www.wikidata.uk-ua.nina.az

Оператори народження та знищення Опера тори наро дження та зни щення пара взаємно спряжених квантовомеханічних операторі

Оператори народження та знищення

Опера́тори наро́дження та зни́щення — пара взаємно спряжених квантовомеханічних операторів, зручних для запису гамільтоніанів квантовомеханічної системи у представленні вторинного квантування.

Оператори народження й знищення визначаються з певними комутаційними властивостями, різними для ферміонів та бозонів.

Оператори народження й знищення позначаються однією літерою, але до символу оператора народження додається додатковий символ спряження. Наприклад, оператору знищення відповідає оператор народження .

Ферміони Редагувати

Для поля ферміонів вводиться особливий вакуумний стан , який відповідає відсутності частинки. Діючи на цей нульовий вакуумний стан, оператор народження «створює» частинку з хвильовою функцією :

Відповідним чином, оператор знищення, діючи на хвильову функцію частинки , знищує частинку, переводячи систему в стан .

Дія оператора знищення на нульовий стан дає нуль

Відповідно, дія оператора народження на стан , теж дає нуль.

Оператор народження й знищення задовольняють наступному антикомутаційному співвідношенню

Оператор числа частинок задається виразом

Вочевидь

Різні стани Редагувати

Для ферміона, який може перебувати в різних станах, оператори народження й знищення визначаються для кожного з цих станів.

Нехай у гільбертовому просторі станів ферміона заданий ортоноромований базис . Оператори народження й знищення і для різних станів комутують між собою.

Будь-який квантовомеханічний оператор можна записати у вигляді

де

Гамільтоніан Редагувати

Виражений через оператори народження й знищення, гамільтоніан квантовомеханічної системи, набирає особливо зручного вигляду, якщо ортогональний базис, для якого визначаються оператори народження й знищення, відповідає власним функціям певного модельного гамільтоніану :

Розбиваючи гамільтоніан на дві частини:

й переходячи до зображення операторів народження й знищення, його можна записати, як

Бозони Редагувати

Для бозонів оператори народження й знищення вводяться аналогічно тому, як це робиться для гармонічного осцилятора.

Бозони є квантовим аналогом класичних полів, які характеризуються інтенсивністю. При переході до квантової механіки ця характеристика зберігається у вигляді числа частинок у певному стані. Для стану можна ввести оператор кількості частинок , виходячи із співвідношення

Оператор числа частинок виражається через оператори народження й знищення аналогічно тому, як для ферміонів

Нульовий (вакуумний) стан відповідає відсутності частинок. Стан із одним бозоном утворюється із нульового стану, якщо подіяти на нього оператором народження

Відповідно, .

З огляду на те, що хвильові функції бозонів симетричні щодо перестановки частинок, оператори народження й знищення для них задовільняють комутаційним співвідношенням


Для опису полів, наприклад електромагнітного поля оператори народження й знищення вводяться для кожної частоти фотона.

Гамільтоніан поля має вигляд

де  — зведена стала Планка,  — хвильовий вектор,  — частота хвилі з хвильовим вектором . Доданок 1/2 відповідає енергії нульових коливань.


Джерела Редагувати

  • Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2008. — Т. 3. — 800 с.


Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Opera tori naro dzhennya ta zni shennya para vzayemno spryazhenih kvantovomehanichnih operatoriv zruchnih dlya zapisu gamiltonianiv kvantovomehanichnoyi sistemi u predstavlenni vtorinnogo kvantuvannya Operatori narodzhennya j znishennya viznachayutsya z pevnimi komutacijnimi vlastivostyami riznimi dlya fermioniv ta bozoniv Operatori narodzhennya j znishennya poznachayutsya odniyeyu literoyu ale do simvolu operatora narodzhennya dodayetsya dodatkovij simvol spryazhennya Napriklad operatoru znishennya a displaystyle hat a vidpovidaye operator narodzhennya a displaystyle hat a dagger Zmist 1 Fermioni 1 1 Rizni stani 1 2 Gamiltonian 2 Bozoni 3 DzherelaFermioni RedaguvatiDlya polya fermioniv vvoditsya osoblivij vakuumnij stan 0 displaystyle 0 rangle nbsp yakij vidpovidaye vidsutnosti chastinki Diyuchi na cej nulovij vakuumnij stan operator narodzhennya stvoryuye chastinku z hvilovoyu funkciyeyu ps displaystyle psi nbsp a 0 ps displaystyle hat a dagger 0 rangle psi rangle nbsp Vidpovidnim chinom operator znishennya diyuchi na hvilovu funkciyu chastinki ps displaystyle psi rangle nbsp znishuye chastinku perevodyachi sistemu v stan 0 displaystyle 0 rangle nbsp a ps 0 displaystyle hat a psi rangle 0 rangle nbsp Diya operatora znishennya na nulovij stan daye nul a 0 0 displaystyle hat a 0 rangle 0 nbsp Vidpovidno diya operatora narodzhennya na stan ps displaystyle psi rangle nbsp tezh daye nul a ps 0 displaystyle hat a dagger psi rangle 0 nbsp Operator narodzhennya j znishennya zadovolnyayut nastupnomu antikomutacijnomu spivvidnoshennyu a a a a 1 displaystyle hat a dagger hat a hat a hat a dagger 1 nbsp Operator chisla chastinok zadayetsya virazom N a a displaystyle hat N hat a dagger hat a nbsp Vochevid N 0 0 N ps 1 ps displaystyle hat N 0 rangle 0 qquad hat N psi rangle 1 psi rangle nbsp Rizni stani Redaguvati Dlya fermiona yakij mozhe perebuvati v riznih stanah operatori narodzhennya j znishennya viznachayutsya dlya kozhnogo z cih staniv Nehaj u gilbertovomu prostori staniv fermiona zadanij ortonoromovanij bazis ps n n displaystyle psi n n rangle nbsp Operatori narodzhennya j znishennya a n displaystyle hat a n dagger nbsp i a n displaystyle hat a n nbsp dlya riznih staniv komutuyut mizh soboyu a n a n a n a n 0 displaystyle hat a n dagger hat a n prime hat a n prime hat a n dagger 0 nbsp pri n n displaystyle n neq n prime nbsp Bud yakij kvantovomehanichnij operator A displaystyle hat A nbsp mozhna zapisati u viglyadi A n n A n n a n a n displaystyle hat A sum n n prime A n n prime hat a n dagger hat a n prime nbsp de A n n n A n displaystyle A n n prime langle n hat A n prime rangle nbsp matrichnij element operatora Gamiltonian Redaguvati Virazhenij cherez operatori narodzhennya j znishennya gamiltonian kvantovomehanichnoyi sistemi nabiraye osoblivo zruchnogo viglyadu yaksho ortogonalnij bazis dlya yakogo viznachayutsya operatori narodzhennya j znishennya vidpovidaye vlasnim funkciyam pevnogo modelnogo gamiltonianu H 0 displaystyle hat H 0 nbsp H 0 n E n n displaystyle hat H 0 n rangle E n n rangle nbsp Rozbivayuchi gamiltonian na dvi chastini H H 0 V displaystyle hat H hat H 0 hat V nbsp j perehodyachi do zobrazhennya operatoriv narodzhennya j znishennya jogo mozhna zapisati yak H n E n a n a n n n V n n a n a n displaystyle hat H sum n E n hat a n dagger hat a n sum n n prime V n n prime hat a n dagger hat a n prime nbsp Bozoni RedaguvatiDlya bozoniv operatori narodzhennya j znishennya vvodyatsya analogichno tomu yak ce robitsya dlya garmonichnogo oscilyatora Bozoni ye kvantovim analogom klasichnih poliv yaki harakterizuyutsya intensivnistyu Pri perehodi do kvantovoyi mehaniki cya harakteristika zberigayetsya u viglyadi chisla chastinok u pevnomu stani Dlya stanu n displaystyle n rangle nbsp mozhna vvesti operator kilkosti chastinok N displaystyle hat N nbsp vihodyachi iz spivvidnoshennya N n n n displaystyle hat N n rangle n n rangle nbsp Operator chisla chastinok virazhayetsya cherez operatori narodzhennya j znishennya analogichno tomu yak dlya fermioniv N a a displaystyle hat N a dagger a nbsp Nulovij vakuumnij stan 0 displaystyle 0 rangle nbsp vidpovidaye vidsutnosti chastinok Stan iz odnim bozonom utvoryuyetsya iz nulovogo stanu yaksho podiyati na nogo operatorom narodzhennya a 0 1 displaystyle a dagger 0 rangle 1 rangle nbsp Vidpovidno a 1 0 displaystyle a 1 rangle 0 rangle nbsp Z oglyadu na te sho hvilovi funkciyi bozoniv simetrichni shodo perestanovki chastinok operatori narodzhennya j znishennya dlya nih zadovilnyayut komutacijnim spivvidnoshennyam a a a a a a 1 displaystyle a a dagger aa dagger a dagger a 1 nbsp Dlya opisu poliv napriklad elektromagnitnogo polya operatori narodzhennya j znishennya vvodyatsya dlya kozhnoyi chastoti fotona Gamiltonian polya maye viglyad H k ℏ w k a k a k 1 2 displaystyle hat H sum mathbf k hbar omega mathbf k left a mathbf k dagger a mathbf k frac 1 2 right nbsp de ℏ displaystyle hbar nbsp zvedena stala Planka k displaystyle mathbf k nbsp hvilovij vektor w k displaystyle omega mathbf k nbsp chastota hvili z hvilovim vektorom k displaystyle mathbf k nbsp Dodanok 1 2 vidpovidaye energiyi nulovih kolivan Dzherela RedaguvatiVakarchuk I O Kvantova mehanika 4 e vidannya dopovnene L LNU im Ivana Franka 2012 872 s Fedorchenko A M Kvantova mehanika termodinamika i statistichna fizika Teoretichna fizika K Visha shkola 1993 T 2 415 s Yuhnovskij I R Osnovi kvantovoyi mehaniki K Libid 2002 392 s Landau L D Lifshic E M Kvantovaya mehanika Nerelyativistskaya teoriya Teoreticheskaya fizika M Fizmatlit 2008 T 3 800 s nbsp Ce nezavershena stattya z fiziki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Operatori narodzhennya ta znishennya amp oldid 38328291