У , носій (модуля) M над (комутативним кільцем) A є множиною всіх (простих ідеалів) A для яких . Ця множина позначається . Згідно з означенням носій є підмножиною (спектру) кільця A.
Властивості
- Якщо
є (модулем над кільцем)
породженим єдиним елементом
і
, то
, тобто множині усіх (простих ідеалів), що містять ідеал
- Нехай
— простий ідеал у кільці
. Тоді, згідно з означенням елемент
у
(тоді і тільки тоді), коли існує елемент
, такий що
, тобто якщо
Відповідно для того щоб ця рівність не виконувалася (і, як наслідок, модуль
був ненульовим), необхідно і достатньо щоб
містив ідеал
, що і треба було довести.
- Нехай
якщо і тільки якщо його носій є (пустою множиною).
- Якщо модуль є нульовим, то і всі його локалізації є нульовими. Навпаки, якщо є хоча б один ненульовий елемент
, то як і в попередній властивості, довільний простий ідеал, що містить
належить
.
- Якщо модуль є нульовим, то і всі його локалізації є нульовими. Навпаки, якщо є хоча б один ненульовий елемент
- Якщо
є (сумою підмодулів)
, тоді
- Оскільки для всіх
справедливим є включення
то
- Навпаки, якщо
, то існує
для якого
не є підмножиною
. Але цей елемент належить деякому
і тоді
.
- Оскільки для всіх
- Простий ідеал
є елементом носія (скінченнопородженого модуля)
тоді і тільки тоді, коли
. Зокрема носій модуля є (замкнутою множиною) у (топології Зариського) на Spec(A).
- Якщо
належить носію модуля, то існує такий елемент
, що
для всіх
Але тоді
і необхідний результат отримується з того, що
.
- Навпаки, якщо
— породжуюча множина модуля, то
і якщо
то також
для деякого
і тому
належить носію модуля.
- Якщо
- Якщо
є скінченнопородженим A-модулем і I є ідеалом у A, тоді
є множиною всіх простих ідеалів, що містять
Ця множина є рівною
.
- Якщо
то
- Якщо
— прості ідеали, то з властивостей локалізації
, тож якщо
, то також
і тому
теж є елементом носія модуля.
- Якщо
- Нехай
— (точна послідовність) A-модулів. Тоді
Це об'єднання може не бути (диз'юнктивним).
- Згідно з властивостями локалізації, при умовах твердження послідовність
теж буде точною. З означень точної послідовності тоді
буде нульовим модулем тоді і тільки тоді, коли нульовими модулями будуть як
, так і
. Тому
належатиме
тоді і тільки тоді, коли він належатиме хоча б одній із множин
і
.
- Згідно з властивостями локалізації, при умовах твердження послідовність
- Якщо
є скінченнопородженими A-модулями, то
- Для довільного простого ідеалу
. Оскільки
— (локалне кільце), то звідси
, тоді і тільки тоді коли
і
, що доводить твердження.
- Для довільного простого ідеалу
- Нехай
— (скінченнопороджений модуль) над (нетеровим кільцем)
. Тоді
якщо і тільки якщо
, де
— деякий (асоційований простий ідеал) модуля
.
- Оскільки кожен асоційований простий ідеал містить анулятор модуля, то якщо простий ідеал містить асоційований простий ідеал, то він містить анулятор і є елементом носія модуля.
- При умовах твердження існує (скінченна множина) асоційованих простих ідеалів, перетин яких рівний (радикалу) анулятора. Якщо
не містить жодного з цих ідеалів, то він не містить і їх перетину і тому не містить анулятор модуля. Тоді
не належить носію модуля.
Носій квазікогерентного пучка
Якщо F є квазікогерентним пучком на (схемі) X, носій F є множиною всіх точок x∈X для яких (локальні кільця) Fx є ненульовими. Це означення є подібним до означення (носія функції) на просторі X, що і спричинило використання терміну "носій". Більшість властивостей носіїв дослівно переносяться із модулів на квазікогерентні пучки. Наприклад, носій когерентного пучка є замкнутим підпростором у X.
Якщо M є модулем над кільцем A, тоді носій M як модуля є рівним носію асоційованого квазікогерентного пучка на (афінній схемі) Spec(R). Крім того, якщо
є афінним покриттям схеми X, тоді носій квазікогерентного пучка F є рівним об'єднанню носіїв асоційованих модулів Mα над кожним Aα.
Приклади
- Для (скінченної) (комутативної групи)
, що розглядається як модуль над кільцем цілих чисел,
складається з усіх простих ідеалів
, де (просте число)
ділить (порядок групи)
.
- У випадку коли модуль не є скінченнопородженим не обов'язково кожен ідеал, що містить анулятор є елементом носія модуля. Може виконуватися строге включення
. Наприклад
,
. Тоді
, але
. Тому нульовий ідеал належить
але не носію модуля
. Носієм є множина (максимальних ідеалів) кільця
.
Примітки
- EGA 0I, 1.7.1.
- The Stacks Project authors (2017). Stacks Project, Tag 01B4.
- The Stacks Project authors (2017). Stacks Project, Tag 01AS.
Див. також
- (Асоційований простий ідеал)
Література
- Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.
- Reid, Miles (1996). Undergraduate Commutative Algebra. Cambridge University Press. ISBN .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет