Бет (літера)

Єврейський алфавіт читається справа наліво
Алеф א	Бет ב	Гімель ג	Далет ד
Хей ה	Вав ו	Заїн ז	Хет ח	Тет ט	Йод י
Каф כך	Ламед ל	Мем מם	Нун נן	Самех ס	Аїн ע
Пе פף	Цаді צץ	Куф ק	Реш ר	Шин ש	Тав ת

Бет, івр. בֵּי"ת‎ — друга літера гебрайської абетки. Пишеться ב. Має числове значення (гематрію) 2.

ב ב

Бет в теорії множин

В теорії множин символ (читається «бет один») позначає потужність множини, яка рівна . Відповідно, існують символи , и так далі. Більш докладно — статті про потужність множин.

Зв'язок з алеф номером

Припускаючи, що аксіома вибору нескінченної потужності лінійно впорядкована, то немає двох потужностей які не можуть бути порівняні. Таким чином, оскільки, за визначенням, не є нескінченними потужності між і випливає, що Повторюючи це міркування (див. трансфінітних індукції) отримуємо: для всіх ординалів . Континуум-гіпотеза еквівалентна

Узагальнення континуум-гіпотези стверджує, що послідовність чисел Бет визначена так само, як послідовність Алеф номерів, тобто для всіх порядкових чисел .

Визначення

Для визначення числа Бет, припустимо

є потужність будь-якої зліченної нескінченної множини (для прикладу візьмемо множину з натуральних чисел). Позначимо P(A) булеан або множину всіх підмножин множини A. Тоді визначимо

яка є потужністю булеану А, якщо є потужністю А. Маючи це означення

є відповідно потужностями

Тоді друге число Бет дорівнює , потужності континууму, і третє число бет  — потужність булеану континууму.

Тоді за Теоремою Кантора кожен набір в попередній послідовності має потужність строго більше, ніж попередній. Для нескінченних порядкових чисел λ відповідне число Бет визначається як верхня межа чисел Бет для всіх порядкових чисел строго менших за λ:

Окремі кардинальні числа

Бет-нуль

Так як за означенням це є або алеф нуль, тоді множини з потужністю включають:

• натуральні числа N
• раціональні числа Q
• алгебраїчні числа
• множину скінченних множин цілих чисел

Бет один

Множини з потужностями включають в себе:

• трансцендентні числа
• ірраціональні числа
• дійсні числа R
• комплексні числа C
• евклідовий простір Rⁿ
• множину всіх підмножин множини натуральних чисел
• множину послідовностей цілих чисел (тобто всі функції N → Z, часто позначаються Z^N)
• множину послідовностей дійсних чисел, R^N
• множину всіх неперервних функцій з R на R
• множину скінченних підмножин дійсних чисел

Бет два

також називають 2^c. Множини з потужністю включають в себе:

• множину всіх функцій з R на R (R^R)
• множина всіх функцій з R^m на Rⁿ