutsya P ℓ m x displaystyle P ell m x nbsp de m verhnij indeks Nalegshe yih viznachiti yak pohidni vid polinomiv Lezhandra m 0 P ℓ m x 1 m 1 x 2 m 2 d m d x m P ℓ x displaystyle P ell m x 1 m 1 x 2 m 2 frac d m dx m left P ell x right nbsp Inodi mnozhnik 1 m u viznachenni opuskayut Viznacheni tak funkciyi zadovolnyayut uzagalnene rivnyannya Lezhandra uchomu mozhna perekonatisya vzyavshi m pohidnu vid rivnyannya Lezhandra dlya polinomiv Pℓ 1 1 x 2 d 2 d x 2 P ℓ x 2 x d d x P ℓ x ℓ ℓ 1 P ℓ x 0 displaystyle 1 x 2 frac d 2 dx 2 P ell x 2x frac d dx P ell x ell ell 1 P ell x 0 nbsp Vrahovuyuchi formulu Rodriga P ℓ x 1 2 ℓ ℓ d ℓ d x ℓ x 2 1 ℓ displaystyle P ell x frac 1 2 ell ell frac d ell dx ell left x 2 1 ell right nbsp Pmℓ mozhna zapisati u viglyadi P ℓ m x 1 m 2 ℓ ℓ 1 x 2 m 2 d ℓ m d x ℓ m x 2 1 ℓ displaystyle P ell m x frac 1 m 2 ell ell 1 x 2 m 2 frac d ell m dx ell m x 2 1 ell nbsp Ce rivnyannya dozvolyaye rozshiriti diapozon znachen m do ℓ m ℓ Oznachennya Pℓ m sho sliduye z cogo virazu pislya zamini m proprcionalni mizh soboyu Spravdi pririvnyayuyuchi koeficiyenti pri odnakovih stepenyah u pravij ta livij chastini formuli d ℓ m d x ℓ m x 2 1 ℓ c l m 1 x 2 m d ℓ m d x ℓ m x 2 1 ℓ displaystyle frac d ell m dx ell m x 2 1 ell c lm 1 x 2 m frac d ell m dx ell m x 2 1 ell nbsp stala proporcijnosi viznachayetsya yak c l m 1 m ℓ m ℓ m displaystyle c lm 1 m frac ell m ell m nbsp tozh P ℓ m x 1 m ℓ m ℓ m P ℓ m x displaystyle P ell m x 1 m frac ell m ell m P ell m x nbsp Alternativne poznachennya Redaguvati U literaturi takozh vikoristovuyetsya poznachennya 2 P ℓ m x 1 m P ℓ m x displaystyle P ell m x 1 m P ell m x nbsp Ortogonalnist RedaguvatiU mezhah 0 m ℓ fukciyi zadovolnyayut umovu ortogonalnosti dlya fiksovanih m 1 1 P k m P ℓ m d x 2 ℓ m 2 ℓ 1 ℓ m d k ℓ displaystyle int 1 1 P k m P ell m dx frac 2 ell m 2 ell 1 ell m delta k ell nbsp de dk ℓ simvol Kronekera Voni takozh zadovolnyayut umovu ortogonalnosti pri fiksovanih ℓ 1 1 P ℓ m P ℓ n 1 x 2 d x 0 if m n ℓ m m ℓ m if m n 0 if m n 0 displaystyle int 1 1 frac P ell m P ell n 1 x 2 dx begin cases 0 amp mbox if m neq n frac ell m m ell m amp mbox if m n neq 0 infty amp mbox if m n 0 end cases nbsp Vid yemni m ta abo vid yemni ℓ RedaguvatiDiferencijne rivnyannya invariantne shodo zmini znaku m Funkciyi pri vid yemnmh m proporcijni viznachenim pri dodatnih m P ℓ m 1 m ℓ m ℓ m P ℓ m displaystyle P ell m 1 m frac ell m ell m P ell m nbsp Yaksho m gt ℓ displaystyle mid m mid gt ell nbsp to P ℓ m 0 displaystyle P ell m 0 nbsp Diferencijne rivnyannya ne zmiyuyetsya takozh pri zamini ℓ na ℓ 1 tomu funkciyi pri vid yemnih ℓ viznachayutsya yak P ℓ m P ℓ 1 m ℓ 1 2 displaystyle P ell m P ell 1 m ell 1 2 nbsp Parnist RedaguvatiZ oznachennya viplivaye sho priyednani funkciyi Lezhandra abo parni abo neparni P ℓ m x 1 ℓ m P ℓ m x displaystyle P ell m x 1 ell m P ell m x nbsp Pershi kilka priyednanih funkcij Lezhandra Redaguvati nbsp Associated Legendre functions for m 4Pershi kilka priyednanih funkcij Lezhandra vklyuchno z vid yemnimi znachennyami m P 0 0 x 1 displaystyle P 0 0 x 1 nbsp P 1 1 x 1 2 P 1 1 x displaystyle P 1 1 x begin matrix frac 1 2 end matrix P 1 1 x nbsp P 1 0 x x displaystyle P 1 0 x x nbsp P 1 1 x 1 x 2 1 2 displaystyle P 1 1 x 1 x 2 1 2 nbsp P 2 2 x 1 24 P 2 2 x displaystyle P 2 2 x begin matrix frac 1 24 end matrix P 2 2 x nbsp P 2 1 x 1 6 P 2 1 x displaystyle P 2 1 x begin matrix frac 1 6 end matrix P 2 1 x nbsp P 2 0 x 1 2 3 x 2 1 displaystyle P 2 0 x begin matrix frac 1 2 end matrix 3x 2 1 nbsp P 2 1 x 3 x 1 x 2 1 2 displaystyle P 2 1 x 3x 1 x 2 1 2 nbsp P 2 2 x 3 1 x 2 displaystyle P 2 2 x 3 1 x 2 nbsp P 3 3 x 1 720 P 3 3 x displaystyle P 3 3 x begin matrix frac 1 720 end matrix P 3 3 x nbsp P 3 2 x 1 120 P 3 2 x displaystyle P 3 2 x begin matrix frac 1 120 end matrix P 3 2 x nbsp P 3 1 x 1 12 P 3 1 x displaystyle P 3 1 x begin matrix frac 1 12 end matrix P 3 1 x nbsp P 3 0 x 1 2 5 x 3 3 x displaystyle P 3 0 x begin matrix frac 1 2 end matrix 5x 3 3x nbsp P 3 1 x 3 2 5 x 2 1 1 x 2 1 2 displaystyle P 3 1 x begin matrix frac 3 2 end matrix 5x 2 1 1 x 2 1 2 nbsp P 3 2 x 15 x 1 x 2 displaystyle P 3 2 x 15x 1 x 2 nbsp P 3 3 x 15 1 x 2 3 2 displaystyle P 3 3 x 15 1 x 2 3 2 nbsp P 4 4 x 1 40320 P 4 4 x displaystyle P 4 4 x begin matrix frac 1 40320 end matrix P 4 4 x nbsp P 4 3 x 1 5040 P 4 3 x displaystyle P 4 3 x begin matrix frac 1 5040 end matrix P 4 3 x nbsp P 4 2 x 1 360 P 4 2 x displaystyle P 4 2 x begin matrix frac 1 360 end matrix P 4 2 x nbsp P 4 1 x 1 20 P 4 1 x displaystyle P 4 1 x begin matrix frac 1 20 end matrix P 4 1 x nbsp P 4 0 x 1 8 35 x 4 30 x 2 3 displaystyle P 4 0 x begin matrix frac 1 8 end matrix 35x 4 30x 2 3 nbsp P 4 1 x 5 2 7 x 3 3 x 1 x 2 1 2 displaystyle P 4 1 x begin matrix frac 5 2 end matrix 7x 3 3x 1 x 2 1 2 nbsp P 4 2 x 15 2 7 x 2 1 1 x 2 displaystyle P 4 2 x begin matrix frac 15 2 end matrix 7x 2 1 1 x 2 nbsp P 4 3 x 105 x 1 x 2 3 2 displaystyle P 4 3 x 105x 1 x 2 3 2 nbsp P 4 4 x 105 1 x 2 2 displaystyle P 4 4 x 105 1 x 2 2 nbsp P 5 5 x 1 3840 1 x 2 5 displaystyle P 5 5 x 1 over 3840 left sqrt 1 x 2 right 5 nbsp P 5 4 x 1 384 1 x 2 4 x displaystyle P 5 4 x 1 over 384 left sqrt 1 x 2 right 4 x nbsp P 5 3 x 1 384 1 x 2 3 9 x 2 1 displaystyle P 5 3 x 1 over 384 left sqrt 1 x 2 right 3 9x 2 1 nbsp P 5 2 x 1 16 1 x 2 2 3 x 3 1 x displaystyle P 5 2 x 1 over 16 left sqrt 1 x 2 right 2 3x 3 1x nbsp P 5 1 x 1 16 1 x 2 21 x 4 14 x 2 1 displaystyle P 5 1 x 1 over 16 left sqrt 1 x 2 right 21x 4 14x 2 1 nbsp P 5 0 x 1 8 63 x 5 70 x 3 15 x displaystyle P 5 0 x 1 over 8 63x 5 70x 3 15x nbsp P 5 1 x 15 8 1 x 2 21 x 4 14 x 2 1 displaystyle P 5 1 x 15 over 8 left sqrt 1 x 2 right 21x 4 14x 2 1 nbsp P 5 2 x 105 2 1 x 2 2 3 x 3 1 x displaystyle P 5 2 x 105 over 2 left sqrt 1 x 2 right 2 3x 3 1x nbsp P 5 3 x 105 2 1 x 2 3 9 x 2 1 displaystyle P 5 3 x 105 over 2 left sqrt 1 x 2 right 3 9x 2 1 nbsp P 5 4 x 945 1 x 2 4 x displaystyle P 5 4 x 945 left sqrt 1 x 2 right 4 x nbsp P 5 5 x 945 1 x 2 5 displaystyle P 5 5 x 945 left sqrt 1 x 2 right 5 nbsp Rekurentni spivvidnoshennya RedaguvatiFunkciyi Lezhandra zadovolnyayut rekurentnim spivvidnoshennyam ℓ m 1 P ℓ 1 m x 2 ℓ 1 x P ℓ m x ℓ m P ℓ 1 m x displaystyle ell m 1 P ell 1 m x 2 ell 1 xP ell m x ell m P ell 1 m x nbsp 2 m x P ℓ m x 1 x 2 P ℓ m 1 x ℓ m ℓ m 1 P ℓ m 1 x displaystyle 2mxP ell m x sqrt 1 x 2 left P ell m 1 x ell m ell m 1 P ell m 1 x right nbsp 1 1 x 2 P ℓ m x 1 2 m P ℓ 1 m 1 x ℓ m 1 ℓ m P ℓ 1 m 1 x displaystyle frac 1 sqrt 1 x 2 P ell m x frac 1 2m left P ell 1 m 1 x ell m 1 ell m P ell 1 m 1 x right nbsp 1 1 x 2 P ℓ m x 1 2 m P ℓ 1 m 1 x ℓ m 1 ℓ m 2 P ℓ 1 m 1 x displaystyle frac 1 sqrt 1 x 2 P ell m x frac 1 2m left P ell 1 m 1 x ell m 1 ell m 2 P ell 1 m 1 x right nbsp 1 x 2 P ℓ m x 1 2 ℓ 1 ℓ m 1 ℓ m 2 P ℓ 1 m 1 x ℓ m 1 ℓ m P ℓ 1 m 1 x displaystyle sqrt 1 x 2 P ell m x frac 1 2 ell 1 left ell m 1 ell m 2 P ell 1 m 1 x ell m 1 ell m P ell 1 m 1 x right nbsp 1 x 2 P ℓ m x 1 2 ℓ 1 P ℓ 1 m 1 x P ℓ 1 m 1 x displaystyle sqrt 1 x 2 P ell m x frac 1 2 ell 1 left P ell 1 m 1 x P ell 1 m 1 x right nbsp 1 x 2 P ℓ m 1 x ℓ m x P ℓ m x ℓ m P ℓ 1 m x displaystyle sqrt 1 x 2 P ell m 1 x ell m xP ell m x ell m P ell 1 m x nbsp 1 x 2 P ℓ m 1 x ℓ m 1 P ℓ 1 m x ℓ m 1 x P ℓ m x displaystyle sqrt 1 x 2 P ell m 1 x ell m 1 P ell 1 m x ell m 1 xP ell m x nbsp 1 x 2 d d x P ℓ m x 1 2 ℓ m ℓ m 1 P ℓ m 1 x P ℓ m 1 x displaystyle sqrt 1 x 2 frac d dx P ell m x frac 1 2 left ell m ell m 1 P ell m 1 x P ell m 1 x right nbsp 1 x 2 d d x P ℓ m x 1 2 ℓ 1 ℓ 1 ℓ m P ℓ 1 m x ℓ ℓ m 1 P ℓ 1 m x displaystyle 1 x 2 frac d dx P ell m x frac 1 2 ell 1 left ell 1 ell m P ell 1 m x ell ell m 1 P ell 1 m x right nbsp x 2 1 d d x P ℓ m x ℓ x P ℓ m x ℓ m P ℓ 1 m x displaystyle x 2 1 frac d dx P ell m x ell xP ell m x ell m P ell 1 m x nbsp x 2 1 d d x P ℓ m x ℓ 1 x P ℓ m x ℓ m 1 P ℓ 1 m x displaystyle x 2 1 frac d dx P ell m x ell 1 xP ell m x ell m 1 P ell 1 m x nbsp x 2 1 d d x P ℓ m x 1 x 2 P ℓ m 1 x m x P ℓ m x displaystyle x 2 1 frac d dx P ell m x sqrt 1 x 2 P ell m 1 x mxP ell m x nbsp x 2 1 d d x P ℓ m x ℓ m ℓ m 1 1 x 2 P ℓ m 1 x m x P ℓ m x displaystyle x 2 1 frac d dx P ell m x ell m ell m 1 sqrt 1 x 2 P ell m 1 x mxP ell m x nbsp Korisni totozhnosti pochatkovi znachennya dlya rekursiyi P ℓ 1 ℓ 1 x 2 ℓ 1 1 x 2 P ℓ ℓ x displaystyle P ell 1 ell 1 x 2 ell 1 sqrt 1 x 2 P ell ell x nbsp P ℓ ℓ x 1 ℓ 2 ℓ 1 1 x 2 ℓ 2 displaystyle P ell ell x 1 ell 2 ell 1 1 x 2 ell 2 nbsp P ℓ 1 ℓ x x 2 ℓ 1 P ℓ ℓ x displaystyle P ell 1 ell x x 2 ell 1 P ell ell x nbsp de poznachaye podvijnij faktorial Formula Gonta RedaguvatiIntegral vid dobutku troh priyednanih polinomiv Lezhandra z poryadkami vkazanimi nizhche maye znachennya dlya rozkladu dobutku polinomiv Lezhandra v linijni ryadi polinomiv Napriklad u comu vinikaye potreba pri atomnih rozrahunkah yaki vikoristovuyut matrichni elementi vid kulonivskogo operatora v metodi Gartri Foka Cij meti vidpovidaye formula Gonta 3 1 2 1 1 P l u x P m v x P n w x d x displaystyle frac 1 2 int 1 1 P l u x P m v x P n w x dx nbsp 1 s m w m v n w 2 s 2 n s m v s l s m s n 2 s 1 displaystyle 1 s m w frac m v n w 2s 2n s m v s l s m s n 2s 1 nbsp t p q 1 t l u t m n u t t l u t m n u t n w t displaystyle times sum t p q 1 t frac l u t m n u t t l u t m n u t n w t nbsp Cya formula vikoristovuyetsya za umovi vikonannya nastupnih pripushen stepeni nevid yemni cili chisla l m n 0 displaystyle l m n geq 0 nbsp u v w 0 displaystyle u v w geq 0 nbsp nevid yemni cili u displaystyle u nbsp najbilshij zi stepeniv u sumi stepeni dayut u v w displaystyle u v w nbsp poryadki zadovolnyayut umovi m n displaystyle m geq n nbsp Inshi velichini u formuli oznacheni tak 2 s l m n displaystyle 2s l m n nbsp p max 0 n m u displaystyle p max 0 n m u nbsp q min m n u l u n w displaystyle q min m n u l u n w nbsp Integral dorivnyuye nulyu yaksho ne vikonuyetsya nastupne suma vsih stepeniv parna tozh s displaystyle s nbsp ye cilim chislom zadovolnyayetsya umova trikutnika m n l m n displaystyle m n geq l geq m n nbsp Dong ta Lemyu 2002 4 uzagalnili dovedennya ciyeyi formuli na integrali vid dobutku dovilnogo chisla priyednanih polinomiv Lezhandra Uzagalnennya cherez gipergeometrichnu funkciyu RedaguvatiDokladnishe Funkciyi LezhandraFunkciyi mozhna viznachiti dlya dovilnih kompleksnih parametriv ta argumentiv P l m z 1 G 1 m 1 z 1 z m 2 2 F 1 l l 1 1 m 1 z 2 displaystyle P lambda mu z frac 1 Gamma 1 mu left frac 1 z 1 z right mu 2 2 F 1 lambda lambda 1 1 mu frac 1 z 2 nbsp de G displaystyle Gamma nbsp gamma funkciya a 2 F 1 displaystyle 2 F 1 nbsp gipergeometrichna funkciya 2 F 1 a b g z G g G a G b n 0 G n a G n b G n g n z n displaystyle 2 F 1 alpha beta gamma z frac Gamma gamma Gamma alpha Gamma beta sum n 0 infty frac Gamma n alpha Gamma n beta Gamma n gamma n z n nbsp Za takogo zagalnogo oznachennya funkciyi odnoznachno nazivayut funkciyami Lezhandra Voni zadovolnyayut tomu zh diferencijnomu rivnyannyu 1 z 2 y 2 z y l l 1 m 2 1 z 2 y 0 displaystyle 1 z 2 y 2zy left lambda lambda 1 frac mu 2 1 z 2 right y 0 nbsp Oskilki ce rivnyannya drugogo poryadku vono maye she odin rozv yazok Q l m z displaystyle Q lambda mu z nbsp viznachenij yak Q l m z p G l m 1 2 l 1 G l 3 2 1 z l m 1 1 z 2 m 2 2 F 1 l m 1 2 l m 2 2 l 3 2 1 z 2 displaystyle Q lambda mu z frac sqrt pi Gamma lambda mu 1 2 lambda 1 Gamma lambda 3 2 frac 1 z lambda mu 1 1 z 2 mu 2 2 F 1 left frac lambda mu 1 2 frac lambda mu 2 2 lambda frac 3 2 frac 1 z 2 right nbsp Yak P l m z displaystyle P lambda mu z nbsp tak i Q l m z displaystyle Q lambda mu z nbsp zadovolnyayut rekurentnim formulam navedenim ranishe Parametrizaciya cherez kuti RedaguvatiPriyednani funkciyi Lezhandra najbilshe vikoristovuyutsya koli yihnim arumentom ye kut Pislya zamini x cos 8 displaystyle x cos theta nbsp P ℓ m cos 8 1 m sin 8 m d m d cos 8 m P ℓ cos 8 displaystyle P ell m cos theta 1 m sin theta m frac d m d cos theta m left P ell cos theta right nbsp Vikoristovuyuchi 1 x 2 1 2 sin 8 displaystyle 1 x 2 1 2 sin theta nbsp navedenij vishe perelik nabiraye formi P 0 0 cos 8 1 P 1 0 cos 8 cos 8 P 1 1 cos 8 sin 8 P 2 0 cos 8 1 2 3 cos 2 8 1 P 2 1 cos 8 3 cos 8 sin 8 P 2 2 cos 8 3 sin 2 8 P 3 0 cos 8 1 2 5 cos 3 8 3 cos 8 P 3 1 cos 8 3 2 5 cos 2 8 1 sin 8 P 3 2 cos 8 15 cos 8 sin 2 8 P 3 3 cos 8 15 sin 3 8 P 4 0 cos 8 1 8 35 cos 4 8 30 cos 2 8 3 P 4 1 cos 8 5 2 7 cos 3 8 3 cos 8 sin 8 P 4 2 cos 8 15 2 7 cos 2 8 1 sin 2 8 P 4 3 cos 8 105 cos 8 sin 3 8 P 4 4 cos 8 105 sin 4 8 displaystyle begin aligned P 0 0 cos theta amp 1 8pt P 1 0 cos theta amp cos theta 8pt P 1 1 cos theta amp sin theta 8pt P 2 0 cos theta amp tfrac 1 2 3 cos 2 theta 1 8pt P 2 1 cos theta amp 3 cos theta sin theta 8pt P 2 2 cos theta amp 3 sin 2 theta 8pt P 3 0 cos theta amp tfrac 1 2 5 cos 3 theta 3 cos theta 8pt P 3 1 cos theta amp tfrac 3 2 5 cos 2 theta 1 sin theta 8pt P 3 2 cos theta amp 15 cos theta sin 2 theta 8pt P 3 3 cos theta amp 15 sin 3 theta 8pt P 4 0 cos theta amp tfrac 1 8 35 cos 4 theta 30 cos 2 theta 3 8pt P 4 1 cos theta amp tfrac 5 2 7 cos 3 theta 3 cos theta sin theta 8pt P 4 2 cos theta amp tfrac 15 2 7 cos 2 theta 1 sin 2 theta 8pt P 4 3 cos theta amp 105 cos theta sin 3 theta 8pt P 4 4 cos theta amp 105 sin 4 theta end aligned nbsp Ortogonalnist u cih poznachennyah staye dlya fiksovanih m P ℓ m cos 8 displaystyle P ell m cos theta nbsp ortogonalini v intervali zmini 8 0 p displaystyle 0 pi nbsp z vagoyu sin 8 displaystyle sin theta nbsp 0 p P k m cos 8 P ℓ m cos 8 sin 8 d 8 2 ℓ m 2 ℓ 1 ℓ m d k ℓ displaystyle int 0 pi P k m cos theta P ell m cos theta sin theta d theta frac 2 ell m 2 ell 1 ell m delta k ell nbsp Dlya fiksovanih ℓ 0 p P ℓ m cos 8 P ℓ n cos 8 csc 8 d 8 0 if m n ℓ m m ℓ m if m n 0 if m n 0 displaystyle int 0 pi P ell m cos theta P ell n cos theta csc theta d theta begin cases 0 amp text if m neq n frac ell m m ell m amp text if m n neq 0 infty amp text if m n 0 end cases nbsp Yak funkciyi vid 8 P ℓ m cos 8 displaystyle P ell m cos theta nbsp ye rozv yazkami rivnyannya d 2 y d 8 2 cot 8 d y d 8 l m 2 sin 2 8 y 0 displaystyle frac d 2 y d theta 2 cot theta frac dy d theta left lambda frac m 2 sin 2 theta right y 0 nbsp Tochnishe dlya cilogo m displaystyle geq nbsp 0 navedene rivnyannya maye rozv yazki bez osoblivostej tilki todi koli l ℓ ℓ 1 displaystyle lambda ell ell 1 nbsp dlya cilih ℓ m i ci rozv yazki proporcijni P ℓ m cos 8 displaystyle P ell m cos theta nbsp Zastosuvannya v fizici sferichni garmoniki RedaguvatiDokladnishe Sferichni garmonikiU fizici priyednani polinomi Lezhandra yak funkciyi kuta zustrichayutsya v zadachah zi sferichnoyu simetriyeyu Krim polyarnogo kuta 8 displaystyle theta nbsp v cih zadachah figuruye kut f displaystyle varphi nbsp Funkciyi cih dvoh kutiv utvoryuyut tak zvani sferichni garmoniki Voni vidobrazhayut simetriyu dvo sferi pid diyeyu grupi Li SO 3 Korisnist cih funkcij u tomu sho voni ye rozv yazkami rivnyannya 2 ps l ps 0 displaystyle nabla 2 psi lambda psi 0 nbsp na poverhni sferi U sferichnih koordinatah 8 ta f Laplasian maye viglyad 2 ps 2 ps 8 2 ctg 8 ps 8 cosec 2 8 2 ps f 2 displaystyle nabla 2 psi frac partial 2 psi partial theta 2 text ctg theta frac partial psi partial theta text cosec 2 theta frac partial 2 psi partial varphi 2 nbsp Yaksho rozv yazati rivnyannya v chastkovih pohidnih 2 ps 8 2 ctg 8 ps 8 cosec 2 8 2 ps f 2 l ps 0 displaystyle frac partial 2 psi partial theta 2 text ctg theta frac partial psi partial theta text cosec 2 theta frac partial 2 psi partial varphi 2 lambda psi 0 nbsp metodom rozdilennya zminnih zalezhna vid f chastina maye viglyad sin m f displaystyle sin m varphi nbsp abo cos m f displaystyle cos m varphi nbsp dlya cilih m 0 a rivnyannya dlya zalezhnoyi vid 8 chastini nabiraye viglyadu d 2 y d 8 2 ctg 8 d y d 8 l m 2 sin 2 8 y 0 displaystyle frac d 2 y d theta 2 text ctg theta frac dy d theta left lambda frac m 2 sin 2 theta right y 0 nbsp rozv yazkami yakogo ye P ℓ m cos 8 displaystyle P ell m cos theta nbsp z ℓ m displaystyle ell geq m nbsp ta l ℓ ℓ 1 displaystyle lambda ell ell 1 nbsp Tomu rivnyannya 2 ps l ps 0 displaystyle nabla 2 psi lambda psi 0 nbsp maye separabelni rozv yazki bez osoblivostej lishe todi koli l ℓ ℓ 1 displaystyle lambda ell ell 1 nbsp i ci rozv yazki proporcijni P ℓ m cos 8 cos m f 0 m ℓ displaystyle P ell m cos theta cos m varphi 0 leq m leq ell nbsp ta P ℓ m cos 8 sin m f 0 lt m ℓ displaystyle P ell m cos theta sin m varphi 0 lt m leq ell nbsp Dlya kozhnogo ℓ isnuye 2ℓ 1 funkcij z riznimi znachennyami m ta viborom sinusa chi kosinusa Usi voni ortogonalni shodo ℓ ta m pri integruvanni po poverhni sferi Zazvichaj rozv yazki zapisuyut cherez kompleksni eksponenti Y ℓ m 8 f 2 ℓ 1 ℓ m 4 p ℓ m P ℓ m cos 8 e i m f ℓ m ℓ displaystyle Y ell m theta varphi sqrt frac 2 ell 1 ell m 4 pi ell m P ell m cos theta e im varphi qquad ell leq m leq ell nbsp Funkciyi Y ℓ m 8 f displaystyle Y ell m theta varphi nbsp nazivayut sferichnimi garmonikami a viraz u kvadratnih duzhkah ye mnozhnikom normuvannya Z oznachennya priyednanih polinomiv Lezhandra dlya dodatnih ta vid yemnih m legko dokazati sho sferichni garmoniki zadovolnyayut totozhnist 5 Y ℓ m 8 f 1 m Y ℓ m 8 f displaystyle Y ell m theta varphi 1 m Y ell m theta varphi nbsp Sferichni garmoniki utvoryuyut povnij ortonormovanij nabir u sensi ryadiv Fur ye U geodeziyi geomagnetizmi ta spektralnomu analizi vikoristovuyutsya inshi fazi ta mnozhniki normuvannya Uzagalnennya RedaguvatiPriyednani polinomi Lezhandra tisno pov yazani z gipergeometrichnimi ryadami U formi sferichnih garmonik voni vidobrazhayut simetriyu sferi Rimana shodo diyi grupi Li SO 3 Poryad iz SO 3 isnuye bagato inshih grup Li tozh analogini polinomi vidpovidayut simetriyam napivprostih grup Li ta simetrichnim prostoram Rimana Grubo kazhuchi mozhna zapisati laplasian u simertrichnih prostorah todi vlasni funkciyi laplasiana mozhna vvazhati uzagalnennyam polinomiv Lezhandra v inshih umovah Div takozh RedaguvatiKutovij moment Spisok ob yektiv nazvanih na chest Adriyena Mari LezhandraLiteratura RedaguvatiArfken G B Weber H J 2001 Mathematical methods for physicists Academic Press ISBN 0 12 059825 6 Section 12 5 Uses a different sign convention Belousov S L 1962 Tables of normalized associated Legendre polynomials Mathematical tables 18 Pergamon Press Condon E U Shortley G H 1970 The Theory of Atomic Spectra Cambridge England Cambridge University Press OCLC 5388084 Chapter 3 Courant Richard Hilbert David 1953 Methods of Mathematical Physics Volume 1 New York Interscience Publischer Inc Edmonds A R 1957 Angular Momentum in Quantum Mechanics Princeton University Press ISBN 0 691 07912 9 Chapter 2 Hildebrand F B 1976 Advanced Calculus for Applications Prentice Hall ISBN 0 13 011189 9 Schach S R 1973 New Identities for Legendre Associated Functions of Integral Order and Degree Society for Industrial and Applied Mathematics Journal on Mathematical Analysis 1976 Vol 7 No 1 pp 59 69Posilannya RedaguvatiAssociated Legendre polynomials in MathWorld Legendre polynomials in MathWorldVinoski Redaguvati Courant ta Hilbert 1953 V 10 Abramowitz Milton Stegun Irene Ann red 1983 Chapter 8 Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Tables Applied Mathematics Series 55 vid Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections December 1972 first Washington D C New York United States Department of Commerce National Bureau of Standards Dover Publications s 332 ISBN 0 486 61272 4 LCCN 64 60036 MR 0167642 ISBN 978 0 486 61272 0 LCCN 6512253 3 From John C Slater Quantum Theory of Atomic Structure McGraw Hill New York 1960 Volume I page 309 which cites the original work of J A Gaunt Philosophical Transactions of the Royal Society of London A228 151 1929 Dong S H Lemus R 2002 The overlap integral of three associated Legendre polynomials Appl Math Lett 15 541 546 Cya totozhnist takozh vstanovlyuye zv yazok iz D matricyami Vignera i vikoristovuyetsya pri zmini v nih napryamku chasu Spivvidnoshennya mizh priyednanimi polinomami Lezhandra z m mozhna pokazati z kompleksnogo spryazhennya sferichnih garmonik Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Priyednani funkciyi Lezhandra amp oldid 32790944