Magichnij kvadrat ce kvadratna tablicya n n displaystyle n times n zapovnena n 2 displaystyle n 2 chislami takim chinom sho suma chisel u kozhnomu ryadku kozhnomu stovpchiku i na oboh diagonalyah odnakova Yaksho v kvadrati rivni sumi chisel tilki v ryadkah i stovpcyah to vin nazivayetsya napivmagichnim Normalnim nazivayetsya magichnij kvadrat zapovnenij cilimi chislami vid 1 displaystyle 1 do n 2 displaystyle n 2 Magichnij kvadrat nazivayetsya asociativnim abo simetrichnim yaksho suma bud yakih dvoh chisel roztashovanih simetrichno shodo centru kvadrata dorivnyuye n 2 1 displaystyle n 2 1 Normalni magichni kvadrati isnuyut dlya vsih poryadkiv n 1 displaystyle n geq 1 za vinyatkom n 2 displaystyle n 2 hocha vipadok n 1 displaystyle n 1 trivialnij kvadrat skladayetsya z odnogo chisla Minimalnij netrivialnij vipadok pokazanij nizhche vin maye poryadok 3 2 7 6 displaystyle rightarrow 159 5 1 displaystyle rightarrow 154 3 8 displaystyle rightarrow 15 displaystyle swarrow displaystyle downarrow displaystyle downarrow displaystyle downarrow displaystyle searrow 15 15 15 15 15Suma chisel v kozhnomu ryadku stovpchiku i po diagonalyah nazivayetsya magichnoyu staloyu M Magichna konstanta normalnogo magichnogo kvadrata zalezhit tilki vid n i viznachayetsya formuloyu M n n n 2 1 2 displaystyle M n frac n n 2 1 2 Pershi znachennya magichnih konstant navedeni v nastupnij tablici poslidovnist A006003 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Poryadok n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Mn 15 34 65 111 175 260 369 505 671 870 1105Zmist 1 Istoriya 1 1 Kvadrat Lo shu Kitaj 1 2 Kvadrat znajdenij v Khadzhuraho Indiya 1 3 Magichnij kvadrat Yan Hueya Kitaj 1 4 Kvadrat Albrehta Dyurera 1 5 Kvadrati Genri Dyudeni i Allana Dzhonsona molodshogo 2 Vidi magichnih kvadrativ 3 Pobudova magichnih kvadrativ 3 1 Metod pobudovi magichnogo kvadrata neparnogo poryadku 3 2 Metod teras 4 Prikladi programnoyi realizaciyi algoritmiv pobudovi magichnih kvadrativ 4 1 Pobudova 5 Dzherela 6 PosilannyaIstoriya RedaguvatiKvadrat Lo shu Kitaj Redaguvati 4 9 23 5 78 1 6Lo shu kit 洛書 洛书 luo shu Yedinij normalnij magichnij kvadrat 3 3 Buv vidomij she v Starodavnomu Kitayi pershe zobrazhennya na cherepahovomu panciri datuyetsya 2200 rokom do n e Kvadrat znajdenij v Khadzhuraho Indiya Redaguvati 7 12 1 142 13 8 1116 3 10 59 6 15 4Ce najranishij z viyavlenih unikalnij magichnij kvadrat sho buv znajdenij v napisi XI stolittya v indijskomu misti Khadzhuraho Ce pershij magichnij kvadrat sho vidnositsya do riznovidu tak zvanih diyavolskih kvadrativ Magichnij kvadrat Yan Hueya Kitaj Redaguvati 27 29 2 4 13 369 11 20 22 31 1832 25 7 3 21 2314 16 34 30 12 528 6 15 17 26 191 24 33 35 8 10U 13 st matematik Yan Huej zajnyavsya problemoyu metodiv pobudovi magichnih kvadrativ Jogo doslidzhennya buli potim prodovzheni inshimi kitajskimi matematikami Yan Huej rozglyadav magichni kvadrati ne tilki tretogo a j bilshih poryadkiv Deyaki z jogo kvadrativ buli dostatno skladni odnak vin zavzhdi davav pravila dlya yih pobudovi Vin zumiv pobuduvati magichnij kvadrat shostogo poryadku prichomu ostannij viyavivsya majzhe asociativnim u nomu tilki dvi pari centralno protilezhnih chisel sho vidileni zhirnim shriftom ne dayut sumu 37 Kvadrat Albrehta Dyurera Redaguvati 16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1Magichnij kvadrat 4 4 zobrazhenij na gravyuri Albrehta Dyurera Melanholiya I vvazhayetsya najbilsh rannim v yevropejskomu mistectvi Dva seredni chisla v nizhnomu ryadu vkazuyut datu stvorennya kartini 1514 v tablici vidileno zhirnim Suma chisel na bud yakij gorizontali vertikali i diagonali dorivnyuye 34 Cya suma takozh zustrichayetsya v usih kutovih kvadratah 2 2 v centralnomu kvadrati 10 11 6 7 u kvadrati z kutovih klitin 16 13 4 1 v ryadah chisel pobudovanih hodom konya 2 8 9 15 i 3 5 12 14 pryamokutnikah utvorenih parami serednih klitin na protilezhnih storonah 3 2 15 14 i 5 8 9 12 Bilshist dodatkovih simetrij pov yazano iz tim sho suma bud yakih dvoh centralno simetrichno roztashovanih chisel dorivnyuye 17 Kvadrati Genri Dyudeni i Allana Dzhonsona molodshogo Redaguvati 67 1 4313 37 6131 73 7 3 61 19 3743 31 5 417 11 73 2967 17 23 13Yaksho v kvadratnu matricyu n n zanositsya ne strogo naturalnij ryad chisel to cej magichnij kvadrat netradicijnij Poryad predstavleni dva taki magichni kvadrati zapovneni v osnovnomu prostimi chislami Pershij maye poryadok n 3 kvadrat Dyudeni v yakomu summa chisel bud yakogo ryadka 111 drugij maye poryadok n 4 kvadrat Dzhonsona v yakomu summa chisel bud yakogo ryadka 120 Obidva voni buli rozrobleni na pochatku dvadcyatogo stolittya Nastupnij kvadrat pobudovanij v 1913 roci Dzh N Mansi primitnij tim sho vin skladenij z 143 poslidovnih prostih chisel za vinyatkom dvoh momentiv zaluchena odinicya yaka ne ye prostim chislom i ne vikoristano yedine parne proste chislo 2 1 823 821 809 811 797 19 29 313 31 23 3789 83 211 79 641 631 619 709 617 53 43 73997 227 103 107 193 557 719 727 607 139 757 281223 653 499 197 109 113 563 479 173 761 587 157367 379 521 383 241 467 257 263 269 167 601 599349 359 353 647 389 331 317 311 409 307 293 449503 523 233 337 547 397 421 17 401 271 431 433229 491 373 487 461 251 443 463 137 439 457 283509 199 73 541 347 191 181 569 577 571 163 593661 101 643 239 691 701 127 131 179 613 277 151659 673 677 683 71 67 61 47 59 743 733 41827 3 7 5 13 11 787 769 773 419 149 751Vidi magichnih kvadrativ RedaguvatiNormalnij ros normalnyj angl normal magichnij kvadrat zapovnenij cilimi chislami vid 1 displaystyle 1 nbsp do n 2 displaystyle n 2 nbsp Napivmagichnij ros polumagicheskij angl semimagic magichnij kvadrat zapovnennij chislami vid 1 displaystyle 1 nbsp do n 2 displaystyle n 2 nbsp prichomu suma chisel po gorizontalyah i vertikalyah dorivnyuye magichnij konstanti a po diagonalyah cya umova ne vikonuyetsya Asociativnij ros associativnyj angl mystic abo simetrichnij ros simetrichnyj magichnij kvadrat u yakogo suma bud yakih dvoh chisel sho roztashovani simetrichno vidnosno centra kvadrata dorivnyuye odnomu j tomu zh chislu 1 n 2 displaystyle 1 n 2 nbsp Pandiagonalnij ros pandiagonalnyj angl Multimagic abo diyavolskij ros diyavolskij angl Satanic magichnij kvadrat v yakogo suma chisel po lamanih diagonalyah takozh dorivnyuye magichnij konstanti Idealnij ros idealnyj angl magichnij kvadrat sho odnochasno ye pandiagonalnim i asociativnim Doskonalij ros sovershennyj angl magichnij kvadrat chetvertogo poryadku sho ye pandiagonalnim ta maye ryad dodatkovih vlastivostej Vsi magichni kvadrati 4 poryadku ye doskonalimi Bimagichnij ros bimagicheskij angl bimagic magichnij kvadrat sho zalishayetsya magichnim pislya zamini vsih jogo elementiv na yih kvadrati Bimagichnih kvadrati 3 4 i 5 poryadkiv ne isnuye Multimagichnij ros multimagicheskij angl multimagic uzagalnennya vlastivostej bimagichnih kvadrativ na dovilnij stepin n displaystyle n nbsp Kvadrati B Franklina ros kvadraty B Franklina magichni kvadrati yaki krim osnovnih vlastivostej mayut dodatkovi unikalni osoblivosti Pobudova magichnih kvadrativ RedaguvatiSposobi pobudovi magichnih kvadrativ podilyayutsya na tri kategoriyi v zalezhnosti vid togo magichnij kvadrat yakogo poryadku vi hochete pobuduvati neparnij dorivnyuye neparnomu chislu pomnozhenomu na 2 dorivnyuye naturalnomu chislu pomnozhenomu na 4 Zagalnij metod pobudovi magichnih kvadrativ vsih tipiv nevidomij a mozhlivo i ne isnuye hocha shiroko zastosovuyutsya rizni specializovani algoritmi Znajti vsi magichni kvadrati poryadku n vdayetsya tilki dlya n 4 displaystyle n leq 4 nbsp tomu stanovlyat velikij interes sposobi pobudovi magichnih kvadrativ pri n gt 4 displaystyle n gt 4 nbsp Najprostishim ye algoritm pobudovi magichnogo kvadrata neparnogo poryadku Yaksho prisvoyiti klitinkam kvadrata koordinati napriklad i j displaystyle i j nbsp to znachennya chisla v klitinci mozhna rozrahuvati za formuloyu 1 i j n 1 2 mod n n i j n 1 2 mod n displaystyle 1 i j n 1 2 bmod n n i j n 1 2 bmod n nbsp Takozh rozrobleni algoritmi pobudovi pandiagonalnih kvadrativ ta idealnih magichnih kvadrativ 9 poryadku Ci rezultati dozvolyayut buduvati idealni magichni kvadrati poryadkiv n 9 2 k 1 displaystyle n 9 2k 1 nbsp Isnuyut takozh zagalni metodi komponuvannya idealnih magichnih kvadrativ neparnogo poryadku n gt 3 displaystyle n gt 3 nbsp Rozrobleno metodi pobudovi idealnih magichnih kvadrativ poryadku n 8 k displaystyle n 8k nbsp de K 1 2 3 displaystyle K 1 2 3 nbsp i doskonalih magichnih kvadrativ Pandiagonalni ta idealni kvadrati parnogo neparnogo poryadku vdayetsya skomponuvati lishe v tomu vipadku yaksho voni netradicijni Tim ne mensh mozhna znahoditi majzhe pandiagonalni kvadrati Znajdena osobliva grupa idealno doskonalih magichnih kvadrativ tradicijnih i netradicijnih Metod pobudovi magichnogo kvadrata neparnogo poryadku Redaguvati Opisanij francuzkim diplomatom de la Loubere u jogo knizi A new historical relation of the kingdom of Siam Pobudova pochinayetsya z centralnoyi klitinki verhnogo ryadu kudi mi vpisuyemo 1 Nadali mi budemo ruhatisya na odnu klitinku vgoru i vpravo za odin krok vpisuyuchi poslidovnij ryad chisel vid 1 displaystyle 1 nbsp do n 2 displaystyle n 2 nbsp Yaksho mi dijshli do pravogo stovpcya chi verhnogo ryadka to z nastupnim krokom peresuvayemos do protilezhnogo livogo chi nizhnogo krayu vidpovidno Yaksho nastupna klitinka vzhe zajnyata to prosto ruhayemos na 1 klitinku vniz Prodovzhuyemo vikonuvati ci kroki n 2 displaystyle n 2 nbsp raziv doki ne zapovnimo vsi klitinki krok 11 krok 21 2 krok 3132 krok 4134 2 krok 513 54 2krok 61 63 54 2 krok 71 63 5 74 2 krok 88 1 63 5 74 2 krok 98 1 63 5 74 9 2 Mozhna pochinati buduvati magichnij kvadrat i z inshih klitin verhnogo ryadu prote todi summa diagonalej ne bude rivnoyu magichnij konstanti otrimayemo napivmagichnij kvadrat V procesi pobudovi mozhna vibrati j inshij napryam ruhu vgoru i vlivo vniz i vlivo vniz i vpravo Yak rezultat znovu otrimayemo spravzhnij magichnij kvadrat Metod teras Redaguvati Opisanij Yu V Chebrakovim u Teoriyi magichnih matric Dlya zadanogo neparnogo n displaystyle n nbsp nakreslimo kvadratnu tablicyu rozmirom n n displaystyle n times n nbsp Dobuduyemo do ciyeyi tablici z usih chotiroh storin terasi piramidki V rezultati otrimayemo stupinchastu simetrichnu figuru Pochinayuchi z livoyi vershini stupinchastoyi figuri zapovnimo yiyi diagonalni ryadi poslidovnimi naturalnimi chislami vid 1 displaystyle 1 nbsp do n 2 displaystyle n 2 nbsp Y displaystyle Y nbsp 4 53 4 102 3 9 151 2 8 14 200 1 7 13 19 25 1 6 12 18 24 2 11 17 23 3 16 22 4 21 X displaystyle X nbsp 4 3 2 1 0 1 2 3 4Pislya cogo dlya otrimannya klasichnoyi matrici poryadku n sho znahodyatsya v terasah postavimo na ti miscya tablici rozmirom n n displaystyle n times n nbsp v yakih voni buli b yaksho peremishati yih razom z terasami do togo momentu poki pidstavi teras ne doluchatsya do protilezhnoyi storoni tablici Y displaystyle Y nbsp 432 3 16 9 22 151 20 8 21 14 20 7 25 13 1 19 1 24 12 5 18 6 2 11 4 17 10 23 3 4 X displaystyle X nbsp 4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 16 9 22 1520 8 21 14 27 25 13 1 1924 12 5 18 611 4 17 10 23Prikladi programnoyi realizaciyi algoritmiv pobudovi magichnih kvadrativ RedaguvatiPobudova Redaguvati Metod teras kvadrati neparnogo poryadku Realizaciya na movi programuvannya Python 3 from collections import defaultdict def recursive defaultdict return defaultdict recursive defaultdict def create magic square N assert N 2 1 arr recursive defaultdict Stvorennya stupinchastoyi simetrichnoyi figuri num 1 ii N 1 2 jj 2 ii while num lt N 2 i j ii jj while i 1 jj arr i j num i j num i 1 j 1 num 1 ii jj ii 1 jj 1 Zapovnennya livoyi chastini kvadrata shodo livoyi diagonali samu diagonal ne chipayemo ii jj 1 N while ii lt N and jj gt 1 for j in range 1 jj 1 if ii not in arr or j not in arr ii if ii N in arr and j in arr ii N arr ii j arr ii N j else arr ii j arr ii j N ii jj ii 1 jj 1 Zapovnennya pravoyi chastini kvadrata shodo livoyi diagonali samu diagonal ne chipayemo jj N 2 for i in range N 1 1 for j in range N N jj 1 1 if i not in arr or j not in arr i if i N in arr and j in arr i N arr i j arr i N j else arr i j arr i j N jj 1 Konvertuyemo z asociativnogo u linijnij masiv square arr i j for j in range 1 N 1 for i in range 1 N 1 return squareDzherela RedaguvatiYa V Uspenskij Izbrannye matematicheskie razvlecheniya N M Rudin Ot magicheskogo kvadrata k shahmatam B A Kordemskij Matematicheskaya smekalka E Ya Gurevich Tajna drevnego talismana M M Postnikov Magicheskie kvadraty Posilannya RedaguvatiMagicheskie kvadraty nedostupne posilannya z listopadaa 2019 angl N Makarova Volshebnyj mir magicheskih kvadratov Magicheskie kvadraty osnovnye ponyatiya postroenie s pomoshyu kompyutera Metody postroeniya magicheskih kvadratov Postroenie magicheskih kvadratov chyotno nechyotnogo poryadka metodom chetyryoh kvadratov Pandiagonalnye magicheskie kvadraty Polumagicheskie kvadraty Pandiagonalnye kvadraty pyatogo poryadka Bazovye pandiagonalnye kvadraty pyatogo poryadka Associativnye magicheskie kvadraty Magicheskie kvadraty sedmogo poryadka Magicheskie kvadraty vosmogo poryadka Magicheskie kvadraty odinnadcatogo poryadka Magicheskie kvadraty dvenadcatogo poryadka Magicheskie kvadraty pyatnadcatogo poryadka Pandiagonalnye kvadraty chyotno chyotnyh poryadkov Metod kachelej dlya pandiagonalnyh kvadratov chyotno chyotnogo poryadka Arhivovano 14 kvitnya 2011 u Wayback Machine Kvadraty Franklina Arhivovano 20 sichnya 2010 u Wayback Machine Razrabotka drevnego algoritma Arhivovano 28 kvitnya 2011 u Wayback Machine Metod postroeniya idealnyh magicheskih kvadratov poryadka n k p Arhivovano 27 kvitnya 2011 u Wayback Machine Polnye komplekty kvadratov Franklina Novye aspekty metoda latinskih kvadratov Naimenshie magicheskie kvadraty iz prostyh chisel Arhivovano 29 chervnya 2010 u Wayback Machine poslidovnist A164843 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Obshie formuly magicheskih kvadratov Magicheskij kvadrat illyuziya predugadyvaniya M Gardner Recenziya na knigu Ketlin Ollerenshou i Devida Bri Arhivovano 16 lyutogo 2018 u Wayback Machine H Heinz Magic Squares Magic Stars amp Other Patterns angl N Skryabina V Dubovskoj Magicheskie kvadraty Arhivovano 28 kvitnya 2011 u Wayback Machine Shahmatnyj podhod Arhivovano 1 grudnya 2008 u Wayback Machine Cepi Aleksandrova Cepi Aleksandrova Analiticheskie vyrazheniya nedostupne posilannya z lipnya 2019 G Aleksandrov Magiya chisel i slov Monografiya 266 s nedostupne posilannya z listopadaa 2019 Magicheskie kvadraty regulyarnogo vida Arhivovano 5 bereznya 2016 u Wayback Machine Idealnye magicheskie kvadraty 8h8 i 12h12 Arhivovano 4 bereznya 2016 u Wayback Machine Idealnye magicheskie kvadraty 20h20 28x28 36h36 Arhivovano 4 bereznya 2016 u Wayback Machine Idealnyj magicheskij kvadrat poryadka 8k Samyj prostoj metod postroeniya Arhivovano 5 bereznya 2016 u Wayback Machine Idealnye magicheskie kvadraty poryadka 4k Arhivovano 5 bereznya 2016 u Wayback Machine Idealnye magicheskie kvadraty Arhivovano 3 grudnya 2012 u Wayback Machine Postroenie idealnogo magicheskogo kvadrata iz dvuh latinskih kvadratov Arhivovano 10 zhovtnya 2017 u Wayback Machine Idealnye magicheskie kvadraty privedennye k edinomu nachalu Arhivovano 4 bereznya 2016 u Wayback Machine Krasivyj sposob postroeniya magicheskih kvadratov Arhivovano 30 serpnya 2016 u Wayback Machine Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Magichnij kvadrat amp oldid 39225983
