www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорема Лагранжа теорія чисел У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна Теорема Лагранжа значення У теорії чи

Теорема Лагранжа (теорія чисел)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Теорема Лагранжа (значення).

У теорії чисел, теорема Лагранжа — це твердження про те, як часто многочлен над цілими числами може набувати значень кратних до фіксованого простого числа. Точніше, вона стверджує, що якщо p є простим числом і це многочлен з цілими коефіцієнтами, тоді або:

  • кожний коефіцієнт f(x) ділиться на p, або
  • має щонайбільше deg f(x) неконгруентних розв'язків.

Розв'язки «неконгруентні», якщо вони відрізняються не на число кратне p. Якщо модуль не простий, тоді можливо мати більше ніж deg f(x) розв'язків.

Доведення Редагувати

Дві ключові ідеї такі. Нехай буде многочленом отриманим з через ділення коефіцієнтів . Тепер (i) ділиться на тоді і тільки тоді, коли ; (ii) має коренів не більше ніж його степінь.

Більш строго, почнемо з зауваження, що тоді і тільки тоді, коли кожний коефіцієнт ділиться на . Припустимо, що не 0; отже, його степінь чітко визначена. Легко побачити, що . Для доведення (i), спершу зауважимо, що ми можемо обчислити або прямо, тобто підставляючи (клас лишків) і виконуючи арифметику в , або через обчислення . Звідси тоді і тільки тоді, коли , тобто, тоді і тільки тоді, коли ділиться на . Щоб довести (ii), зауважимо, що є полем. Іншим фактом є те, що ненульовий многочлен над полем має коренів не більше ніж його степінь.

Насамкінець, зауважимо, що два розв'язки є неконгруентними тоді і тільки тоді, коли . Складаючи це все до купи: з (i) кількість неконгруентних розв'язків дорівнює кількості коренів , яке по (ii) є не більша ніж , яка, в свою чергу, не більша ніж .

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Teorema Lagranzha znachennya U teoriyi chisel teorema Lagranzha ce tverdzhennya pro te yak chasto mnogochlen nad cilimi chislami mozhe nabuvati znachen kratnih do fiksovanogo prostogo chisla Tochnishe vona stverdzhuye sho yaksho p ye prostim chislom i f x Z x displaystyle textstyle f x in mathbb Z x ce mnogochlen z cilimi koeficiyentami todi abo kozhnij koeficiyent f x dilitsya na p abo f x p 0 displaystyle f x equiv p 0 maye shonajbilshe deg f x nekongruentnih rozv yazkiv Rozv yazki nekongruentni yaksho voni vidriznyayutsya ne na chislo kratne p Yaksho modul ne prostij todi mozhlivo mati bilshe nizh deg f x rozv yazkiv Dovedennya RedaguvatiDvi klyuchovi ideyi taki Nehaj g x Z p Z x displaystyle textstyle g x in mathbb Z p mathbb Z x nbsp bude mnogochlenom otrimanim z f x displaystyle f x nbsp cherez dilennya koeficiyentiv mod p displaystyle mod p nbsp Teper i f k displaystyle f k nbsp dilitsya na p displaystyle p nbsp todi i tilki todi koli g k 0 displaystyle g k 0 nbsp ii g k displaystyle g k nbsp maye koreniv ne bilshe nizh jogo stepin Bilsh strogo pochnemo z zauvazhennya sho g x 0 displaystyle g x 0 nbsp todi i tilki todi koli kozhnij koeficiyent f x displaystyle f x nbsp dilitsya na p displaystyle p nbsp Pripustimo sho g x displaystyle g x nbsp ne 0 otzhe jogo stepin chitko viznachena Legko pobachiti sho deg g x deg f x displaystyle textstyle deg g x leq deg f x nbsp Dlya dovedennya i spershu zauvazhimo sho mi mozhemo obchisliti g k displaystyle g k nbsp abo pryamo tobto pidstavlyayuchi klas lishkiv k displaystyle k nbsp i vikonuyuchi arifmetiku v Z p Z displaystyle textstyle mathbb Z p mathbb Z nbsp abo cherez obchislennya f k mod p displaystyle f k mod p nbsp Zvidsi g k 0 displaystyle g k 0 nbsp todi i tilki todi koli f k p 0 displaystyle f k equiv p 0 nbsp tobto todi i tilki todi koli f k displaystyle f k nbsp dilitsya na p displaystyle p nbsp Shob dovesti ii zauvazhimo sho Z p Z displaystyle textstyle mathbb Z p mathbb Z nbsp ye polem Inshim faktom ye te sho nenulovij mnogochlen nad polem maye koreniv ne bilshe nizh jogo stepin Nasamkinec zauvazhimo sho dva rozv yazki f k 1 f k 2 p 0 displaystyle textstyle f k 1 f k 2 equiv p 0 nbsp ye nekongruentnimi todi i tilki todi koli k 1 p k 2 displaystyle textstyle k 1 not equiv p k 2 nbsp Skladayuchi ce vse do kupi z i kilkist nekongruentnih rozv yazkiv dorivnyuye kilkosti koreniv g x displaystyle g x nbsp yake po ii ye ne bilsha nizh deg g x displaystyle deg g x nbsp yaka v svoyu chergu ne bilsha nizh deg f x displaystyle deg f x nbsp Posilannya RedaguvatiLeVeque William J 2002 1956 Topics in Number Theory Volumes I and II New York Dover Publications s 42 ISBN 978 0 486 42539 9 Zbl 1009 11001 Tattersall James J 2005 Elementary Number Theory in Nine Chapters vid 2nd Cambridge University Press s 198 ISBN 0 521 85014 2 Zbl 1071 11002 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teorema Lagranzha teoriya chisel amp oldid 35035428