Нотація Фогта матрична форма запису симетричного тензора 4 го рангу Вперше була запропонована німецьким фізиком Вольдема

Нотація Фогта — матрична форма запису симетричного тензора 4-го рангу. Вперше була запропонована німецьким фізиком Вольдемаром Фогтом для тензора пружності в формулюванні закону Гука для анізотропних матеріалів.

Позначення ред.

Якщо тензор 4-ранга є симетричним за першою і другою парою індексів

то його елементи можуть бути записані у вигляді матриці 6x6, використовуючи наступну підстановку індексів:

Наприклад, компонента буде відповідати елементу матриці .

Використовуючи ті ж підстановки індексів, можна записувати симетричні тензори 2 рангу у вигляді 6 векторів. При такому поданні результат множення тензорів, взагалі кажучи, не відповідають результату множення матриць. Для того, щоб операція тензорного множення могла бути записана у вигляді множення матриць, може знадобитися введення додаткових множників.

Той факт, що тензор пружності має щонайбільше 21 незалежну копоненту дозволяє записати закон Гука в простішій формі з використанням матриць 6х6.

При цьому вводяться такі позначення:

для i = 1,2,3.

Матричний запис закону Гука ред.

Тоді матриця жорсткості визначається за допомогою співвідношення

Матриця жорсткості симетрична

а тому здебільшого її зображають в трикутній формі

Такий загальний вигляд матриця жорсткості має для кристалів найнижчої симетрії. Для кристалів високої симетрії матриця жорсткості має менше незалежних елементів і її вигляд спрощується. Наприклад, для ізотропного середовища залишається лише два незалежних елементи.

Матриця жорсткості для різних сингоній ред.

Триклінна сингонія ред.

Матриця жорсткості має загальний вигляд із 21-м незалежним елементом.

Моноклінна сингонія ред.

Тринадцять незалежних пружніх сталих

Ромбічна сингонія ред.

9 незалежних елементів

Тетрагональна сингонія ред.

Кристалічні класи 4, , 4/m мають матрицю жорсткості з 7-ма незалежними модулями пружності:

Кристалічні класи 422, 4mm, 2m, 4/mmm мають 6 незалежних елементів

Тригональна сингонія ред.

Кристалічні класи і 3 характеризуютья 7-а незалежними модулями пружності

Кристалічні класи 32б 3m та m характеризуються 6-ма незалежними модулями

Гексагональна сингонія ред.

Для гексагональної сингонії існує 5 незалежних елементів матриці пружності

Кубічна сингонія ред.

Три незалежних модулі пружності

Ізотропне середовище ред.

Два незалежних модулі пружності

Джерела ред.

Кучин В.А., Ульянов В.Л. (1986). Упругие и неупругие свойства кристаллов. Москва: Энергоатомиздат.
М.А. Акивис, В.В. Гольдберг. Тензорное исчисление. — М. : Наука, 1969. — 352 с.
В. Новацкий. Теория упругости / пер. Б. Е. Победря^[ru]. — М. : "Мир", 1975. — 871 с.
Т.Д. Шермергор. Теория упругости микронеоднородных сред. — М. : "Наука", 1977. — 399 с.

Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.