В математиці, а точніше в теорії чисел, квадратичний закон взаємності — твердження, що стосується розв'язності квадратичних рівнянь у .
Твердження
Елементарне твердження
Нехай маємо два різних простих числа p і q. Тоді квадратичний закон взаємності стверджує, що:
- Якщо хоча б одне з чисел p і q є рівним 1 за модулем 4, то рівняння відносно невідомого x:
- має розв'язок (тоді й лише тоді), коли має розв'язок відносно невідомого y таке рівняння:
- Якщо p і q рівні 3 за модулем 4, то рівняння відносно невідомого x:
- має розв'язок тоді й лише тоді, коли рівняння відносно невідомого y:
- не має розв'язку.
Твердження за допомогою символу Лежандра
З використанням (символу Лежандра), твердження закону можна записати так:
Також існує два доповнення до закону:
і
Приклади
Для простих чисел
Нехай p дорівнює 11, а q дорівнює 19, i тоді (оскільки
). Далі
, і, оскільки 2 не є (квадратичним лишком) за модулем 3, маємо:
. Тобто одержуємо, що 11 є квадратичним лишком за модулем 19. Це твердження легко можна перевірити:
Загальний випадок
Покажемо, що 219 є квадратичним лишком за модулем 383. Із властивостей символу Лежандра маємо:
Використання квадратичного закону взаємності дає рівність:
Подальше використання закону та властивостей символу Лежандра приводить до необхідного результату:
Див. також
- Модульна арифметика
- (Символ Лежандра)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет