www.wikidata.uk-ua.nina.az

Десятковий логарифм Ця стаття є сирим перекладом з іншої мови Можливо вона створена за допомогою машинного перекладу або

Десятковий логарифм

Ця стаття є сирим перекладом з іншої мови. Можливо, вона створена за допомогою машинного перекладу або перекладачем, який недостатньо володіє обома мовами. Будь ласка, допоможіть поліпшити переклад. (травень 2015)

Десятковий логарифм — логарифм з основою 10. Іншими словами, десятковий логарифм числа є розв'язком рівняння

Графік десяткового логарифма

Десятковий логарифм числа існує, якщо Прийнято (специфікація ISO 31-11) позначати його . Приклади:

У зарубіжній літературі, а також на клавіатурі калькуляторів зустрічаються й інші позначення десяткового логарифма:, причому слід мати на увазі, що перші 2 варіанти можуть відноситися і до натурального логарифма.

Алгебраїчні властивості Редагувати

У нижченаведеній таблиці передбачається, що всі значення позитивні :

Формула Приклад
Добуток
Частка від ділення
Степінь
Корінь

Існує очевидне узагальнення наведених формул на випадок, коли допускаються негативні змінні, наприклад:

Формула для логарифма добутку легко узагальнюється на довільну кількість співмножників:

Вищеописані властивості пояснюють, чому застосування логарифмів (до винаходу калькуляторів) істотно полегшувало обчислення. Наприклад, множення багатозначних чисел за допомогою логарифмічних таблиць [⇨] вироблялося за наступним алгоритмом:

  1. Знайти в таблицях логарифми чисел .
  2. Скласти ці логарифми, отримуючи (відповідно до першої властивості) логарифм добутку .
  3. За логарифмом добутку знайти в таблицях сам добуток.

Ділення, яке без допомоги логарифмів набагато трудомісткіше, ніж множення, виконувалося за тим же алгоритмом, лише із заміною складання логарифмів — відніманням. Аналогічно здійснювалися піднесення до степеня і знаходження кореня.

Зв'язок десяткового і натурального логарифмів :


Знак логарифма залежить від логарифмуємого числа: якщо воно більше 1, логарифм позитивний, якщо воно між 0 і 1, то від'ємний. Приклад:

Щоб уніфікувати дії з позитивними і негативними логарифмами, в останніх ціла частина (характеристика) надкреслюється зверху:

Мантиса логарифма, обрана з таблиць, при такому підході завжди позитивна.

Функція десяткового логарифма Редагувати

Якщо розглядати логарифмуєме число як змінну, ми отримаємо функцію десяткового логарифма: . Вона визначена при всіх Область значень: . Графік цієї кривої часто називається логарифмікою.

Функція монотонно зростає, неперервна і диференційована усюди, де вона визначена. Похідна для неї знаходиться за формулою:

Вісь ординат є лівою вертикальною асимптотою, оскільки:

Застосування Редагувати

Логарифми за основою 10 до винаходу в 1970-і роки компактних електронних калькуляторів широко застосовувалися для обчислень. Як і будь-які інші логарифми, вони дозволяли багаторазово спростити і полегшити трудомісткі розрахунки, замінюючи множення на додавання, а ділення на віднімання; аналогічно спрощувались піднесення до степеня і знаходження кореня. Але десяткові логарифми мали перевагу перед логарифмами за іншою основою: цілу частину логарифма числа (характеристику логарифма) легко визначити.

  • Якщо то на 1 менше числа цифр в цілій частині числа . Наприклад, відразу очевидно, що lg 345 знаходиться в проміжку (2, 3).
  • Якщо то найближче до ціле (в меншу сторону) дорівнює загальній кількості нулів в перед першою ненульовий цифрою, взятому зі знаком мінус. Наприклад, lg 0,0014 знаходиться в інтервалі (-3, -2).

Крім того, при перенесенні десяткової коми в числі на розрядів значення десяткового логарифма цього числа змінюється на Наприклад:

Звідси випливає, що досить скласти таблицю мантис (дробових частин) десяткових логарифмів для чисел в діапазоні від 1 до 10. Такі таблиці, починаючи з XVII століття, випускалися великим тиражем і служили незамінним розрахунковим інструментом вчених та інженерів.

Оскільки застосування логарифмів для розрахунків з появою обчислювальної техніки майже припинилося, в наші дні десятковий логарифм в значній мірі витіснений натуральним . Він зберігається в основному в тих математичних моделях, де історично вкоренився — наприклад, при побудові логарифмічних шкал.

Десяткові логарифми для чисел виду 5 × 10n
Число логарифм характеристика мантиса запис
n lg(n) C = floor(lg(n)) M = (lg(n) − характеристика)
5 000 000 6.698 970… 6 0.698 970… 6.698 970…
50 1.698 970… 1 0.698 970… 1.698 970…
5 0.698 970… 0 0.698 970… 0.698 970…
0.5 −0.301 029… −1 0.698 970… 1.698 970…
0.000 005 −5.301 029… −6 0.698 970… 6.698 970…

Зверніть увагу, що у всіх наведених у таблиці чисел одна і та ж мантиса.

Десяткова логарифмічна шкала на логарифмічній лінійці

Історія Редагувати

Перші таблиці десяткових логарифмів опублікував в 1617 році оксфордський професор математики Генрі Бріґґз для чисел від 1 до 1000, з вісьмома (пізніше — з чотирнадцятьма) знаками. Тому за кордоном десяткові логарифми часто називають брігсовимі. Але в цих і в наступних виданнях таблиць виявилися помилки. Перше безпомилкове видання на основі таблиць Георга Веги (1783) з'явилося тільки в 1857 в Берліні (таблиці Бремікера, Carl Bremiker) .

У Росії перші таблиці логарифмів були видані в 1703 році за участю Л. П. Магницького. У СРСР випускалися кілька збірок таблиць логарифмів:

  1. Брадис В. М. Чотиризначні математичні таблиці. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблиці Брадіса, що видаються з 1921 року, використовувалися в навчальних закладах та в інженерних розрахунках, що не вимагають великої точності. Вони містили мантиси десяткових логарифмів чисел і тригонометричних функцій, натуральні логарифми і деякі інші корисні розрахункові інструменти.
  2. Вега Г. Таблиці семизначних логарифмів, 4-е видання, М.: Надра, 1971. Професійний збірник для точних обчислень.

Примітки Редагувати

  1. Вигодський М. Я. Довідник з елементарної математики, 1978, с. 187..
  2. Вигодський М. Я. Довідник з елементарної математики, 1978, с. 189..
  3. Логарифмічна функція. // Математична енциклопедія (в 5 томах). — М. : Радянська Енциклопедія, 1982. — Т. 3.
  4. Клейн Ф. Елементарна математика з точки зору вищої, 1987, с. 406..
  5. Історія математики, тому II, 1970, с. 62..
  6. Гнеденко Б. В. Нариси з історії математики в Росії, видання 2-е. — М. : КомКнига, 2005. — С. 66. — ISBN 5-484-00123-4.
  7. Логарифмічні таблиці //Велика радянська енциклопедія.

Джерела Редагувати

  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978. — ISBN 5-17-009554-6.
  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Cya stattya ye sirim perekladom z inshoyi movi Mozhlivo vona stvorena za dopomogoyu mashinnogo perekladu abo perekladachem yakij nedostatno volodiye oboma movami Bud laska dopomozhit polipshiti pereklad traven 2015 Desyatkovij logarifm logarifm z osnovoyu 10 Inshimi slovami desyatkovij logarifm chisla b displaystyle b ye rozv yazkom rivnyannya 10 x b displaystyle 10 x b Grafik desyatkovogo logarifmaDesyatkovij logarifm chisla b displaystyle b isnuye yaksho b gt 0 displaystyle b gt 0 Prijnyato specifikaciya ISO 31 11 poznachati jogo lg b displaystyle lg b Prikladi lg 1 0 lg 10 1 lg 100 2 displaystyle lg 1 0 lg 10 1 lg 100 2 lg 1000000 6 lg 0 1 1 lg 0 001 3 displaystyle lg 1000000 6 lg 0 1 1 lg 0 001 3 U zarubizhnij literaturi a takozh na klaviaturi kalkulyatoriv zustrichayutsya j inshi poznachennya desyatkovogo logarifma log Log Log10 displaystyle operatorname log operatorname Log operatorname Log10 prichomu slid mati na uvazi sho pershi 2 varianti mozhut vidnositisya i do naturalnogo logarifma Zmist 1 Algebrayichni vlastivosti 2 Funkciya desyatkovogo logarifma 3 Zastosuvannya 4 Istoriya 5 Primitki 6 DzherelaAlgebrayichni vlastivosti RedaguvatiU nizhchenavedenij tablici peredbachayetsya sho vsi znachennya pozitivni 1 Formula PrikladDobutok lg x y lg x lg y displaystyle lg xy lg x lg y nbsp lg 10000 lg 100 100 lg 100 lg 100 2 2 4 displaystyle lg 10000 lg 100 cdot 100 lg 100 lg 100 2 2 4 nbsp Chastka vid dilennya lg x y lg x lg y displaystyle lg left frac x y right lg x lg y nbsp lg 1 1000 lg 1 lg 1000 0 3 3 displaystyle lg left frac 1 1000 right lg 1 lg 1000 0 3 3 nbsp Stepin lg x p p lg x displaystyle lg x p p lg x nbsp lg 10000000 lg 10 7 7 lg 10 7 displaystyle lg 10000000 lg 10 7 7 lg 10 7 nbsp Korin lg x p lg x p displaystyle lg sqrt p x frac lg x p nbsp lg 1000 1 2 lg 1000 3 2 1 5 displaystyle lg sqrt 1000 frac 1 2 lg 1000 frac 3 2 1 5 nbsp Isnuye ochevidne uzagalnennya navedenih formul na vipadok koli dopuskayutsya negativni zminni napriklad lg x y lg x lg y displaystyle lg xy lg x lg y nbsp lg x y lg x lg y displaystyle lg left frac x y right lg x lg y nbsp Formula dlya logarifma dobutku legko uzagalnyuyetsya na dovilnu kilkist spivmnozhnikiv lg x 1 x 2 x n lg x 1 lg x 2 lg x n displaystyle lg x 1 x 2 dots x n lg x 1 lg x 2 dots lg x n nbsp Visheopisani vlastivosti poyasnyuyut chomu zastosuvannya logarifmiv do vinahodu kalkulyatoriv istotno polegshuvalo obchislennya Napriklad mnozhennya bagatoznachnih chisel x y displaystyle x y nbsp za dopomogoyu logarifmichnih tablic viroblyalosya za nastupnim algoritmom Znajti v tablicyah logarifmi chisel x y displaystyle x y nbsp Sklasti ci logarifmi otrimuyuchi vidpovidno do pershoyi vlastivosti logarifm dobutku x y displaystyle x cdot y nbsp Za logarifmom dobutku znajti v tablicyah sam dobutok Dilennya yake bez dopomogi logarifmiv nabagato trudomistkishe nizh mnozhennya vikonuvalosya za tim zhe algoritmom lishe iz zaminoyu skladannya logarifmiv vidnimannyam Analogichno zdijsnyuvalisya pidnesennya do stepenya i znahodzhennya korenya Zv yazok desyatkovogo i naturalnogo logarifmiv 2 ln x 2 302 59 lg x lg x 0 434 29 ln x displaystyle ln x approx 2 30259 lg x quad lg x approx 0 43429 ln x nbsp Znak logarifma zalezhit vid logarifmuyemogo chisla yaksho vono bilshe 1 logarifm pozitivnij yaksho vono mizh 0 i 1 to vid yemnij Priklad lg 0 012 lg 10 2 1 2 2 lg 1 2 2 0 079 181 1 920 819 displaystyle lg 0 012 lg 10 2 times 1 2 2 lg 1 2 approx 2 0 079181 1 920819 nbsp Shob unifikuvati diyi z pozitivnimi i negativnimi logarifmami v ostannih cila chastina harakteristika nadkreslyuyetsya zverhu lg 0 012 2 0 079 181 2 079181 displaystyle lg 0 012 approx 2 0 079181 bar 2 079181 nbsp Mantisa logarifma obrana z tablic pri takomu pidhodi zavzhdi pozitivna Funkciya desyatkovogo logarifma RedaguvatiYaksho rozglyadati logarifmuyeme chislo yak zminnu mi otrimayemo funkciyu desyatkovogo logarifma y lg x displaystyle y lg x nbsp Vona viznachena pri vsih x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp Oblast znachen E y displaystyle E y infty infty nbsp Grafik ciyeyi krivoyi chasto nazivayetsya logarifmikoyu 3 Funkciya monotonno zrostaye neperervna i diferencijovana usyudi de vona viznachena Pohidna dlya neyi znahoditsya za formuloyu d d x lg x lg e x displaystyle frac d dx lg x frac lg e x nbsp Vis ordinat x 0 displaystyle x 0 nbsp ye livoyu vertikalnoyu asimptotoyu oskilki lim x 0 0 lg x displaystyle lim x to 0 0 lg x infty nbsp Zastosuvannya RedaguvatiLogarifmi za osnovoyu 10 do vinahodu v 1970 i roki kompaktnih elektronnih kalkulyatoriv shiroko zastosovuvalisya dlya obchislen Yak i bud yaki inshi logarifmi voni dozvolyali bagatorazovo sprostiti i polegshiti trudomistki rozrahunki zaminyuyuchi mnozhennya na dodavannya a dilennya na vidnimannya analogichno sproshuvalis pidnesennya do stepenya i znahodzhennya korenya Ale desyatkovi logarifmi mali perevagu pered logarifmami za inshoyu osnovoyu cilu chastinu L displaystyle L nbsp logarifma chisla x displaystyle x nbsp harakteristiku logarifma legko viznachiti Yaksho x gt 1 displaystyle x gt 1 nbsp to L displaystyle L nbsp na 1 menshe chisla cifr v cilij chastini chisla x displaystyle x nbsp Napriklad vidrazu ochevidno sho lg 345 znahoditsya v promizhku 2 3 Yaksho x lt 1 displaystyle x lt 1 nbsp to najblizhche do L displaystyle L nbsp cile v menshu storonu dorivnyuye zagalnij kilkosti nuliv v x displaystyle x nbsp pered pershoyu nenulovij cifroyu vzyatomu zi znakom minus Napriklad lg 0 0014 znahoditsya v intervali 3 2 Krim togo pri perenesenni desyatkovoyi komi v chisli na n displaystyle n nbsp rozryadiv znachennya desyatkovogo logarifma cogo chisla zminyuyetsya na n displaystyle n nbsp Napriklad lg 8314 63 lg 8 314 63 3 displaystyle lg 8314 63 lg 8 31463 3 nbsp Zvidsi viplivaye sho dosit sklasti tablicyu mantis drobovih chastin desyatkovih logarifmiv dlya chisel v diapazoni vid 1 do 10 Taki tablici pochinayuchi z XVII stolittya vipuskalisya velikim tirazhem i sluzhili nezaminnim rozrahunkovim instrumentom vchenih ta inzheneriv Oskilki zastosuvannya logarifmiv dlya rozrahunkiv z poyavoyu obchislyuvalnoyi tehniki majzhe pripinilosya v nashi dni desyatkovij logarifm v znachnij miri vitisnenij naturalnim 4 Vin zberigayetsya v osnovnomu v tih matematichnih modelyah de istorichno vkorenivsya napriklad pri pobudovi logarifmichnih shkal Desyatkovi logarifmi dlya chisel vidu 5 10n Chislo logarifm harakteristika mantisa zapisn lg n C floor lg n M lg n harakteristika 5 000 000 6 698 970 6 0 698 970 6 698 970 50 1 698 970 1 0 698 970 1 698 970 5 0 698 970 0 0 698 970 0 698 970 0 5 0 301 029 1 0 698 970 1 698 970 0 000 005 5 301 029 6 0 698 970 6 698 970 Zvernit uvagu sho u vsih navedenih u tablici chisel odna i ta zh mantisa nbsp Desyatkova logarifmichna shkala na logarifmichnij linijciIstoriya RedaguvatiDokladnishe Istoriya logarifmivPershi tablici desyatkovih logarifmiv opublikuvav v 1617 roci oksfordskij profesor matematiki Genri Briggz dlya chisel vid 1 do 1000 z vismoma piznishe z chotirnadcyatma znakami Tomu za kordonom desyatkovi logarifmi chasto nazivayut brigsovimi Ale v cih i v nastupnih vidannyah tablic viyavilisya pomilki Pershe bezpomilkove vidannya na osnovi tablic Georga Vegi 1783 z yavilosya tilki v 1857 v Berlini tablici Bremikera Carl Bremiker 5 U Rosiyi pershi tablici logarifmiv buli vidani v 1703 roci za uchastyu L P Magnickogo 6 U SRSR vipuskalisya kilka zbirok tablic logarifmiv 7 Bradis V M Chotiriznachni matematichni tablici M Drofa 2010 ISBN 978 5 358 07433 0 Tablici Bradisa sho vidayutsya z 1921 roku vikoristovuvalisya v navchalnih zakladah ta v inzhenernih rozrahunkah sho ne vimagayut velikoyi tochnosti Voni mistili mantisi desyatkovih logarifmiv chisel i trigonometrichnih funkcij naturalni logarifmi i deyaki inshi korisni rozrahunkovi instrumenti Vega G Tablici semiznachnih logarifmiv 4 e vidannya M Nadra 1971 Profesijnij zbirnik dlya tochnih obchislen Primitki Redaguvati Vigodskij M Ya Dovidnik z elementarnoyi matematiki 1978 s 187 Vigodskij M Ya Dovidnik z elementarnoyi matematiki 1978 s 189 Logarifmichna funkciya Matematichna enciklopediya v 5 tomah M Radyanska Enciklopediya 1982 T 3 Klejn F Elementarna matematika z tochki zoru vishoyi 1987 s 406 Istoriya matematiki tomu II 1970 s 62 Gnedenko B V Narisi z istoriyi matematiki v Rosiyi vidannya 2 e M KomKniga 2005 S 66 ISBN 5 484 00123 4 Logarifmichni tablici Velika radyanska enciklopediya Dzherela RedaguvatiVygodskij M Ya Spravochnik po elementarnoj matematike izd 25 e M Nauka 1978 ISBN 5 17 009554 6 Korn G Korn T Spravochnik po matematike dlya nauchnyh rabotnikov i inzhenerov M Nauka 1973 720 s Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Desyatkovij logarifm amp oldid 36473387