www.wikidata.uk-ua.nina.az

Епіциклічна частота це частота з якою коливатися тіло слабко зміщене відносно колової орбіти в симетричному гравітаційно

Епіциклічна частота

Епіциклічна частота — це частота, з якою коливатися тіло, слабко зміщене відносно колової орбіти в симетричному гравітаційному потенціалі. При цьому рух досліджуються в системі відліку, пов'язаній з «ведучим центром» — уявною точкою на незбуреній коловій орбіті з тим самим періодом обертання. Назва походить від епіциклів, якими описувався руз планет в системі Птолемея, і на які буває схожим обертання тіла навколо ведучого центру.

Поняття епіциклічної частоти буває зручним для опису різних астрофізичних дисків: руху частинок в кільцях планет, руху газу в акреційному диску, зоряної динаміки в галактичному диску. Іноді це поняття також використовують для дослідження кеплерівських орбіт в небесній механіці або динаміці космічних кораблей.

Епіциклічна частота виражається через період обертання і радіус R наступною формулою:

Для кеплерівської орбіти , епіциклічний і орбітальний рух синхронізовані, і орбіта замкнута.

Опис Редагувати

В астрофізиці може розглядатися рух тіла у певному гравітаційному потенціалі, наприклад, рух у галактиці. Однак навіть якщо гравітаційний потенціал є симетричним щодо будь-якої виділеної осі, то рівняння, що описують рух тіла, можуть мати аналітичні розв'язки лише в окремих випадках — наприклад, в задачі двох тіл, коли вся маса, що створює поле тяжіння, знаходиться в одній точці. Ця обставина змушує розглядати рух у спрощеному вигляді. Якщо траєкторія руху зорі в галактиці близька до кола, можна розглянути колову орбіту в площині галактики, за якою рух відбувався б з тією ж частотою , та досліджувати коливання зорі навколо точки на цій коловій орбіті. Частота таких коливань у площині диска називається епіциклічною частотою та позначається . Наприклад, для потенціалу точкової маси, в якому , і рух пробного тіла відбувається за законами Кеплера, . В інших випадках, які можуть виникнути на практиці, найчастіше .

Розгляд задачі у такому вигляді називається епіциклічним наближенням. Назва пов'язана з тим, що рух у площині галактики щодо колового руху відбувається за еліпсом і тим самим нагадує рух епіциклом.

Вивод Редагувати

У загальному вигляді рівняння руху зорі у циліндричних координатах у потенціалі виглядають наступним чином:

Для осесиметричного потенціалу друге з цих рівнянь має 0 в правій частині і після інтегрування дає , де  — стала, звана інтегралом площ. Рух орбітою, близькою до колової, можна представити як суму колового руху по орбіті навколо центру галактики у площині диска і малих відхилень. У циліндричних координатах рух буде виражено формулами:

Тут  — Радіус відповідної колової орбіти,  — азимутальний кут відносно центру галактики для рівномірного колового руху. Для заданої орбіти можна визначити так, щоб для колової орбіти з радіусом збігався з для заданої орбіти. Також за допомогою можна переписати перше рівняння руху.

Частота обертання галактики на радіусі визначається як . Розглядаючи колові орбіти, з першого рівняння можна отримати такий вираз, в якому нижній індекс 0 означає взяття похідної в точці :

Потенціал можна розкласти в ряд за степенями і і залишити лише перші степені. Тоді вийде:

Повертаючись до значень малих відхилень від колового руху, можна переписати рівняння так:

Значення в дужках зазвичай є від'ємними, і тоді перше і третє рівняння є рівняннями гармонічних коливань. Можна ввести такі позначення:

Тоді рішення рівнянь набудуть наступного вигляду:

У цих формулах  — сталі інтегрування. Вид формул означає, що при відхиленні від колової орбіти тіло в галактичній площині рухається еліпсом навколо точки на коловій орбіті з частотою , а вздовж осі здійснює гармонічні коливання із частотою . Величина і називається епіциклічною частотою, а  — вертикальною частотою, її квадрат називають динамічним параметром і часто позначають . Частоти обертання навколо центру галактики, коливань у площині галактики й перпендикулярно до неї зазвичай не збігаються, так що орбіта в загальному випадку не замкнута.

Застосування Редагувати

Епіциклічну частоту в околицях Сонця можна оцінити через сталі Оорта: . В цій області дорівнює приблизно 32 км/с/кпк, і період епіциклічних коливань становить приблизно 80 % періоду обертання Галактики. Динамічний параметр залежить від дисперсії швидкостей у напрямку, перпендикулярному до диску Галактики, та розподілу густини :

В околицях Сонця період вертикальних коливань становить 45 % періоду обертання Галактики. Густину речовини в диску Галактики поблизу Сонця можна виразити через динамічний параметр і сталі Оорта:

Оцінка густини, отримана таким чином, називається динамічною і становить для околиць Сонця 6 × 10−24 г/см3.

Примітки Редагувати

  1. p161, Astrophysical Flows, Pringle and King 2007
  2. ↑ Локтин А.В., Марсаков В.А. Лекции по звёздной астрономии. — 2009. — С. 232.
  3. ↑ Звездная астрономия в лекциях. 16.1. Эпициклическое приближение. Астронет. Процитовано 6 лютого 2023. 
  4. Binney, Tremaine, 2008, с. 165.
  5. Binney, Tremaine, 2008, с. 164—165.

Література Редагувати

  • Binney J., Tremaine S. Galactic Dynamics: Second Edition. — Princeton University Press, 2008. — 903 с. — ISBN 978-0-691-13027-9.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Epiciklichna chastota ce chastota z yakoyu kolivatisya tilo slabko zmishene vidnosno kolovoyi orbiti v simetrichnomu gravitacijnomu potenciali Pri comu ruh doslidzhuyutsya v sistemi vidliku pov yazanij z veduchim centrom uyavnoyu tochkoyu na nezburenij kolovij orbiti z tim samim periodom obertannya Nazva pohodit vid epicikliv yakimi opisuvavsya ruz planet v sistemi Ptolemeya i na yaki buvaye shozhim obertannya tila navkolo veduchogo centru Ponyattya epiciklichnoyi chastoti buvaye zruchnim dlya opisu riznih astrofizichnih diskiv ruhu chastinok v kilcyah planet ruhu gazu v akrecijnomu disku zoryanoyi dinamiki v galaktichnomu disku Inodi ce ponyattya takozh vikoristovuyut dlya doslidzhennya keplerivskih orbit v nebesnij mehanici abo dinamici kosmichnih korablej Epiciklichna chastota k displaystyle kappa virazhayetsya cherez period obertannya W displaystyle Omega i radius R nastupnoyu formuloyu 1 k 2 2 W R d d R R 2 W displaystyle kappa 2 equiv frac 2 Omega R frac d dR R 2 Omega Dlya keplerivskoyi orbiti k W displaystyle kappa Omega epiciklichnij i orbitalnij ruh sinhronizovani i orbita zamknuta Zmist 1 Opis 1 1 Vivod 2 Zastosuvannya 3 Primitki 4 LiteraturaOpis RedaguvatiV astrofizici mozhe rozglyadatisya ruh tila u pevnomu gravitacijnomu potenciali napriklad ruh u galaktici Odnak navit yaksho gravitacijnij potencial ye simetrichnim shodo bud yakoyi vidilenoyi osi to rivnyannya sho opisuyut ruh tila mozhut mati analitichni rozv yazki lishe v okremih vipadkah napriklad v zadachi dvoh til koli vsya masa sho stvoryuye pole tyazhinnya znahoditsya v odnij tochci 2 Cya obstavina zmushuye rozglyadati ruh u sproshenomu viglyadi Yaksho trayektoriya ruhu zori v galaktici blizka do kola mozhna rozglyanuti kolovu orbitu v ploshini galaktiki za yakoyu ruh vidbuvavsya b z tiyeyu zh chastotoyu W displaystyle Omega nbsp ta doslidzhuvati kolivannya zori navkolo tochki na cij kolovij orbiti Chastota takih kolivan u ploshini diska nazivayetsya epiciklichnoyu chastotoyu ta poznachayetsya k displaystyle kappa nbsp 3 Napriklad dlya potencialu tochkovoyi masi v yakomu W R 3 2 displaystyle Omega propto R 3 2 nbsp i ruh probnogo tila vidbuvayetsya za zakonami Keplera k W displaystyle kappa Omega nbsp V inshih vipadkah yaki mozhut viniknuti na praktici najchastishe W k 2 W displaystyle Omega lesssim kappa lesssim 2 Omega nbsp 4 Rozglyad zadachi u takomu viglyadi nazivayetsya epiciklichnim nablizhennyam Nazva pov yazana z tim sho ruh u ploshini galaktiki shodo kolovogo ruhu vidbuvayetsya za elipsom i tim samim nagaduye ruh epiciklom 3 Vivod Redaguvati U zagalnomu viglyadi rivnyannya ruhu zori u cilindrichnih koordinatah R 8 z displaystyle R theta z nbsp u potenciali F F R 8 z displaystyle Phi Phi R theta z nbsp viglyadayut nastupnim chinom 2 3 d 2 R d t 2 R d 8 d t 2 F R displaystyle frac d 2 R dt 2 R left frac d theta dt right 2 frac partial Phi partial R nbsp d d t R 2 d 8 d t F 8 displaystyle frac d dt left R 2 frac d theta dt right frac partial Phi partial theta nbsp d 2 z d t 2 F z displaystyle frac d 2 z dt 2 frac partial Phi partial z nbsp Dlya osesimetrichnogo potencialu F F R z displaystyle Phi Phi R z nbsp druge z cih rivnyan maye 0 v pravij chastini i pislya integruvannya daye R 2 d 8 d t h displaystyle R 2 frac d theta dt h nbsp de h displaystyle h nbsp stala zvana integralom plosh Ruh orbitoyu blizkoyu do kolovoyi mozhna predstaviti yak sumu kolovogo ruhu po orbiti navkolo centru galaktiki u ploshini diska i malih vidhilen U cilindrichnih koordinatah R 8 z displaystyle R theta z nbsp ruh bude virazheno formulami 3 R R 0 d R displaystyle R R 0 delta R nbsp 8 8 0 d 8 w 0 t t 0 d 8 displaystyle theta theta 0 delta theta omega 0 t t 0 delta theta nbsp z d z displaystyle z delta z nbsp Tut R 0 displaystyle R 0 nbsp Radius vidpovidnoyi kolovoyi orbiti 8 0 displaystyle theta 0 nbsp azimutalnij kut vidnosno centru galaktiki dlya rivnomirnogo kolovogo ruhu Dlya zadanoyi orbiti mozhna viznachiti R 0 displaystyle R 0 nbsp tak shob h displaystyle h nbsp dlya kolovoyi orbiti z radiusom R 0 displaystyle R 0 nbsp zbigavsya z h displaystyle h nbsp dlya zadanoyi orbiti Takozh za dopomogoyu h displaystyle h nbsp mozhna perepisati pershe rivnyannya ruhu 3 d 2 R d t 2 h 2 R 3 F R displaystyle frac d 2 R dt 2 frac h 2 R 3 frac partial Phi partial R nbsp R 2 d 8 d t h displaystyle R 2 frac d theta dt h nbsp d 2 z d t 2 F z displaystyle frac d 2 z dt 2 frac partial Phi partial z nbsp Chastota obertannya galaktiki w 0 displaystyle omega 0 nbsp na radiusi R 0 displaystyle R 0 nbsp viznachayetsya yak w 0 h R 0 2 displaystyle omega 0 h R 0 2 nbsp Rozglyadayuchi kolovi orbiti z pershogo rivnyannya mozhna otrimati takij viraz v yakomu nizhnij indeks 0 oznachaye vzyattya pohidnoyi v tochci R 0 displaystyle R 0 nbsp 3 h 2 R 0 3 F R 0 displaystyle h 2 R 0 3 left frac partial Phi partial R right 0 nbsp Potencial F R z displaystyle Phi R z nbsp mozhna rozklasti v ryad za stepenyami R R 0 displaystyle R R 0 nbsp i z displaystyle z nbsp i zalishiti lishe pershi stepeni Todi vijde 3 d 2 R d t 2 1 R R 0 3 F R 0 2 F R 2 R R 0 displaystyle frac d 2 R dt 2 left 1 left frac R R 0 right 3 right left frac partial Phi partial R right 0 left frac partial 2 Phi partial R 2 right R R 0 nbsp d 8 d t w 0 R R 0 2 displaystyle frac d theta dt omega 0 left frac R R 0 right 2 nbsp d 2 z d t 2 2 F z 2 0 z displaystyle frac d 2 z dt 2 left frac partial 2 Phi partial z 2 right 0 z nbsp Povertayuchis do znachen malih vidhilen vid kolovogo ruhu mozhna perepisati rivnyannya tak 3 d 2 d R d t 2 2 F R 2 3 R F R 0 d R displaystyle frac d 2 delta R dt 2 left frac partial 2 Phi partial R 2 frac 3 R frac partial Phi partial R right 0 delta R nbsp d d 8 d t 2 w 0 R 0 d R displaystyle frac d delta theta dt 2 frac omega 0 R 0 delta R nbsp d 2 d z d t 2 2 F z 2 0 d z displaystyle frac d 2 delta z dt 2 left frac partial 2 Phi partial z 2 right 0 delta z nbsp Znachennya v duzhkah zazvichaj ye vid yemnimi i todi pershe i tretye rivnyannya ye rivnyannyami garmonichnih kolivan Mozhna vvesti taki poznachennya 3 2 F R 2 3 R F R 0 k 2 displaystyle left frac partial 2 Phi partial R 2 frac 3 R frac partial Phi partial R right 0 kappa 2 nbsp 2 F z 2 0 n 2 displaystyle left frac partial 2 Phi partial z 2 right 0 nu 2 nbsp Todi rishennya rivnyan nabudut nastupnogo viglyadu 3 d R a sin k t t 1 displaystyle delta R a sin kappa t t 1 nbsp d 8 2 w 0 k R 0 a cos k t t 1 displaystyle delta theta 2 frac omega 0 kappa R 0 a cos kappa t t 1 nbsp d z b sin n t t 2 displaystyle delta z b sin nu t t 2 nbsp U cih formulah a b t 1 t 2 displaystyle a b t 1 t 2 nbsp stali integruvannya Vid formul oznachaye sho pri vidhilenni vid kolovoyi orbiti tilo v galaktichnij ploshini ruhayetsya elipsom navkolo tochki na kolovij orbiti z chastotoyu k displaystyle kappa nbsp a vzdovzh osi z displaystyle z nbsp zdijsnyuye garmonichni kolivannya iz chastotoyu n displaystyle nu nbsp Velichina k displaystyle kappa nbsp i nazivayetsya epiciklichnoyu chastotoyu a n displaystyle nu nbsp vertikalnoyu chastotoyu 5 yiyi kvadrat nazivayut dinamichnim parametrom i chasto poznachayut C 2 displaystyle C 2 nbsp Chastoti obertannya navkolo centru galaktiki kolivan u ploshini galaktiki j perpendikulyarno do neyi zazvichaj ne zbigayutsya tak sho orbita v zagalnomu vipadku ne zamknuta 3 Zastosuvannya RedaguvatiEpiciklichnu chastotu v okolicyah Soncya mozhna ociniti cherez stali Oorta k 2 4 B B A displaystyle kappa 2 4B B A nbsp V cij oblasti k displaystyle kappa nbsp dorivnyuye priblizno 32 km s kpk i period epiciklichnih kolivan stanovit priblizno 80 periodu obertannya Galaktiki Dinamichnij parametr C 2 displaystyle C 2 nbsp zalezhit vid dispersiyi shvidkostej s z displaystyle sigma z nbsp u napryamku perpendikulyarnomu do disku Galaktiki ta rozpodilu gustini r displaystyle rho nbsp 3 C 2 s z 2 2 ln r z 2 displaystyle C 2 sigma z 2 frac partial 2 ln rho partial z 2 nbsp V okolicyah Soncya period vertikalnih kolivan stanovit 45 periodu obertannya Galaktiki Gustinu rechovini v disku Galaktiki poblizu Soncya mozhna viraziti cherez dinamichnij parametr i stali Oorta 3 4 p G r C 2 2 A 2 B 2 displaystyle 4 pi G rho C 2 2 A 2 B 2 nbsp Ocinka gustini otrimana takim chinom nazivayetsya dinamichnoyu i stanovit dlya okolic Soncya 6 10 24 g sm3 3 Primitki Redaguvati p161 Astrophysical Flows Pringle and King 2007 a b Loktin A V Marsakov V A Lekcii po zvyozdnoj astronomii 2009 S 232 a b v g d e zh i k l m n p r Zvezdnaya astronomiya v lekciyah 16 1 Epiciklicheskoe priblizhenie Astronet Procitovano 6 lyutogo 2023 Binney Tremaine 2008 s 165 Binney Tremaine 2008 s 164 165 Literatura RedaguvatiBinney J Tremaine S Galactic Dynamics Second Edition Princeton University Press 2008 903 s ISBN 978 0 691 13027 9 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Epiciklichna chastota amp oldid 40638695