www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорія можливостей математична теорія яка має справу з певними видами невизначеності і є альтернативою теорії ймовірност

Теорія можливостей

Теорія можливостей - математична теорія, яка має справу з певними видами невизначеності і є альтернативою теорії ймовірностей. Професор Лотфі Заде вперше запропонував теорію в 1978 як розширення його теорії нечітких множин та нечіткої логіки. Пізніше до розвитку теорії доклались Дідьє Дубої та Г. Праде. Раніше в 50-х, економіст Дж. Л. С. Шакле запропонував для опису ступенів потенційного здивування алгебру min/max.

Формалізація можливості Редагувати

Для простоти, припустимо, що універсум Ω - скінченна множина і всі підмножини вимірні. Розподіл можливості - це функція така, що:

Як і в ймовірності, міра можливості на скінченній множині визначається її поведінкою на сінґлетонах:

для скінченного чи зліченного U.

Аксіому 1 можна інтерпретувати, як припущення, що Ω є вичерпним описом майбутніх станів світу, бо означає що елементам поза Ω не присвоєна вага довіри.

Аксіома 2 може інтерпретуватись, як припущення, що доказ, за яким сконструювали , вільний від суперечності. Технічно, він передбачає, що є хоча б один елемент в Ω з можливістю 1.

Аксіома 3 відповідає аксіомам аддитивності з теорії ймовірностей. Тим не менш, є важлива практична відмінність. Теорія можливостей обчислювально зручніша бо з аксіом 1—3 виходить, що:

Тому що можна визначити можливість об'єднання знаючи можливості кожної компоненти, можна сказати, що можливість композиційна по відношенню до оператора об'єднання. Тим не менш, вона не композиційна по відношенню до оператора перетину. Загалом:

Зауваження для математиків:

Коли Ω не скінченне Аксіома 3 може бути замінена на:

Необхідність Редагувати

Коли теорія ймовірностей використовує для опису вірогідності трапляння події лише ймовірність, теорія можливостей використовує два поняття, можливість та необхідність події. Для кожної множини , міра необхідності означується так:

Де, позначає доповнення до , (елементи ,що не належать ). Легко показати, що:

і що:

Зауважте, що на відміну від теорії ймовірностей, можливість не самодвоїста. Тобто, для кожної події , ми маємо тільки нерівність:

Тим не менш зберігається таке правило двоїстості:

Таким чином певне переконання про подію можна представити двома числами.

Інтерпретація Редагувати

Є чотири випадки, які можна інтерпретувати так:

означає що - необхідна. обов'язково відбудеться. З цього випливає що .

означає що - неможлива. ніколи не відбудеться. З цього випливає що .

означає що - можлива. може відбутись. може приймати довільні значення.

означає що необов'язкова. може не відбутись. необмеженою.

Перетин останніх двох випадків - та означає що ми не знаємо нічого про . Через те що теорія можливостей дозволяє описувати подібні невизначеності, теорія можливостей має більше відношення до градацій багатозначної логіки, таких як інтуїціоністська логіка, ніж класична двозначна логіка.

Зауважте, що на відміну від ймовірності, нечітка логіка композиційна по відношенню як до об'єднання так і до перетину. Зв'язок з теорією нечітких множин можна пояснити таким класичним прикладом:

  • Нечітка логіка: Коли пляшка наполовину повна, можна сказати, що рівень правдивості твердження "Пляшка повна" 0.5. Слово "повна" - нечіткий предикат, що описує кількість рідини в пляшці.
  • Теорія ймовірностей: Існує пляшка, або повна, або зовсім порожня. Твердження "ймовірність що пляшка повна - 0.5" описує рівень довіри. Одним зі способів інтерпритувати це твердження: "Я готовий поставити на те що вона порожня, однаково як і на те що вона повна".


Теорія можливостей як неточна теорія ймовірностей Редагувати

Існує широка формальна відповідність між теоріями можливостей та ймовірностей, де оператор додавання відповідає оператору максимуму.

Міру можливості можна розглядати як співзвучну мірі правдоподібності в теорії доведень Демпстера-Шафера. Оператори теорії можливостей можуть розглядатись як надзвичайно обережні оператори моделі переносимої довіри - сучасного варіанту теорії доказів.

Можливість можна розглядати як верхню ймовірність: будь-який розподіл можливості визначає множину допустимих розподілів ймовірності

Це дозволяє вивчати теорію можливостей використовуючи інструменти неточної ймовірності.

Логіка необхідності Редагувати

Називатимемо узагальненою можливістю будь-яку функцію що задовольняє аксіомам 1 та 3. Називатимемо узагальненою необхідністю двоїсту до узагальненої можливості. Узагальнені необхідності пов'язані з простою та цікавою нечіткою логікою, яку будемо називати логіка необхідності. У детуктивному апараті логіки необхідності логічні аксіоми є звичайними класичними тавтологіями.

Дивись також Редагувати

Посилання Редагувати

  • Dubois, Didier and Prade, Henri, "Possibility Theory, Probability Theory and Multiple-valued Logics: A Clarification", Annals of Mathematics and Artificial Intelligence 32:35-66, 2001.
  • Gerla Giangiacomo, Fuzzy logic: Mathematical Tools for Approximate Reasoning, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 2001.
  • Zadeh, Lotfi, "Fuzzy Sets as the Basis for a Theory of Possibility", Fuzzy Sets and Systems 1:3-28, 1978. (Reprinted in Fuzzy Sets and Systems 100 (Supplement): 9-34, 1999.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Teoriya mozhlivostej matematichna teoriya yaka maye spravu z pevnimi vidami neviznachenosti i ye alternativoyu teoriyi jmovirnostej Profesor Lotfi Zade vpershe zaproponuvav teoriyu v 1978 yak rozshirennya jogo teoriyi nechitkih mnozhin ta nechitkoyi logiki Piznishe do rozvitku teoriyi doklalis Didye Duboyi ta G Prade Ranishe v 50 h ekonomist Dzh L S Shakle zaproponuvav dlya opisu stupeniv potencijnogo zdivuvannya algebru min max Zmist 1 Formalizaciya mozhlivosti 2 Neobhidnist 3 Interpretaciya 4 Teoriya mozhlivostej yak netochna teoriya jmovirnostej 5 Logika neobhidnosti 6 Divis takozh 7 PosilannyaFormalizaciya mozhlivosti RedaguvatiDlya prostoti pripustimo sho universum W skinchenna mnozhina i vsi pidmnozhini vimirni Rozpodil mozhlivosti ce funkciya pos W 0 1 displaystyle operatorname pos Omega to 0 1 nbsp taka sho Aksioma 1 pos 0 displaystyle operatorname pos varnothing 0 nbsp Aksioma 2 pos W 1 displaystyle operatorname pos Omega 1 nbsp Aksioma 3 pos U V max pos U pos V displaystyle operatorname pos U cup V max left operatorname pos U operatorname pos V right nbsp dlya bud yakih neperetinnih mnozhin U displaystyle U nbsp ta V displaystyle V nbsp Yak i v jmovirnosti mira mozhlivosti na skinchennij mnozhini viznachayetsya yiyi povedinkoyu na singletonah pos U max w U pos w displaystyle operatorname pos U max omega in U operatorname pos omega nbsp dlya skinchennogo chi zlichennogo U Aksiomu 1 mozhna interpretuvati yak pripushennya sho W ye vicherpnim opisom majbutnih staniv svitu bo oznachaye sho elementam poza W ne prisvoyena vaga doviri Aksioma 2 mozhe interpretuvatis yak pripushennya sho dokaz za yakim skonstruyuvali pos displaystyle operatorname pos nbsp vilnij vid superechnosti Tehnichno vin peredbachaye sho ye hocha b odin element v W z mozhlivistyu 1 Aksioma 3 vidpovidaye aksiomam additivnosti z teoriyi jmovirnostej Tim ne mensh ye vazhliva praktichna vidminnist Teoriya mozhlivostej obchislyuvalno zruchnisha bo z aksiom 1 3 vihodit sho pos U V max pos U pos V displaystyle operatorname pos U cup V max left operatorname pos U operatorname pos V right nbsp dlya bud yakih pidmnozhin U displaystyle U nbsp ta V displaystyle V nbsp Tomu sho mozhna viznachiti mozhlivist ob yednannya znayuchi mozhlivosti kozhnoyi komponenti mozhna skazati sho mozhlivist kompozicijna po vidnoshennyu do operatora ob yednannya Tim ne mensh vona ne kompozicijna po vidnoshennyu do operatora peretinu Zagalom pos U V min pos U pos V displaystyle operatorname pos U cap V leq min left operatorname pos U operatorname pos V right nbsp Zauvazhennya dlya matematikiv Koli W ne skinchenne Aksioma 3 mozhe buti zaminena na Dlya vsih indeksnih mnozhin I displaystyle I nbsp yaksho pidmnozhini U i i I displaystyle U i i in I nbsp ye poparno neperetinni pos i I U i sup i I pos U i displaystyle operatorname pos left cup i in I U i right sup i in I operatorname pos U i nbsp Neobhidnist RedaguvatiKoli teoriya jmovirnostej vikoristovuye dlya opisu virogidnosti traplyannya podiyi lishe jmovirnist teoriya mozhlivostej vikoristovuye dva ponyattya mozhlivist ta neobhidnist podiyi Dlya kozhnoyi mnozhini U displaystyle U nbsp mira neobhidnosti oznachuyetsya tak nec U 1 pos U displaystyle operatorname nec U 1 operatorname pos overline U nbsp De U displaystyle overline U nbsp poznachaye dopovnennya do U displaystyle U nbsp elementi W displaystyle Omega nbsp sho ne nalezhat U displaystyle U nbsp Legko pokazati sho nec U pos U displaystyle operatorname nec U leq operatorname pos U nbsp dlya bud yakogo U displaystyle U nbsp i sho nec U V min nec U nec V displaystyle operatorname nec U cap V min operatorname nec U operatorname nec V nbsp Zauvazhte sho na vidminu vid teoriyi jmovirnostej mozhlivist ne samodvoyista Tobto dlya kozhnoyi podiyi U displaystyle U nbsp mi mayemo tilki nerivnist pos U pos U 1 displaystyle operatorname pos U operatorname pos overline U geq 1 nbsp Tim ne mensh zberigayetsya take pravilo dvoyistosti Dlya kozhnoyi podiyi U displaystyle U nbsp pos U 1 displaystyle operatorname pos U 1 nbsp abo nec U 0 displaystyle operatorname nec U 0 nbsp Takim chinom pevne perekonannya pro podiyu mozhna predstaviti dvoma chislami Interpretaciya RedaguvatiYe chotiri vipadki yaki mozhna interpretuvati tak nec U 1 displaystyle operatorname nec U 1 nbsp oznachaye sho U displaystyle U nbsp neobhidna U displaystyle U nbsp obov yazkovo vidbudetsya Z cogo viplivaye sho pos U 1 displaystyle operatorname pos U 1 nbsp pos U 0 displaystyle operatorname pos U 0 nbsp oznachaye sho U displaystyle U nbsp nemozhliva U displaystyle U nbsp nikoli ne vidbudetsya Z cogo viplivaye sho nec U 0 displaystyle operatorname nec U 0 nbsp pos U 1 displaystyle operatorname pos U 1 nbsp oznachaye sho U displaystyle U nbsp mozhliva U displaystyle U nbsp mozhe vidbutis nec U displaystyle operatorname nec U nbsp mozhe prijmati dovilni znachennya nec U 0 displaystyle operatorname nec U 0 nbsp oznachaye sho U displaystyle U nbsp neobov yazkova U displaystyle U nbsp mozhe ne vidbutis pos U displaystyle operatorname pos U nbsp neobmezhenoyu Peretin ostannih dvoh vipadkiv nec U 0 displaystyle operatorname nec U 0 nbsp ta pos U 1 displaystyle operatorname pos U 1 nbsp oznachaye sho mi ne znayemo nichogo pro U displaystyle U nbsp Cherez te sho teoriya mozhlivostej dozvolyaye opisuvati podibni neviznachenosti teoriya mozhlivostej maye bilshe vidnoshennya do gradacij bagatoznachnoyi logiki takih yak intuyicionistska logika nizh klasichna dvoznachna logika Zauvazhte sho na vidminu vid jmovirnosti nechitka logika kompozicijna po vidnoshennyu yak do ob yednannya tak i do peretinu Zv yazok z teoriyeyu nechitkih mnozhin mozhna poyasniti takim klasichnim prikladom Nechitka logika Koli plyashka napolovinu povna mozhna skazati sho riven pravdivosti tverdzhennya Plyashka povna 0 5 Slovo povna nechitkij predikat sho opisuye kilkist ridini v plyashci Teoriya jmovirnostej Isnuye plyashka abo povna abo zovsim porozhnya Tverdzhennya jmovirnist sho plyashka povna 0 5 opisuye riven doviri Odnim zi sposobiv interprituvati ce tverdzhennya Ya gotovij postaviti na te sho vona porozhnya odnakovo yak i na te sho vona povna Teoriya mozhlivostej yak netochna teoriya jmovirnostej RedaguvatiIsnuye shiroka formalna vidpovidnist mizh teoriyami mozhlivostej ta jmovirnostej de operator dodavannya vidpovidaye operatoru maksimumu Miru mozhlivosti mozhna rozglyadati yak spivzvuchnu miri pravdopodibnosti v teoriyi doveden Dempstera Shafera Operatori teoriyi mozhlivostej mozhut rozglyadatis yak nadzvichajno oberezhni operatori modeli perenosimoyi doviri suchasnogo variantu teoriyi dokaziv Mozhlivist mozhna rozglyadati yak verhnyu jmovirnist bud yakij rozpodil mozhlivosti viznachaye mnozhinu dopustimih rozpodiliv jmovirnosti p S p S pos S displaystyle left p forall S p S leq operatorname pos S right nbsp dd Ce dozvolyaye vivchati teoriyu mozhlivostej vikoristovuyuchi instrumenti netochnoyi jmovirnosti Logika neobhidnosti RedaguvatiNazivatimemo uzagalnenoyu mozhlivistyu bud yaku funkciyu sho zadovolnyaye aksiomam 1 ta 3 Nazivatimemo uzagalnenoyu neobhidnistyu dvoyistu do uzagalnenoyi mozhlivosti Uzagalneni neobhidnosti pov yazani z prostoyu ta cikavoyu nechitkoyu logikoyu yaku budemo nazivati logika neobhidnosti U detuktivnomu aparati logiki neobhidnosti logichni aksiomi ye zvichajnimi klasichnimi tavtologiyami Divis takozh RedaguvatiTeoriya jmovirnostejPosilannya RedaguvatiDubois Didier and Prade Henri Possibility Theory Probability Theory and Multiple valued Logics A Clarification Annals of Mathematics and Artificial Intelligence 32 35 66 2001 Gerla Giangiacomo Fuzzy logic Mathematical Tools for Approximate Reasoning Kluwer Academic Publishers Dordrecht 2001 Zadeh Lotfi Fuzzy Sets as the Basis for a Theory of Possibility Fuzzy Sets and Systems 1 3 28 1978 Reprinted in Fuzzy Sets and Systems 100 Supplement 9 34 1999 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teoriya mozhlivostej amp oldid 37033809