Перша квадратична форма або (метричний тензор) поверхні — (квадратична форма) від диференціалів координат на поверхні, яка визначає поверхні в околі даної точки. Наявності першої квадратичної форми достатньо для обчислення (довжин) дуг, кутів між кривими, площі областей на поверхні.
Визначення
Нехай поверхня задана рівнянням
де і
― внутрішні координати на поверхні;
― Диференціал радіус-вектора уздовж обраного напрямку зміщення з точки
в нескінченно близьку точку
. Квадрат головної ліпшицевої частини приросту довжини
виражається квадратом диференціала
:
і називається першою основною квадратичною формою поверхні. Коефіцієнти першої квадратичної форми зазвичай позначають через
або в тензорних символах
Тензор називається основним, або метричним, тензором поверхні.
Що можна обчислити за допомогою першої квадратичної форми?
- Довжина кривої на поверхні.
- Кут між кривими на поверхні.
- Площа поверхні.
Властивості
- Перша квадратична форма є додатно визначеною формою в звичайних точках поверхні:
Обчислення довжини та площі
Перша квадратична форма повністю описує метричні властивості поверхні. Таким чином вона дозволяє обчислити довжини кривих на поверхні та площі областей на поверхні. ds може бути виражений в термінах коефіцієнтів першої квадратичної форми у вигляді
.
Класична площа елемента задається може бути виражена в термінах першої квадратичної форми за допомогою ,
Приклад
Сфера одиничного радіуса в може бути параметризована як
диференціюючи по змінних
та
отримуємо
Коефіцієнти першої квадратичної форми можна знайти за допомогою скалярного добутку (часткових похідних)
Довжина кривої на сфері
Екватор сфери є параметризована крива, задана з
в діапазоні від
до
. Лінійний елемент може бути використаний, щоб обчислити довжину цієї кривої.
Площа області на сфері
Площа елемента може бути використана для обчислення площі області.
Література
- Борисенко, О. А., Диференціальна геометрія і топологія : Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995 . - 304 с.
- Пришляк О., Диференціальна геометрія : Курс лекцій. – К.: Київський університет, 2004. – 68 с. [ 14 квітня 2010 у Wayback Machine.]
![]() | Це незавершена стаття з геометрії. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет