У (комутативній алгебрі), нільрадікал (комутативного кільця) — (ідеал), що складається з усіх його (нільпотентних елементів). Формально для кільця A його нільрадикал рівний:
Іншими словами — нільрадикал є (радикалом) нульового ідеалу (0).
Також існує кілька варіантів узагальнення цього визначення для некомутативних кілець.
Властивості
- Нільрадикал дійсно є ідеалом, тому що сума двох нільпотентних елементів є нільпотентним елементом і також добуток добуток нільпотентного елемента на довільний елемент є нільпотентним елементом. Детальніше у статті (Нільпотентний елемент).
- Нільрадикал рівний перетину всіх (простих ідеалів) кільця. Це є частковим випадком твердження про те, що довільний радикал ідеалу є рівним перетину простих ідеалів, що містять даний ідеал. Детальніше у статті (Простий ідеал).
- Якщо A — довільне комутативне кільце, то (фактор-кільце) по його нільрадикалу не містить ненульових нільпотентних елементів.
- Кільце A складається лише з нільпотентних і (оборотних елементів) тоді і тільки тоді коли фактор-кільце по нільрадикалу є полем. У цьому випадку кільце має єдиний простий ідеал, що, очевидно, рівний нільрадикалу.
- Кожен (максимальний ідеал) є простим, тому (радикал Джекобсона) — перетин всіх (максимальних ідеалів) — містить нільрадикал. У разі якщо кільце є вони збігаються, при цьому нільрадикал можна описати як максимальний (нільпотентний ідеал).
- Якщо нільрадикал є (наприклад для (нетерівських кілець)), то він є нільпотентним.
Приклади
- Будь-яка (область цілісності), зокрема кільця (цілих чисел), многочленів над довільним полем не має нільпотентних елементів, тож їх нільрадикал рівний (0).
- У кільці многочленів від змінних X1, …, Xn з коефіцієнтами з деякого кільця A нільрадикал рівний множині тих многочленів всі коефіцієнти яких є нільпотентними елементами в кільці
.
- У кільці Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} лишків за модулем 8 єдиним простим ідеалом є {0, 2, 4, 6}. Він є нільрадикалом оскільки у Z8 маємо 23 = 0, 42 = 0 i 63 = 0.
- У кільці Z36 простими ідеалами є (головні ідеали), що генеруються елементами 2 і 3. Їх перетин рівний головному ідеалу (6) = {0, 6, 12, 18, 24}, який і є нільрадикалом. Ідеал (6) не є простим, бо не містить ні 2 ні 3 але їх добуток 6 належить ідеалу.
- У кільці Z180 простими ідеалами є (2), (3) і (5), а нільрадикалом є ідеал (30).
Некомутативні кільця
У некомутативними випадку можна виділити три способи узагальнення поняття нільрадікала. Нижній нільрадікал некомутативного кільця визначається як перетин всіх простих ідеалів. Верхній нільрадікал — ідеал, породжений усіма (ніль-ідеалами) (тобто ідеалами, кожен елемент яких є нільпотентним). Радикал Левицького за розміром знаходиться між ними, і визначається як максимальний локально нільпотентний ідеал. Якщо кільце є (нетеровим), всі три визначення збігаються.
Див. також
- (Нільпотентний елемент)
- (Простий елемент)
- (Радикал (теорія кілець))
Література
- (Атья М.), Введение в коммутативную алгебру. — Москва : (Мир), 1972. — 160 с.(рос.)
- David Eisenbud, «Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry», Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, .
- Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (вид. 2nd), Berlin, New York: (Springer-Verlag), ISBN , (MR) 1838439
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет