www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорема Бруна твердження що сума чисел обернених до чисел близнюків пар простих чисел які відрізняються лише на 2 збігає

Теорема Бруна

Теорема Бруна — твердження, що сума чисел, обернених до чисел-близнюків (пар простих чисел, які відрізняються лише на 2) збігається до скінченного значення, відомого як стала Бруна, яку позначають як B2 (послідовність A065421 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS). Теорему 1919 року довів Віґґо Брун, і вона має історичне значення для методів решета[en].

Збіжність до константи Бруна.

Асимптотичні границі чисел-близнюків Редагувати

Збіжність суми чисел, обернених до чисел-близнюків, випливає з обмеженості щільності послідовності чисел-близнюків. Нехай означає число простих чисел, для яких p + 2 теж є простим (тобто, є числом чисел-близнюків, що не перевершують x). Тоді для маємо

Тобто числа-близнюки рідкісніші в порівнянні з простими числами майже на логарифмічний множник. З цього обмеження випливає, що сума чисел, обернених до чисел-близнюків, збіжна, або, іншими словами, числа-близнюки утворюють малу множину[en]. Сума в явному вигляді

або має скінченне число членів, або має нескінченне число членів, але збігається до значення, відомого як стала Бруна.

Із факту, що сума значень, обернених до простих чисел, розбіжна, випливає, що існує нескінченно багато простих чисел. Оскільки сума значень, обернених до чисел-близнюків, збіжна, з цього результату неможливо зробити висновок, що існує нескінченно багато чисел-близнюків. Стала Бруна ірраціональна тільки в разі нескінченного числа чисел-близнюків.

Числові оцінки Редагувати

При обчисленні чисел-близнюків аж до 1014 (і виявленні при цьому помилки Pentium FDIV), Томас Р. Найслі евристично оцінив сталу Бруна приблизно рівною 1,902160578. На 18 січня 2010 Найслі розширив обчислення до 1,6× 1015, але це не було найбільше обчислення цього типу.

2002 року Паскаль Себа і Патрік Демішель використали всі числа-двійники аж до 1016 і отримали оцінку

Оцінка спирається на оцінку суми 1,830484424658… для чисел-близнюків, менших від 1016. Домінік Клайв показав (у неопублікованих тезах), що B2 < 2.1754 у припущенні, що істинна розширена гіпотеза Рімана.

Існує також стала Бруна для квадруплетів близнюків. Квадруплет простих чисел[en] — це дві пари чисел-близнюків, відстань між якими 4 (найменша можлива відстань). Кілька квадруплетів — (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Стала Бруна для квадруплетів, що позначається B4, дорівнює сумі чисел, обернених до чисел у всіх квадруплетах:

І ця сума дорівнює

Цю сталу не слід плутати зі сталою Бруна для споріднених простих чисел[en], пар простих чисел вигляду (p, p + 4), оскільки цю сталу теж позначають як B4.

Подальші результати Редагувати

Нехай (послідовність A005597 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) — стала простих-близнюків. Є гіпотеза, що

Зокрема,

для будь-якого і всіх досить великих x.

Багато особливих випадків, згаданих вище, доведено. Нещодавно Цзє У[en] (Jie Wu) довів, що для досить великого x,

де 4,5 відповідає випадку вище.

У популярній культурі Редагувати

Цифри сталої Бруна використано в заявці на $1 902 160 540 на патентному аукціоні Nortel. Заявка, яку опублікувала компанія Google, була однією з трьох заявок Google, заснованих на математичних сталих.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Nicely, Thomas R. (18 січня 2010). . Some Results of Computational Research in Prime Numbers (Computational Number Theory). Архів оригіналу за 8 грудня 2013. Процитовано 16 лютого 2010. 
  2. Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier. Introduction to twin primes and Brun’s constant computation. Процитовано 5 січня 2018. 
  3. Klyve, Dominic. Explicit bounds on twin primes and Brun's Constant. Процитовано 13 травня 2015. 
  4. Nicely, Thomas R. (26 серпня 2008). . Some Results of Computational Research in Prime Numbers (Computational Number Theory). Архів оригіналу за 30 грудня 2008. Процитовано 9 березня 2009. 
  5. Damouni, Nadia (1 липня 2011). . Reuters. Архів оригіналу за 3 липня 2011. Процитовано 6 липня 2011. 

Література Редагувати

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Teorema Bruna tverdzhennya sho suma chisel obernenih do chisel bliznyukiv par prostih chisel yaki vidriznyayutsya lishe na 2 zbigayetsya do skinchennogo znachennya vidomogo yak stala Bruna yaku poznachayut yak B2 poslidovnist A065421 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Teoremu 1919 roku doviv Viggo Brun i vona maye istorichne znachennya dlya metodiv resheta en Zbizhnist do konstanti Bruna Zmist 1 Asimptotichni granici chisel bliznyukiv 2 Chislovi ocinki 3 Podalshi rezultati 3 1 U populyarnij kulturi 4 Div takozh 5 Primitki 6 Literatura 7 PosilannyaAsimptotichni granici chisel bliznyukiv RedaguvatiZbizhnist sumi chisel obernenih do chisel bliznyukiv viplivaye z obmezhenosti shilnosti poslidovnosti chisel bliznyukiv Nehaj p 2 x displaystyle pi 2 x nbsp oznachaye chislo prostih p x displaystyle p leqslant x nbsp chisel dlya yakih p 2 tezh ye prostim tobto p 2 x displaystyle pi 2 x nbsp ye chislom chisel bliznyukiv sho ne perevershuyut x Todi dlya x 3 displaystyle x geqslant 3 nbsp mayemo p 2 x O x log log x 2 log x 2 displaystyle pi 2 x O left frac x log log x 2 log x 2 right nbsp Tobto chisla bliznyuki ridkisnishi v porivnyanni z prostimi chislami majzhe na logarifmichnij mnozhnik Z cogo obmezhennya viplivaye sho suma chisel obernenih do chisel bliznyukiv zbizhna abo inshimi slovami chisla bliznyuki utvoryuyut malu mnozhinu en Suma v yavnomu viglyadi p p 2 P 1 p 1 p 2 1 3 1 5 1 5 1 7 1 11 1 13 displaystyle sum limits p p 2 in mathbb P left frac 1 p frac 1 p 2 right left frac 1 3 frac 1 5 right left frac 1 5 frac 1 7 right left frac 1 11 frac 1 13 right cdots nbsp abo maye skinchenne chislo chleniv abo maye neskinchenne chislo chleniv ale zbigayetsya do znachennya vidomogo yak stala Bruna Iz faktu sho suma znachen obernenih do prostih chisel rozbizhna viplivaye sho isnuye neskinchenno bagato prostih chisel Oskilki suma znachen obernenih do chisel bliznyukiv zbizhna z cogo rezultatu nemozhlivo zrobiti visnovok sho isnuye neskinchenno bagato chisel bliznyukiv Stala Bruna irracionalna tilki v razi neskinchennogo chisla chisel bliznyukiv Chislovi ocinki RedaguvatiPri obchislenni chisel bliznyukiv azh do 1014 i viyavlenni pri comu pomilki Pentium FDIV Tomas R Najsli evristichno ociniv stalu Bruna priblizno rivnoyu 1 902160578 1 Na 18 sichnya 2010 Najsli rozshiriv obchislennya do 1 6 1015 ale ce ne bulo najbilshe obchislennya cogo tipu 2002 roku Paskal Seba i Patrik Demishel vikoristali vsi chisla dvijniki azh do 1016 i otrimali ocinku 2 B2 1 902160583104 Ocinka spirayetsya na ocinku sumi 1 830484424658 dlya chisel bliznyukiv menshih vid 1016 Dominik Klajv pokazav u neopublikovanih tezah sho B2 lt 2 1754 u pripushenni sho istinna rozshirena gipoteza Rimana 3 Isnuye takozh stala Bruna dlya kvadrupletiv bliznyukiv Kvadruplet prostih chisel en ce dvi pari chisel bliznyukiv vidstan mizh yakimi 4 najmensha mozhliva vidstan Kilka kvadrupletiv 5 7 11 13 11 13 17 19 101 103 107 109 Stala Bruna dlya kvadrupletiv sho poznachayetsya B4 dorivnyuye sumi chisel obernenih do chisel u vsih kvadrupletah B 4 1 5 1 7 1 11 1 13 1 11 1 13 1 17 1 19 1 101 1 103 1 107 1 109 displaystyle B 4 left frac 1 5 frac 1 7 frac 1 11 frac 1 13 right left frac 1 11 frac 1 13 frac 1 17 frac 1 19 right left frac 1 101 frac 1 103 frac 1 107 frac 1 109 right cdots nbsp I cya suma dorivnyuye B4 0 87058 83800 0 00000 00005 pohibka maye dovirchij riven 99 za Najsli 4 Cyu stalu ne slid plutati zi staloyu Bruna dlya sporidnenih prostih chisel en par prostih chisel viglyadu p p 4 oskilki cyu stalu tezh poznachayut yak B4 Podalshi rezultati RedaguvatiNehaj C 2 0 6601 displaystyle C 2 0 6601 ldots nbsp poslidovnist A005597 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS stala prostih bliznyukiv Ye gipoteza sho p 2 x 2 C 2 x log x 2 displaystyle pi 2 x sim 2C 2 frac x log x 2 nbsp Zokrema p 2 x lt 2 C 2 e x log x 2 displaystyle pi 2 x lt 2C 2 varepsilon frac x log x 2 nbsp dlya bud yakogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp i vsih dosit velikih x Bagato osoblivih vipadkiv zgadanih vishe dovedeno Neshodavno Czye U en Jie Wu doviv sho dlya dosit velikogo x p 2 x lt 4 5 x log x 2 displaystyle pi 2 x lt 4 5 frac x log x 2 nbsp de 4 5 vidpovidaye vipadku e 3 18 displaystyle varepsilon approx 3 18 nbsp vishe U populyarnij kulturi Redaguvati Cifri staloyi Bruna vikoristano v zayavci na 1 902 160 540 na patentnomu aukcioni Nortel Zayavka yaku opublikuvala kompaniya Google bula odniyeyu z troh zayavok Google zasnovanih na matematichnih stalih 5 Div takozh RedaguvatiRyad obernenih do prostih chisel Konstanta Majsselya MertensaPrimitki Redaguvati Nicely Thomas R 18 sichnya 2010 Enumeration to 1 6 10 15 of the twin primes and Brun s constant Some Results of Computational Research in Prime Numbers Computational Number Theory Arhiv originalu za 8 grudnya 2013 Procitovano 16 lyutogo 2010 Sebah Pascal Gourdon Xavier Introduction to twin primes and Brun s constant computation Procitovano 5 sichnya 2018 Klyve Dominic Explicit bounds on twin primes and Brun s Constant Procitovano 13 travnya 2015 Nicely Thomas R 26 serpnya 2008 Enumeration to 1 6 1015 of the prime quadruplets Some Results of Computational Research in Prime Numbers Computational Number Theory Arhiv originalu za 30 grudnya 2008 Procitovano 9 bereznya 2009 Damouni Nadia 1 lipnya 2011 Dealtalk Google bid pi for Nortel patents and lost Reuters Arhiv originalu za 3 lipnya 2011 Procitovano 6 lipnya 2011 Literatura RedaguvatiViggo Brun Uber das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare Archiv for Mathematik og Naturvidenskab 1915 T B34 vip 8 Viggo Brun La serie 1 5 1 7 1 11 1 13 1 17 1 19 1 29 1 31 1 41 1 43 1 59 1 61 ou les denominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie Bulletin des Sciences Mathematiques 1919 T 43 S 100 104 124 128 Alina Carmen Cojocaru M Ram Murty An introduction to sieve methods and their applications Cambridge University Press 2005 T 66 S 73 74 London Mathematical Society Student Texts ISBN 0 521 61275 6 Elementare Zahlentheorie Leipzig Germany Hirzel 1927 Perepechatano v Providence RI Amer Math Soc 1990 William J LeVeque Fundamentals of Number Theory New York City Dover Publishing 1996 S 1 288 ISBN 0 486 68906 9 Soderzhit bolee sovremennoe dokazatelstvo Wu J Chen s double sieve Goldbach s conjecture and the twin prime problem Acta Arithmetica 2004 T 114 vip 3 S 215 273 arXiv 0705 1652 DOI 10 4064 aa114 3 2 V I Zenkin Raspredelenie prostyh chisel Elementarnye metody Kaliningrad 2008 Posilannya RedaguvatiWeisstein Eric W Stala Bruna angl na sajti Wolfram MathWorld Weisstein Eric W Teorema Bruna angl na sajti Wolfram MathWorld Stala Bruna na PlanetMath angl Sebah Pascal and Xavier Gourdon Introduction to twin primes and Brun s constant computation 2002 suchasnij dokladnij viklad Stattya Volfa pro sumi tipu Bruna Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teorema Bruna amp oldid 35958567