www.wikidata.uk-ua.nina.az

Формула Бернуллі У теорії ймовірності формула Бернуллі дозволяє обчислити ймовірність успіхів у серії незалежних експери

Формула Бернуллі

У теорії ймовірності, формула Бернуллі дозволяє обчислити ймовірність успіхів у серії незалежних експериментів.

Якщо ймовірність настання події в кожному з випробувань стала, то ймовірність того, що подія настане разів в незалежних випробуваннях дорівнює

або

Умови використання Редагувати

Якщо відбувається декілька випробувань, причому ймовірність події А в кожному з випробувань не залежить від результатів інших випробувань, то такі випробування називають незалежними відносно події А.

В різних незалежних випробуваннях подія А може мати або різні ймовірності, або одну й ту ж саму ймовірність. Будемо розглядати тільки варіант зі сталою ймовірністю.

Нехай відбувається n незалежних випробувань, в кожному з яких подія А може з'явитися або не з'явитися. Домовимося вважати, що ймовірність події А в кожному з випробувань стала, а саме дорівнює p. Тоді, ймовірність ненастання події А в кожному з випробувань також стала і дорівнює q = 1 - p.

Поставимо собі задачу обчислити ймовірність того, що при n випробуваннях подія А відбудеться рівно k разів і, відповідно, не відбудеться n - k разів. Важливо підкреслити, що не вимагається, щоб подія А повторилась рівно k разів в певній послідовності.

Поставлену задачу можна вирішити за допомогою формули Бернуллі.

Виведення формули Бернуллі Редагувати

Імовірність однієї складної події, яка полягає в тому, що в n випробуваннях подія А настане рівно k разів і не настане n - k разів, за теоремою множення незалежних подій дорівнює . Таких складних подій може бути стільки, скільки можливо скласти комбінацій з n елементів по k елементам, тобто . Так як ці складні події несумісні, то за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій шукана ймовірність дорівнює сумі ймовірностей всіх можливих складних подій. Так як імовірності всіх цих складних подій однакові, то шукана ймовірність (поява k разів події А в n випробуваннях) дорівнює ймовірності однієї складної події, помноженої на їх кількість:

Приклад задач Редагувати

Задача 1 Редагувати

Прилад складається з 10 компонент. Надійність (імовірність безвідмовної роботи протягом часу t) для кожної з компонент дорівнює p. Компоненти виходять з ладу незалежно одна від одної. Знайти ймовірність того, що за час t:

  • а) відмовить рівно одна компонента
  • б) відмовлять рівно дві компоненти

Відповіді:

  • а)
  • б)

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U teoriyi jmovirnosti formula Bernulli dozvolyaye obchisliti jmovirnist uspihiv u seriyi nezalezhnih eksperimentiv Yaksho jmovirnist P displaystyle P nastannya podiyi A displaystyle A v kozhnomu z viprobuvan stala to jmovirnist P n k displaystyle P n k togo sho podiya A displaystyle A nastane k displaystyle k raziv v n displaystyle n nezalezhnih viprobuvannyah dorivnyuyeP n k C n k p k q n k displaystyle P n k C n k p k q n k abo P n k n k n k p k q n k displaystyle P n k tfrac n k n k p k q n k Zmist 1 Umovi vikoristannya 2 Vivedennya formuli Bernulli 3 Priklad zadach 3 1 Zadacha 1 4 Div takozh 5 DzherelaUmovi vikoristannya RedaguvatiYaksho vidbuvayetsya dekilka viprobuvan prichomu jmovirnist podiyi A v kozhnomu z viprobuvan ne zalezhit vid rezultativ inshih viprobuvan to taki viprobuvannya nazivayut nezalezhnimi vidnosno podiyi A V riznih nezalezhnih viprobuvannyah podiya A mozhe mati abo rizni jmovirnosti abo odnu j tu zh samu jmovirnist Budemo rozglyadati tilki variant zi staloyu jmovirnistyu Nehaj vidbuvayetsya n nezalezhnih viprobuvan v kozhnomu z yakih podiya A mozhe z yavitisya abo ne z yavitisya Domovimosya vvazhati sho jmovirnist podiyi A v kozhnomu z viprobuvan stala a same dorivnyuye p Todi jmovirnist nenastannya podiyi A v kozhnomu z viprobuvan takozh stala i dorivnyuye q 1 p Postavimo sobi zadachu obchisliti jmovirnist togo sho pri n viprobuvannyah podiya A vidbudetsya rivno k raziv i vidpovidno ne vidbudetsya n k raziv Vazhlivo pidkresliti sho ne vimagayetsya shob podiya A povtorilas rivno k raziv v pevnij poslidovnosti Postavlenu zadachu mozhna virishiti za dopomogoyu formuli Bernulli Vivedennya formuli Bernulli RedaguvatiImovirnist odniyeyi skladnoyi podiyi yaka polyagaye v tomu sho v n viprobuvannyah podiya A nastane rivno k raziv i ne nastane n k raziv za teoremoyu mnozhennya nezalezhnih podij dorivnyuye p k q n k displaystyle p k q n k nbsp Takih skladnih podij mozhe buti stilki skilki mozhlivo sklasti kombinacij z n elementiv po k elementam tobto C n k displaystyle C n k nbsp Tak yak ci skladni podiyi nesumisni to za teoremoyu dodavannya jmovirnostej nesumisnih podij shukana jmovirnist dorivnyuye sumi jmovirnostej vsih mozhlivih skladnih podij Tak yak imovirnosti vsih cih skladnih podij odnakovi to shukana jmovirnist poyava k raziv podiyi A v n viprobuvannyah dorivnyuye jmovirnosti odniyeyi skladnoyi podiyi pomnozhenoyi na yih kilkist P n k C n k p k q n k displaystyle P n k C n k p k q n k nbsp Priklad zadach RedaguvatiZadacha 1 Redaguvati Prilad skladayetsya z 10 komponent Nadijnist imovirnist bezvidmovnoyi roboti protyagom chasu t dlya kozhnoyi z komponent dorivnyuye p Komponenti vihodyat z ladu nezalezhno odna vid odnoyi Znajti jmovirnist togo sho za chas t a vidmovit rivno odna komponenta b vidmovlyat rivno dvi komponentiVidpovidi a P 10 1 C 10 1 p q 9 10 p q 9 displaystyle P 10 1 C 10 1 pq 9 10pq 9 nbsp b P 10 2 C 10 2 p 2 q 8 45 p 2 q 8 displaystyle P 10 2 C 10 2 p 2 q 8 45p 2 q 8 nbsp Div takozh RedaguvatiYakob Bernulli Imovirnist Lokalna teorema Laplasa dlya obchislennya jmovirnostej z velikimi n ta kDzherela RedaguvatiKartashov M V Imovirnist procesi statistika Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2007 504 s Gnedenko B V Kurs teorii veroyatnostej 6 e izd Moskva Nauka 1988 446 s ros Gihman I I Skorohod A V Yadrenko M V Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Kiyiv Visha shkola 1988 436 s ros V E Gmurman Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Izdanie chetvertoe dopolnennoe M 1972 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Formula Bernulli amp oldid 36824925