Вектор Шеплі — принцип оптимальності розподілу виграшу між гравцями в задачах теорії кооперативних ігор. Являє собою розподіл, в якому виграш кожного гравця дорівнює його середньому вкладу в виграш великої коаліції при певному механізмі її формування.
Формальне означення Редагувати
Для кооперативної гри розглянемо деяке впорядкування множини всіх гравців . Позначимо через підмножину, яка містить перших гравців в даному впорядкуванні. Вкладом '-го гравця назвемо величину , де — характеристична функція кооперативної гри.
Вектором Шеплі кооперативної гри називається такий розподіл виграшу, що кожний гравець отримує математичне сподівання свого вкладу в відповідні коаліції Ki, при рівноймовірному винекненні впорядкувань :
де — кількість гравців, — множина впорядкувань множити гравців — розподіл виграшу в якому гравець, що стоїть на місці у впорядкуванні , отримує свій вклад в коаліцію (точка Вебера).
Більш розповсюджена формула для обчислення вектора Шеплі, яка не потребує знаходження точок Вебера, має вигляд:
де — кількість гравців, — кількість учасників коаліції .
Аксіоматика вектора Шеплі Редагувати
Вектор Шеплі задовольняє наступним властивостям:
1. Лінійність. Відображення є лінійним оператором, тобто для будь-яких двох ігор з характеристичними функціями і :
і для будь-якої гри з характеристичною функцією і для будь-якого :
2. Симетричність. Виграш, який отримує гравець не залежить від його номера. Це означає, що якщо гра отримана з гри перестановкою гравців, то її вектор Шеплі є вектор з відповідним чином переставленими елементами.
3. Аксіома бовдура. В теорії кооперативних ігор бовдуром називається гравець, який не вносить вклад ні в одну з коаліцій, тобто гравець такий, що для будь-якої коаліції , яка містить виконується: .
Аксіома бовдура полягає в тому, що якщо гравець — бовдур, то .
4. Ефективність. Вектор Шеплі дозволяє повністю розділити виграш великої коаліції, тобто сума компонент вектора рівна .
Теорема Шеплі. Для будь-якої коопертивної гри існує єдиний розподіл виграшу, який задовольняє аксіомам 1 — 4.
Див. також Редагувати
Література Редагувати
- Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория игр — СПб: БХВ-Петербург, 2012, 432 с.
- Воробьев Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков — М.: Наука, 1985
- Печерский С. Л., Яновская Е. Б. Кооперативные игры: решения и аксиомы — Изд-во Европейского ун-та в С.-Петербурге, 2004, 459 с.