Функція Кантора (також драбина Кантора чи драбина Диявола) — є прикладом монотонної неперервної функції , що не є рівною константі, але її похідна рівна нулю майже всюди.
Побудова Редагувати
Розглянемо функцію, рівну на , на , на і так далі. На інших точках одиничного відрізку довизначимо функцію до неперервної. Одержана функція і називається функцією Кантора.
Формальне визначення Редагувати
Функцію можна побудувати за допомогою наступних кроків.
- Подати дійсне число x в системі числення з основою 3 уникаючи де можливо 1 (це можливо у двох випадках подібних до 022222… = 100000… чи 200000… = 122222… на зразок як в десятковій системі 1 = 0,999999…)
- Замінити першу цифру 1 на 2, а всі наступні цифри на 0.
- Замінити всі 2 на 1.
- Інтерпретувати одержану послідовність, як дійсне число в двійковій системі числення. Дане число c(x) і є значенням функції Кантора від аргументу x.
Властивості Редагувати
- Похідна функції Кантора визначена і рівна нулю на всіх точках одиничного відрізка крім множини Кантора, яка є множиною міри нуль.
- Функція Кантора є неперервною, має обмежену варіацію, але не є абсолютно неперервною.
- Функція Кантора є функцією розподілу випадкової величини, що рівномірно розподілена на множині Кантора.
- Довжина кривої графіка функції рівна 1.
Див. також Редагувати
| Ця стаття не містить посилань на джерела. (жовтень 2014) |