www.wikidata.uk-ua.nina.az

Правило Кейнса Ремзі правило оптимальної поведінки споживача в задачі міжчасового вибору Правило описує оптимальну траєк

Правило Кейнса — Ремзі

Правило Кейнса — Ремзі — правило оптимальної поведінки споживача в задачі міжчасового вибору. Правило описує оптимальну траєкторію споживання в часі за даного рівня доходу, відсоткової ставки за заощадженнями та суб'єктивної норми дисконтування.

Правило Кейнса — Ремзі пов'язує оптимальні рівні споживання у двох сусідніх періодах часу. Тому воно описує оптимальні траєкторії поведінки споживача в динамічних макроекономічних моделях.

З математичного погляду правило Кейнса — Ремзі є необхідною умовою оптимальності задачі оптимального управління. Воно також відоме під назвою рівняння Ейлера — Лагранжа.

Історія Редагувати

Правило Кейнса — Ремзі названо на честь Френка Ремзі та його наставника Джона Мейнарда Кейнса. Ремзі отримав правило 1928 року як результат розв'язування моделі оптимальних збережень. Пізніше ця модель розвинулася в теорію економічного зростання і нині відома під назвою моделі Ремзі — Касса — Купманса. Кейнс допоміг дати економічну інтерпретацію цього правила:

«Заощадження мають бути достатніми для досягнення або тимчасового наближення до точки насичення („точки щастя“), але це не означає, що потрібно зберігати весь наш дохід. Що більше ми зберігаємо, то швидше ми досягаємо насичення, але менше радості ми отримуємо прямо зараз, так що нам доводиться вибирати між тим і іншим. Містер Кейнс показав мені, що правило, яке регулює необхідний обсяг заощаджень, можна відразу вивести із цих міркувань».

Сучасна макроекономіка оперує мікрообґрунтованими моделями, в яких міжчасова задача споживчого вибору аналогічна задачі, сформульованій Ремзі. Вона є основним способом опису споживчої поведінки, тому правило Кейнса — Ремзі в різних модифікаціях є обов'язковим елементом, що описує динаміку в моделях.

Математичне формулювання правила у неперервному часі Редагувати

Правило Кейнса — Ремзі формулюється у вигляді такого взаємозв'язку темпу приросту споживання (на душу населення) від різниці між поточною ринковою відсотковою ставкою та коефіцієнтом міжчасових переваг:

Передумови та виведення правила у неперервному часі Редагувати

Насамперед, модель припускає, що середній індивід максимізує міжчасову функцію корисності такого вигляду

Максимізація міжчасової функції корисності здійснюється з урахуванням бюджетного обмеження, пов'язаного з доходами індивіда. Доходи за одиницю часу формуються із заробітної плати та доходів від активів (заощаджень) за ринковою відсотковою ставкою. Відповідно, доходи за одиницю часу за мінусом споживання є приростом активів за одиницю часу. Таким чином, бюджетне обмеження має вигляд диференціального рівняння за активами:

У цьому випадку гамільтоніан задачі оптимізації дорівнюватиме

Необхідні умови оптимальності мають вигляд:

Першу умову можна подати у вигляді

Диференціюючи цю рівність за часом отримаємо:

Враховуючи, що за другою умовою отримаємо остаточно

Цей результат не зміниться, якщо до моделі додати сталий темп зростання населення і (або) додаткову змінну, від якої залежить функція корисності (зазвичай це «вільний час» індивіда або пропозиція праці).

Виведення правила в дискретному часі Редагувати

Двоперіодне завдання Редагувати

Споживач розв'язує задачі міжчасового вибору, вибираючи оптимальний рівень споживання в кожному з двох періодів за заданого рівня доходу в кожному періоді. Цільова функція споживача виглядає так:

де  — функція корисності;  — миттєва (одноперіодна) функція корисності;  — рівень споживання у першому та другому періоді;  — суб'єктивний коефіцієнт дисконтування.

Бюджетне обмеження споживача виглядає так:

де  — рівень доходу в першому та другому періоді;  — відсоткова ставка за заощадженнями, що виступає в ролі ставки дисконтування.

Завдання вирішується методом невизначених множників Лагранжа. Функція Лагранжа для задачі з обмеженням:

Умови оптимальності першого порядку (без урахування бюджетного обмеження):

Звідси випливає правило Кейнса — Ремзі:

Загальний випадок Редагувати

Завдання можна узагальнити на випадок скінченного або нескінченного часового горизонту.

Завдання розв'язується методом невизначених множників Лагранжа. Функція Лагранжа для задачі з обмеженням:

Умови оптимальності першого порядку (без урахування бюджетного обмеження):

Поділивши умови для сусідніх моментів часу, отримаємо правило Кейнса — Ремзі в загальному вигляді:

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Олів'є Бланшар; Стенлі Фішер. Lectures on Macroeconomics. — Cambridge : MIT Press, 1989. — С. 41—43. — ISBN 0-262-02283-4.
  2. Intriligator, Michael D. Mathematical Optimization and Economic Theory. — Englewood Cliffs : Prentice-Hall, 1971. — С. 308—311. — ISBN 0-13-561753-7.
  3. Ramsey, F. P. A Mathematical Theory of Saving : [ ][англ.] // Economic Journal[en] : journal. — 1928. — Vol. 38, № 152. — С. 543—559.
  4. Ramsey, (1928, с. 545)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Pravilo Kejnsa Remzi pravilo optimalnoyi povedinki spozhivacha v zadachi mizhchasovogo viboru Pravilo opisuye optimalnu trayektoriyu spozhivannya v chasi za danogo rivnya dohodu vidsotkovoyi stavki za zaoshadzhennyami ta sub yektivnoyi normi diskontuvannya 1 Pravilo Kejnsa Remzi pov yazuye optimalni rivni spozhivannya u dvoh susidnih periodah chasu Tomu vono opisuye optimalni trayektoriyi povedinki spozhivacha v dinamichnih makroekonomichnih modelyah Z matematichnogo poglyadu pravilo Kejnsa Remzi ye neobhidnoyu umovoyu optimalnosti zadachi optimalnogo upravlinnya Vono takozh vidome pid nazvoyu rivnyannya Ejlera Lagranzha 2 Zmist 1 Istoriya 2 Matematichne formulyuvannya pravila u neperervnomu chasi 3 Peredumovi ta vivedennya pravila u neperervnomu chasi 4 Vivedennya pravila v diskretnomu chasi 4 1 Dvoperiodne zavdannya 4 2 Zagalnij vipadok 5 Div takozh 6 PrimitkiIstoriya RedaguvatiPravilo Kejnsa Remzi nazvano na chest Frenka Remzi ta jogo nastavnika Dzhona Mejnarda Kejnsa Remzi otrimav pravilo 1928 roku yak rezultat rozv yazuvannya modeli optimalnih zberezhen Piznishe cya model rozvinulasya v teoriyu ekonomichnogo zrostannya i nini vidoma pid nazvoyu modeli Remzi Kassa Kupmansa 3 Kejns dopomig dati ekonomichnu interpretaciyu cogo pravila Zaoshadzhennya mayut buti dostatnimi dlya dosyagnennya abo timchasovogo nablizhennya do tochki nasichennya tochki shastya ale ce ne oznachaye sho potribno zberigati ves nash dohid Sho bilshe mi zberigayemo to shvidshe mi dosyagayemo nasichennya ale menshe radosti mi otrimuyemo pryamo zaraz tak sho nam dovoditsya vibirati mizh tim i inshim Mister Kejns pokazav meni sho pravilo yake regulyuye neobhidnij obsyag zaoshadzhen mozhna vidrazu vivesti iz cih mirkuvan 4 Suchasna makroekonomika operuye mikroobgruntovanimi modelyami v yakih mizhchasova zadacha spozhivchogo viboru analogichna zadachi sformulovanij Remzi Vona ye osnovnim sposobom opisu spozhivchoyi povedinki tomu pravilo Kejnsa Remzi v riznih modifikaciyah ye obov yazkovim elementom sho opisuye dinamiku v modelyah Matematichne formulyuvannya pravila u neperervnomu chasi RedaguvatiPravilo Kejnsa Remzi formulyuyetsya u viglyadi takogo vzayemozv yazku tempu prirostu spozhivannya na dushu naselennya vid riznici mizh potochnoyu rinkovoyu vidsotkovoyu stavkoyu ta koeficiyentom mizhchasovih perevag c c 1 8 r t r displaystyle frac dot c c frac 1 theta r t rho nbsp de c displaystyle dot c nbsp pohidna spozhivannya na dushu naselennya za chasom vidpovidno c c displaystyle frac dot c c nbsp temp prirostu neperervnij spozhivannya na dushu naselennya za odinicyu chasu 8 u c u c c M U c M U c c d M U M U d c c displaystyle theta frac u c u c c frac MU c MU c c frac dMU MU dc c nbsp elastichnist granichnoyi korisnosti za spozhivannyam uzyata z protilezhnim znakom vidnosna mira neprijnyattya riziku Errou Pratta r t displaystyle r t nbsp vidsotkova stavka pributkovosti aktiviv vona zh peredbachayetsya rivnoyu vidsotkovij stavci za borgom r displaystyle rho nbsp koeficiyent mizhchasovoyi perevagi spozhivacha r gt 0 r c o n s t displaystyle rho gt 0 rho const nbsp Peredumovi ta vivedennya pravila u neperervnomu chasi RedaguvatiNasampered model pripuskaye sho serednij individ maksimizuye mizhchasovu funkciyu korisnosti takogo viglyadu U 0 u c t e r t d t displaystyle U int 0 infty u c t e rho t dt nbsp de c t displaystyle c t nbsp spozhivannya individa v moment chasu t displaystyle t nbsp r displaystyle rho nbsp koeficiyent mizhchasovoyi perevagi spozhivacha r gt 0 r c o n s t displaystyle rho gt 0 rho const nbsp Maksimizaciya mizhchasovoyi funkciyi korisnosti zdijsnyuyetsya z urahuvannyam byudzhetnogo obmezhennya pov yazanogo z dohodami individa Dohodi za odinicyu chasu formuyutsya iz zarobitnoyi plati ta dohodiv vid aktiviv zaoshadzhen za rinkovoyu vidsotkovoyu stavkoyu Vidpovidno dohodi za odinicyu chasu za minusom spozhivannya ye prirostom aktiviv za odinicyu chasu Takim chinom byudzhetne obmezhennya maye viglyad diferencialnogo rivnyannya za aktivami a r t a t w c t displaystyle dot a r t a t w c t nbsp U comu vipadku gamiltonian zadachi optimizaciyi dorivnyuvatime H u c t e r t l t r t a t w c t displaystyle H u c t e rho t lambda t r t a t w c t nbsp Neobhidni umovi optimalnosti mayut viglyad H c t e r t u c t l t 0 displaystyle partial H over partial c t e rho t u c t lambda t 0 nbsp l t H a t l t r t displaystyle dot lambda t partial H over partial a t lambda t r t nbsp Pershu umovu mozhna podati u viglyadi ln l t ln u c t r t displaystyle ln lambda t ln u c t rho t nbsp Diferenciyuyuchi cyu rivnist za chasom otrimayemo l t l t u c t u c t c t r 8 c t c t r displaystyle dot lambda t lambda t u c t u c t dot c t rho theta dot c t c t rho nbsp Vrahovuyuchi sho za drugoyu umovoyu l t l t r t displaystyle dot lambda t lambda t r t nbsp otrimayemo ostatochno c t c t 1 8 r t r displaystyle dot c t c t 1 over theta r t rho nbsp Cej rezultat ne zminitsya yaksho do modeli dodati stalij temp zrostannya naselennya i abo dodatkovu zminnu vid yakoyi zalezhit funkciya korisnosti zazvichaj ce vilnij chas individa abo propoziciya praci Vivedennya pravila v diskretnomu chasi RedaguvatiDvoperiodne zavdannya Redaguvati Spozhivach rozv yazuye zadachi mizhchasovogo viboru vibirayuchi optimalnij riven spozhivannya v kozhnomu z dvoh periodiv t 1 2 displaystyle t 1 2 nbsp za zadanogo rivnya dohodu v kozhnomu periodi Cilova funkciya spozhivacha viglyadaye tak U C 1 C 2 u C 1 b u C 2 max C 1 C 2 displaystyle U C 1 C 2 u C 1 beta u C 2 to max C 1 C 2 nbsp de U displaystyle U cdot nbsp funkciya korisnosti u displaystyle u cdot nbsp mittyeva odnoperiodna funkciya korisnosti C 1 C 2 displaystyle C 1 C 2 nbsp riven spozhivannya u pershomu ta drugomu periodi b displaystyle beta nbsp sub yektivnij koeficiyent diskontuvannya Byudzhetne obmezhennya spozhivacha viglyadaye tak C 1 C 2 1 r Y 1 Y 2 1 r displaystyle C 1 frac C 2 1 r leq Y 1 frac Y 2 1 r nbsp de Y 1 Y 2 displaystyle Y 1 Y 2 nbsp riven dohodu v pershomu ta drugomu periodi r displaystyle r nbsp vidsotkova stavka za zaoshadzhennyami sho vistupaye v roli stavki diskontuvannya Zavdannya virishuyetsya metodom neviznachenih mnozhnikiv Lagranzha Funkciya Lagranzha dlya zadachi z obmezhennyam L u C 1 b u C 2 l C 1 C 2 1 r Y 1 Y 2 1 r max C 1 C 2 displaystyle L u C 1 beta u C 2 lambda Bigg C 1 frac C 2 1 r Y 1 frac Y 2 1 r Bigg to max C 1 C 2 nbsp Umovi optimalnosti pershogo poryadku bez urahuvannya byudzhetnogo obmezhennya u C 1 l 0 displaystyle u C 1 lambda 0 nbsp b u C 2 l 1 1 r 0 displaystyle beta u C 2 lambda frac 1 1 r 0 nbsp Zvidsi viplivaye pravilo Kejnsa Remzi u C 1 u C 2 b 1 r displaystyle frac u C 1 u C 2 beta 1 r nbsp Zagalnij vipadok Redaguvati Zavdannya mozhna uzagalniti na vipadok skinchennogo abo neskinchennogo chasovogo gorizontu U t 0 T b t u C t max C t displaystyle U sum t 0 T beta t u C t to max C t nbsp t 0 T C t 1 r t t 0 T Y t 1 r t displaystyle sum t 0 T frac C t 1 r t leq sum t 0 T frac Y t 1 r t nbsp Zavdannya rozv yazuyetsya metodom neviznachenih mnozhnikiv Lagranzha Funkciya Lagranzha dlya zadachi z obmezhennyam L t 0 T b t u C t l t 0 T C t 1 r t t 0 T Y t 1 r t max C t displaystyle L sum t 0 T beta t u C t lambda Bigg sum t 0 T frac C t 1 r t sum t 0 T frac Y t 1 r t Bigg to max C t nbsp Umovi optimalnosti pershogo poryadku bez urahuvannya byudzhetnogo obmezhennya b t u C t l 1 1 r t 0 t 0 1 T displaystyle beta t u C t lambda frac 1 1 r t 0 quad t 0 1 T nbsp Podilivshi umovi dlya susidnih momentiv chasu otrimayemo pravilo Kejnsa Remzi v zagalnomu viglyadi u C t u C t 1 b 1 r displaystyle frac u C t u C t 1 beta 1 r nbsp Div takozh RedaguvatiMizhchasovij vibir Gipoteza zhittyevogo ciklu Gipoteza postijnogo dohodu Model Remzi Kassa Kupmansa Chasova preferenciyaPrimitki Redaguvati Oliv ye Blanshar Stenli Fisher Lectures on Macroeconomics Cambridge MIT Press 1989 S 41 43 ISBN 0 262 02283 4 Intriligator Michael D Mathematical Optimization and Economic Theory Englewood Cliffs Prentice Hall 1971 S 308 311 ISBN 0 13 561753 7 Ramsey F P A Mathematical Theory of Saving angl Economic Journal en journal 1928 Vol 38 152 S 543 559 Ramsey 1928 s 545 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Pravilo Kejnsa Remzi amp oldid 38317677