Brahistohro na grec braxistos najkorotshij i grec xronos chas kriva najshvidshogo spusku tobto ta z usih mozhlivih krivih sho spoluchayut dvi tochki A i V mal vzdovzh yakoyi vazhka kulka sho kovzaye bez tertya abo kotitsya z tochki A za najkorotshij chas dosyagaye nizhchoyi tochki V Pri vidsutnosti oporu seredovisha Brahistohrona zvichajna cikloyida z gorizontalnoyu osnovoyu i tochkoyu rozvorotu u verhnij tochci A Zadacha pro brahistohronu rozv yazana Jogannom Bernulli 1696 vidigrala vazhlivu rol u rozvitku variacijnogo chislennya Brahistohrona Zmist 1 Postanovka matematichnoyi zadachi 2 Znahodzhennya rozv yazku 3 Uzgodzhenist rozv yazku 4 Dodatnist drugoyi variaciyi 4 1 Poperedni obchislennya 4 2 Persha nevdala sproba 4 3 Druga sproba 5 DzherelaPostanovka matematichnoyi zadachi RedaguvatiOchevidno zakon zberezhennya energiyi nakladaye obmezhennya na visotu tochki V tochka V maye znahoditis nizhche abo na tij samij visoti sho i tochka A Yaksho tochka V lezhit na odnij vertikalnij pryamij z tochkoyu A to rozv yazok zadachi ochevidnij trayektoriya najshvidshogo spusku bude vidrizok pryamoyi AV Tomu mi budemo rozglyadati vipadok koli tochka V desho zmishena vid tochki A po gorizontali Viberemo pochatok koordinat O displaystyle O nbsp v pochatkovij tochci A i napravimo vis abscis O x displaystyle Ox nbsp gorizontalno v napryamku kincevoyi tochki V dopustimo dlya viznachenosti malyunka sho mi divimosya na ci tochki z takim rakursom sho tochka V znahoditsya pravishe vid tochki A a vis ordinat O y displaystyle Oy nbsp vertikalno vniz Ochevidno tretya prostorova koordinata povinna dorivnyuvati nulyu na krivij najshvidshogo spusku proyekciya bud yakoyi prostorovoyi krivoyi na ploshinu O x y displaystyle Oxy nbsp davatime menshij chas spusku Oskilki vtrati energiyi na tertya vidsutni mi mozhemo zapisati zakon zberezhennya energiyi prijnyavshi energiyu kulki v tochci A za nul 1 0 E k U displaystyle 1 qquad 0 E k U nbsp Potencialna energiya kulki masoyu m displaystyle m nbsp v poli tyazhinnya dorivnyuye 2 U m g y displaystyle 2 qquad U mgy nbsp Kinetichna energiya dlya kulki sho kovzaye bez obertannya yak namistina na droti dorivnyuye 3 E k m v 2 2 displaystyle 3 qquad E k mv 2 over 2 nbsp Yaksho zh kulka kotitsya bez prokovzuvannya to do kinetichnoyi energiyi postupalnogo ruhu 3 treba she dodati kinetichnu energiyu obertannya 4 E r o t I w 2 2 displaystyle 4 qquad E rot I omega 2 over 2 nbsp Dlya sucilnoyi odnoridnoyi kulki radiusa R displaystyle R nbsp mayemo moment inerciyi I 2 5 m R 2 displaystyle I 2 over 5 mR 2 nbsp a tomu kinetichna energiya dorivnyuye 5 E k m v 2 2 m R 2 w 2 5 7 10 m v 2 displaystyle 5 qquad tilde E k mv 2 over 2 mR 2 omega 2 over 5 7 over 10 mv 2 nbsp Pidstavivshi 2 i 3 v 1 oderzhuyemo rivnyannya 6 m v 2 2 m g y 0 displaystyle 6 qquad mv 2 over 2 mgy 0 nbsp zvidki znahodimo shvidkist kulki sho kovzaye bez obertannya v dovilnij tochci krivoyi 7 v 2 g y displaystyle 7 qquad v sqrt 2gy nbsp analogichno z 2 5 i 1 znahodimo shvidkist kulki sho kotitsya 8 v 10 g y 7 displaystyle 8 qquad tilde v sqrt 10gy over 7 nbsp Dali vrahovuyuchi zalezhnist mizh shvidkistyu projdenim shlyahom i projdenim chasom 9 v d s d t d t d s v displaystyle 9 qquad v ds over dt dt ds over v nbsp Znahodimo sho chas ruhu kulki vzdovzh krivoyi vid tochki A do tochki V dayetsya integralom x A 0 displaystyle x A 0 nbsp cherez vibir sistemi koordinat 10 t d t d s v a d x 2 d y 2 y a 0 x B 1 y 2 y d x displaystyle 10 qquad t int dt int ds over v alpha int sqrt dx 2 dy 2 over sqrt y alpha int 0 x B sqrt 1 y 2 over y dx nbsp de postijna a displaystyle alpha nbsp dorivnyuye vidpovidno dlya kulki sho kovzaye i dlya kulki sho kotitsya 11 a 1 2 g a 7 10 g displaystyle 11 qquad alpha 1 over sqrt 2g tilde alpha sqrt 7 over 10g nbsp Otzhe matematichno zadacha pro brahistohronu formulyuyetsya tak nam treba znajti taku nevid yemnu funkciyu zafiksovanu na kincyah 12 y y x x 0 x B y 0 0 y x 0 y x B y B displaystyle 12 qquad y y x x in 0 x B y 0 0 y x geq 0 y x B y B nbsp sho integral u formuli 10 dosyagaye minimumu Zauvazhimo sho konstanta a displaystyle alpha nbsp ne vplivaye na rozv yazok a tomu mi yiyi opuskatimemo azh doki ne pochnemo cikavitisya chomu dorivnyuye cej minimalnij chas spusku Shukayemo minimum funkcionala T displaystyle T nbsp vid funkciyi y y x displaystyle y y x nbsp grafikom yakoyi ye nasha kriva spusku 13 T T y 0 x B 1 y 2 y d x displaystyle 13 qquad T T y int 0 x B sqrt 1 y 2 over y dx nbsp Znahodzhennya rozv yazku RedaguvatiV tochci lokalnogo minimumu funkcionala persha variaciya funkcionala d T displaystyle delta T nbsp povinna dorivnyuvati nulyu a druga variaciya d 2 T displaystyle delta 2 T nbsp maye buti bilshoyu nulya dodatno viznachenoyu kvadratichnoyu formoyu vid variaciyi argumentnoyi funkciyi d y d y x displaystyle delta y delta y x nbsp Z rivnosti nulyu pershoyi variaciyi sliduye rivnyannya Ejlera Lagranzha divitsya variacijne chislennya dlya funkcionala 13 14 d d x L y L y 0 displaystyle 14 qquad d over dx L y L y 0 nbsp de lagranzhian L displaystyle L nbsp dorivnyuye funkciyi pid integralom v 13 15 L L y y 1 y 2 y L y y y 1 y 2 L y 1 y 2 2 y 3 2 displaystyle 15 qquad L L y y sqrt 1 y 2 over y L y y over sqrt y 1 y 2 L y sqrt 1 y 2 over 2y begin matrix frac 3 2 end matrix nbsp Z formul 14 15 mi oderzhuyemo zvichajne diferencialne rivnyannya vidnosno nevidomoyi funkciyi y y x displaystyle y y x nbsp 16 d d x y y 1 y 2 1 y 2 2 y 3 2 0 displaystyle 16 qquad d over dx left y over sqrt y 1 y 2 right sqrt 1 y 2 over 2y begin matrix frac 3 2 end matrix 0 nbsp Ale pershe nizh rozv yazuvati 16 poglyanemo na poshuki krivoyi z desho inshoyi tochki zoru A same pripustimo sho nasha kriva spusku zadana parametrichno 17 x x t y y t t t A t B displaystyle 17 qquad x x tau y y tau tau in tau A tau B nbsp parametr t displaystyle tau nbsp monotonno zrostaye pri peremishenni vzdovzh nashoyi krivoyi tobto ye deyakoyu dosit dovilnoyu ale monotonno zrostayuchoyu funkciyeyu chasu 18 t t t d t d t gt 0 displaystyle 18 qquad tau tau t d tau over dt gt 0 nbsp Poznachayuchi krapkoyu zverhu pohidnu funkcij 17 po parametru t displaystyle tau nbsp mi mozhemo perepisati funkcional 13 tak 19 T t A t B x 2 y 2 y d t displaystyle 19 qquad T int tau A tau B sqrt dot x 2 dot y 2 over sqrt y d tau nbsp Ochevidno sho velichina integrala 19 ne zminitsya pri zamini parametra t displaystyle tau nbsp na bud yaku inshu zrostayuchu funkciyu chasu t displaystyle tilde tau nbsp 20 d t d t gt 0 d t d t gt 0 x 2 y 2 d t d x d t 2 d y d t 2 d t displaystyle 20 qquad d tilde tau over dt gt 0 d tilde tau over d tau gt 0 sqrt dot x 2 dot y 2 d tau sqrt left dx over d tilde tau right 2 left dy over d tilde tau right 2 d tilde tau nbsp Dlya funkcionala 19 mi matimemo dva rivnyannya Ejlera Lagranzha L L x y x y displaystyle tilde L tilde L x y dot x dot y nbsp 21 d d t L x L x d d t x y x 2 y 2 0 displaystyle 21 qquad d over d tau tilde L dot x tilde L x d over d tau left dot x over sqrt y dot x 2 dot y 2 right 0 nbsp 22 d d t L y L y d d t y y x 2 y 2 x 2 y 2 2 y 3 2 0 displaystyle 22 qquad d over d tau tilde L dot y tilde L y d over d tau left dot y over sqrt y dot x 2 dot y 2 right sqrt dot x 2 dot y 2 over 2y begin matrix frac 3 2 end matrix 0 nbsp Rivnyannya 21 i 22 tak samo yak i porodivshij yih integral 19 invariantni shodo zamini parametra t displaystyle tau nbsp Ochevidno sho rivnyannya 22 perehodit v 16 yaksho vzyati parametr krivoyi t x displaystyle tau x nbsp A ot rivnyannya 21 viglyadaye prostishim zusillya vitracheni na rozglyad alternativnoyi tochki zoru viyavilisya ne marnimi Pochinayemo rozv yazuvati zvichajne diferencialne rivnyannya 21 Mi vidrazu mozhemo jogo prointegruvati 23 x y x 2 y 2 C c o n s t displaystyle 23 qquad dot x over sqrt y dot x 2 dot y 2 C const nbsp Postijna integruvannya C displaystyle C nbsp odnakova dlya vsih tochok nashoyi shukanoyi krivoyi maye buti dodatnoyu oskilki mi obrali taku sistemu koordinat sho kinceva tochka V maye bilshu abscisu x B gt x A 0 displaystyle x B gt x A 0 nbsp Perepishemo 23 v inshomu viglyadi vikonavshi algebrayichni peretvorennya 24 x 2 1 C 2 y y y 2 displaystyle 24 qquad dot x 2 left 1 over C 2 y right y dot y 2 nbsp V pravij chastini ostannogo rivnyannya stoyit dodatnij viraz a tomu i viraz u duzhkah livoyi chastini povinen buti bilshim nulya Takim chinom ordinata nashoyi krivoyi lezhit v mezhah 25 0 y 1 C 2 displaystyle 25 qquad 0 leq y leq 1 over C 2 nbsp Oskilki parametr t displaystyle tau nbsp v formuli 24 dovilnij zafiksuyemo zalezhnist ordinati vid parametra nastupnoyu funkciyeyu vrahovuyuchi nerivnosti 25 26 y R 1 cos t R 1 2 C 2 displaystyle 26 qquad y R 1 cos tau R 1 over 2C 2 nbsp V pochatkovij tochci A krivoyi mayemo y A 0 displaystyle y A 0 nbsp a tomu zgidno z formuloyu 26 poklademo t A 0 displaystyle tau A 0 nbsp Budemo shukati zalezhnist x x t displaystyle x x tau nbsp taku shob zadovolniti diferencialne rivnyannya 24 27 x 2 2 R R 1 cos t R 1 cos t R 2 sin 2 t displaystyle 27 qquad dot x 2 2R R 1 cos tau R 1 cos tau R 2 sin 2 tau nbsp Pislya algebrayichnih peretvoren oderzhuyemo 27 a x 2 1 cos t R 2 1 cos t 2 1 cos t displaystyle 27a qquad dot x 2 1 cos tau R 2 1 cos tau 2 1 cos tau nbsp 27 b x R 1 cos t y displaystyle 27b qquad dot x R 1 cos tau y nbsp Pri perehodi z 27a do 27b mi vrahuvali dodatnist konstanti integruvannya v formuli 23 Formulu 27b legko prointegruvati vrahovuyuchi pochatkovu umovu x A x 0 0 displaystyle x A x 0 0 nbsp 28 x t 0 t x d t R t sin t displaystyle 28 qquad x tau int 0 tau dot x d tau R tau sin tau nbsp Formuli 26 i 28 ye rivnyannyami cikloyidi zadanoyi parametrichno Zapishemo she raz ci dva rivnyannya okremo 29 x R t sin t y R 1 cos t displaystyle 29 qquad x R tau sin tau y R 1 cos tau nbsp Kriva 29 ye brahistohronoyu Uzgodzhenist rozv yazku RedaguvatiV hodi rozv yazuvannya mi oderzhali tri rivnyannya Ejlera Lagranzha 16 21 i 22 Ale rozv yazok mi znajshli lishe dlya rivnyannya 21 Pokazhemo sho znajdenij rozv yazok takozh zadovolnyaye reshtu rivnyan 16 i 22 Ochevidno sho rivnyannya 16 mozhna oderzhati podilivshi 22 na x displaystyle dot x nbsp Tomu nam dostatno pereviriti sho rozv yazok 29 zadovolnyaye 22 Spershu znajdemo sumu kvadrativ pohidnih 30 x 2 y 2 R 2 1 cos t 2 sin 2 t 2 R 2 1 cos t 2 R y displaystyle 30 qquad dot x 2 dot y 2 R 2 left 1 cos tau 2 sin 2 tau right 2R 2 1 cos tau 2Ry nbsp Pidstavlyayuchi 30 i 29 v 22 znahodimo 31 d d t y y x 2 y 2 x 2 y 2 2 y 3 2 d d t y 2 R y 2 R 2 y displaystyle 31 qquad d over d tau left dot y over sqrt y dot x 2 dot y 2 right sqrt dot x 2 dot y 2 over 2y begin matrix frac 3 2 end matrix d over d tau left dot y over sqrt 2R y right sqrt 2R over 2y nbsp 1 2 R d d t sin t 1 cos t 1 1 cos t 1 2 R d d t ctg t 2 1 2 sin 2 t 2 0 displaystyle 1 over sqrt 2R left d over d tau left sin tau over 1 cos tau right 1 over 1 cos tau right 1 over sqrt 2R left d over d tau operatorname ctg tau over 2 1 over 2 sin 2 tau over 2 right 0 nbsp Dodatnist drugoyi variaciyi RedaguvatiPoperedni obchislennya Redaguvati Zapishemo integral drugoyi variaciyi funkcionala 13 32 d 2 T 0 x B L y y d y 2 2 L y y d y d y L y y d y 2 d x displaystyle 32 qquad delta 2 T int 0 x B left L yy delta y 2 2L yy delta y delta y L y y delta y 2 right dx nbsp Znajdemo koeficiyenti kvadratichnoyi formi vrahovuyuchi 15 33 L y y 3 1 y 2 4 y 5 2 L y y y 2 y 3 2 1 y 2 L y y 1 y 1 y 2 3 2 displaystyle 33 qquad L yy 3 sqrt 1 y 2 over 4y begin matrix frac 5 2 end matrix qquad L yy y over 2y begin matrix frac 3 2 end matrix sqrt 1 y 2 qquad L y y 1 over sqrt y 1 y 2 begin matrix frac 3 2 end matrix nbsp Nas cikavit znachennya drugoyi variaciyi funkcionala tilki v tochci minimumu tobto tilki dlya krivoyi sho ye brahistohronoyu Virazimo koeficiyenti 33 cherez paramatr t displaystyle tau nbsp cikloyidi skoristavshis 29 Spochatku obchislimo 34 y R 1 cos t 2 R sin 2 t 2 y y x sin t 1 cos t ctg t 2 1 y 2 1 sin t 2 displaystyle 34 qquad y R 1 cos tau 2R sin 2 tau over 2 qquad y dot y over dot x sin tau over 1 cos tau operatorname ctg tau over 2 qquad sqrt 1 y 2 1 over sin tau over 2 nbsp Teper pidstavimo 34 v formuli 33 35 L y y 3 4 2 R 5 2 sin 6 t 2 displaystyle 35 qquad L yy 3 over 4 2R begin matrix frac 5 2 end matrix sin 6 tau over 2 nbsp 36 L y y cos t 2 2 2 R 3 2 sin 3 t 2 displaystyle 36 qquad L yy cos tau over 2 over 2 2R begin matrix frac 3 2 end matrix sin 3 tau over 2 nbsp 37 L y y sin 2 t 2 2 R displaystyle 37 qquad L y y sin 2 tau over 2 over sqrt 2R nbsp Persha nevdala sproba Redaguvati Perevirimo chi bude pidintegralna funkciya v 32 dodatno viznachenoyu kvadratichnoyu formoyu Dlya cogo treba neobhidno i dostatno po kriteryu Silvestra shob golovni minori matrici kvadratichnoyi formi buli dodatni 38 L y y L y y gt 0 displaystyle 38 qquad begin vmatrix L yy end vmatrix L yy gt 0 nbsp 39 L y y L y y L y y L y y L y y L y y L y y 2 gt 0 displaystyle 39 qquad begin vmatrix L yy amp L yy L y y amp L y y end vmatrix L yy L y y L yy 2 gt 0 nbsp Pidstanovka 35 v 38 daye pravilnu nerivnist ale nerivnist 39 ne vikonuyetsya z vrahuvannyam formul 35 37 40 L y y L y y L y y 2 1 2 R 3 3 sin 2 t 2 cos t 2 4 sin 6 t 2 displaystyle 40 qquad L yy L y y L yy 2 1 over 2R 3 left 3 sin 2 tau over 2 cos tau over 2 over 4 sin 6 tau over 2 right nbsp Zokrema na pochatku ruhu po brahistohroni parametr t displaystyle tau nbsp blizkij do nulya kosinus blizkij do odinici a tomu viraz 40 vid yemnij Druga sproba Redaguvati Yakbi variaciya d y d y x displaystyle delta y delta y x nbsp ta yiyi pohidna d y displaystyle delta y nbsp buli nezalezhnimi i dovilnimi funkciyami to mi b dijsno mogli pidibrati ci funkciyi tak shob v kozhnij tochci x displaystyle x nbsp pidintegralnij viraz v 32 buv vid yemnim abo nulovim i takim chinom ves integral 32 mig bi buti vid yenim Ale naspravdi mizh funkciyeyu ta yiyi pohidnoyu ye zv yazok Oskilki na kincyah nashoyi krivoyi variaciya peretvoryuyetsya v nul 41 d y x 0 d y x x B 0 displaystyle 41 qquad delta y big x 0 delta y big x x B 0 nbsp to mi mayemo totozhno 42 0 L y y d y 2 0 x B 0 x B d d x L y y d y 2 d x 0 x B d d x L y y d y 2 2 L y y d y d y d x displaystyle 42 qquad 0 L yy delta y 2 big 0 x B int 0 x B d over dx left L yy delta y 2 right dx int 0 x B left left d over dx L yy right delta y 2 2L yy delta y delta y right dx nbsp Vidnimemo vid integrala drugoyi variaciyi 32 totozhnist 40 oderzhimo takij viraz dlya drugoyi variaciyi 43 d 2 T 0 x B L y y d d x L y y d y 2 L y y d y 2 d x displaystyle 43 qquad delta 2 T int 0 x B left left L yy d over dx L yy right delta y 2 L y y delta y 2 right dx nbsp Pokazhemo sho pidintegralnij viraz v 43 bude dodatnim na brahistohroni Drugij dodanok bude dodatnim vnaslidok formuli 37 Pokazhemo teper sho dodatnoyu bude takozh pershij dodanok obchislimo riznicyu 44 L y y d d x L y y L y y 1 x d d t L y y 3 4 2 R 5 2 sin 6 t 2 1 2 R sin 2 t 2 d d t cos t 2 2 2 R 3 2 sin 3 t 2 displaystyle 44 qquad L yy d over dx L yy L yy 1 over dot x d over d tau L yy 3 over 4 2R begin matrix frac 5 2 end matrix sin 6 tau over 2 1 over 2R sin 2 tau over 2 d over d tau left cos tau over 2 over 2 2R begin matrix frac 3 2 end matrix sin 3 tau over 2 right nbsp 1 2 2 R 5 2 sin 2 t 2 3 2 sin 4 t 2 d d t cos t 2 sin 3 t 2 1 2 2 R 5 2 sin 2 t 2 gt 0 displaystyle 1 over 2 2R begin matrix frac 5 2 end matrix sin 2 tau over 2 left 3 over 2 sin 4 tau over 2 d over d tau left cos tau over 2 over sin 3 tau over 2 right right 1 over 2 2R begin matrix frac 5 2 end matrix sin 2 tau over 2 gt 0 nbsp Otzhe druga variaciya funkcionala 13 dodatnya na brahistohroni tobto brahistohrona ye lokalnim minimumom cogo funkcionala Dzherela RedaguvatiUkrayinska radyanska enciklopediya u 12 t gol red M P Bazhan redkol O K Antonov ta in 2 ge vid K Golovna redakciya URE 1974 1985 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Brahistohrona amp oldid 36282540
