Мутація (теорія вузлів)

В теорії вузлів мутація — це операція над вузлом^[en], яка може призвести до іншого вузла.

Вузол Кіношіти — Терасаки (11n42) і вузол Конвея (11n34) пов'язані мутацією.

Визначення

Нехай K — вузол, заданий у вигляді діаграми. Нехай D — диск у площині діаграми, границі якого перетинають K рівно чотири рази. Можна вважати (у разі необхідності використаємо ізотопію), що диск геометрично круглий і чотири точки перетину розташовані на однаковій відстані. Частина вузла всередині диска є клубком^[en]. Є два відбиття, які міняють місцями пари кінцевих точок цього клубка. Крім того, є також повороти. Мутація замінює початковий клубок клубком, отриманим будь-якою з цих операцій. Результатом завжди буде вузол, який називають мутацією вузла K.

Мутанти нелегко відрізнити, оскільки вони мають багато однакових інваріантів. Вони мають однаковий гіперболічний об'єм (як показав Руберман) і той самий многочлен HOMFLY^[en].

Приклади

• Пара вузлів, Конвея і Кіношити — Терасаки, є мутаціями один одного, але мають різний рід, що дорівнює 3 і 2 відповідно.

Примітки

1. Livingston, 1993, с. 214.
2. Cromwell, 1964, с. 177—181.

Література

• Charles Livingston. Knot theory. — Washington DC : The Mathematical Association of America, 1993. — Т. 24. — (The Carus Mathematical Monographs) — ISBN 088385-027-3.
• Peter R. Cromwell. Knots and Links. — Cambridge : Cambridge University Press, 1964. — ISBN 0-521-83947-5, 0-521-54831-4.
• Colin Adams. The Knot Book. — New York : W. H. Freeman and Company. — ISBN 0-8050-7380-9.