www.wikidata.uk-ua.nina.az

Міра Хаара В математиці міра Хаара міра на локально компактних топологічних групах що узагальнює міру Лебега в евклідови

Міра Хаара

В математиці міра Хаара — міра на локально компактних топологічних групах, що узагальнює міру Лебега в евклідових просторах. Названа на честь угорського математика Альфреда Хаара.

Визначення Редагувати

Нехай G локально-компактна топологічна група. Якщо a елемент групи G і S — підмножина G, тоді можна визначити ліві і праві перенесення:

  • Ліве перенесення:
  • Праве перенесення:

Ліві і праві перенесення множин Бореля є множинами Бореля.

Міра μ на борелівських підмножинах G називається інваріантною щодо лівих перенесень якщо і тільки якщо для всіх борелівських підмножин S групи G і всіх виконується:

Подібним чином визначається інваріантність щодо правих перенесень. Борелівська міра називається регулярною, якщо виконуються умови:

  • μ(K) є скінченною для довільної компактної множини K.
  • Довільна борелівська множина E задовольняє умову зовнішньої регулярності:
  • Довільна відкрита множина E задовольняє умову зовнішньої регулярності:

Для довільної локально-компактної топологічної групи існує єдина з точністю до множення на константу регулярна борелівська міра, що є інваріантною щодо лівих перенесень, і ненульовою . Дана множина називається лівою мірою Хаара. Також існує єдина з точністю до множення на константу регулярна борелівська міра, що є інваріантною щодо правих перенесень, ненульовою. Дана множина називається правою мірою Хаара.

Зв'язок між правими і лівими борелівськими мірами Редагувати

Нехай G локально-компактна топологічна група і — ліва і права міри Хаара на ній.

Якщо — борелівська множина, і — множина обернених елементів до елементів S то

Оскільки права міра Хаара є єдиною з точністю до множення на константу, то виконується:

для всіх борелівських множин S, де k — деяке додатне дійсне число.

Інтеграл Хаара Редагувати

За допомогою міри Хаара можна визначити інтеграл, для всіх вимірних функцій f з аргументами з G. Цей інтеграл називається інтегралом Хаара. Якщо μ — ліва міра Хаара, тоді:

Див. також Редагувати

Література Редагувати

  • Вейль А. Интегрирование в топологических группах и его применения. — М.: ИЛ, 1950.
  • Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968.
  • Donald L. Cohn, Measure theory, Birkhäuser, 1997. ISBN 3-7643-3003-1.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
V matematici mira Haara mira na lokalno kompaktnih topologichnih grupah sho uzagalnyuye miru Lebega v evklidovih prostorah Nazvana na chest ugorskogo matematika Alfreda Haara Zmist 1 Viznachennya 2 Zv yazok mizh pravimi i livimi borelivskimi mirami 3 Integral Haara 4 Div takozh 5 LiteraturaViznachennya RedaguvatiNehaj G lokalno kompaktna topologichna grupa Yaksho a element grupi G i S pidmnozhina G todi mozhna viznachiti livi i pravi perenesennya Live perenesennya a S a s s S displaystyle aS a cdot s s in S nbsp Prave perenesennya S a s a s S displaystyle Sa s cdot a s in S nbsp Livi i pravi perenesennya mnozhin Borelya ye mnozhinami Borelya Mira m na borelivskih pidmnozhinah G nazivayetsya invariantnoyu shodo livih perenesen yaksho i tilki yaksho dlya vsih borelivskih pidmnozhin S grupi G i vsih a G displaystyle a in G nbsp vikonuyetsya m a S m S displaystyle mu aS mu S quad nbsp Podibnim chinom viznachayetsya invariantnist shodo pravih perenesen Borelivska mira m E displaystyle mu E nbsp nazivayetsya regulyarnoyu yaksho vikonuyutsya umovi m K ye skinchennoyu dlya dovilnoyi kompaktnoyi mnozhini K Dovilna borelivska mnozhina E zadovolnyaye umovu zovnishnoyi regulyarnosti m E inf m U E U displaystyle mu E inf mu U E subseteq U nbsp de U vidkrita mnozhina dd Dovilna vidkrita mnozhina E zadovolnyaye umovu zovnishnoyi regulyarnosti m E sup m K K E displaystyle mu E sup mu K K subseteq E nbsp de K kompaktna mnozhina dd Dlya dovilnoyi lokalno kompaktnoyi topologichnoyi grupi isnuye yedina z tochnistyu do mnozhennya na konstantu regulyarna borelivska mira sho ye invariantnoyu shodo livih perenesen i nenulovoyu Dana mnozhina nazivayetsya livoyu miroyu Haara Takozh isnuye yedina z tochnistyu do mnozhennya na konstantu regulyarna borelivska mira sho ye invariantnoyu shodo pravih perenesen nenulovoyu Dana mnozhina nazivayetsya pravoyu miroyu Haara Zv yazok mizh pravimi i livimi borelivskimi mirami RedaguvatiNehaj G lokalno kompaktna topologichna grupa i m n displaystyle mu nu nbsp liva i prava miri Haara na nij Yaksho S G displaystyle S subset G nbsp borelivska mnozhina i S 1 displaystyle S 1 nbsp mnozhina obernenih elementiv do elementiv S to m 1 S m S 1 displaystyle mu 1 S mu S 1 quad nbsp de m displaystyle mu nbsp liva mira Haara ye pravoyu miroyu Haara Dijsno m 1 S a m S a 1 m a 1 S 1 m S 1 m 1 S displaystyle mu 1 Sa mu Sa 1 mu a 1 S 1 mu S 1 mu 1 S quad nbsp Oskilki prava mira Haara ye yedinoyu z tochnistyu do mnozhennya na konstantu to vikonuyetsya m S 1 k n S displaystyle mu S 1 k nu S nbsp dlya vsih borelivskih mnozhin S de k deyake dodatne dijsne chislo Integral Haara RedaguvatiZa dopomogoyu miri Haara mozhna viznachiti integral dlya vsih vimirnih funkcij f z argumentami z G Cej integral nazivayetsya integralom Haara Yaksho m liva mira Haara todi G f s x d m x G f x d m x displaystyle int G f sx d mu x int G f x d mu x nbsp Div takozh RedaguvatiLokalno kompaktna grupaLiteratura RedaguvatiVejl A Integrirovanie v topologicheskih gruppah i ego primeneniya M IL 1950 Najmark M A Normirovannye kolca M Nauka 1968 Donald L Cohn Measure theory Birkhauser 1997 ISBN 3 7643 3003 1 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Mira Haara amp oldid 34410731