www.wikidata.uk-ua.nina.az

Метод ізоспектральної деформації метод інтегрування нелінійних еволюційних рівнянь Був відкритий у 1967 році 1 Зміст 1 С

Метод ізоспектральної деформації

Метод ізоспектральної деформації — метод інтегрування нелінійних еволюційних рівнянь. Був відкритий у 1967 році.

Сутність методу ред.

Метод ізоспектральної деформації полягає в тому, що інтеграли руху розглядуваної динамічної системи є власними значеннями деякої матриці , яка залежить від динамічних змінних цієї системи. Природа цієї залежності така, що спектр матриці для будь-якого рішення рівнянь руху від часу не залежить. Таким чином, у процесі еволюції динамічної системи ця матриця зазнає ізоспектральну деформацію. Власні ж значення матриці, розглядувані як функціонали від змінних динамічної системи, представляють інтеграли руху.

Усі відомі системи такого типу пов'язані із алгебрами Лі й у всіх відомих випадках їх інтегровуваність обумовлена наявністю суперсиметрії.

Визначення ред.

Розгляньмо клас матриць, наприклад, усіх матриць Якобі вигляду

із додатними елементами Їх власні значення дійсні або прості. Потрібно віднайти усі матриці цього класу, які мають однаковий спектр. Можна подумати, що наявних параметрів недостатньо, але оскільки

при

для характеристичного многочлена

маємо співвідношення

Відповідно, разом із також і є власним значенням, буде власним значенням за неперного Таким чином, фіксування власних значень накладає умов, і розмірність простору ізоспектральних матриць виявляється рівною

Для отримання ізоспектральних деформацій Лакс розглядував диференціальні рівняння у формі

де - параметр деформації. Матриця повинна бути підібрана так, щоб комутатор мав нулі усюди за винятком елементів на двох діагоналях, які повинні співпадати. У даному випадку в якості одного з можливих варітанів знаходиться кососиметрична матриця

для якої диференціальне рівняння приймає вигляд

де формально

Диференціальне рівняння приводить до ізоспектральних деформацій.

Якщо вирішувати диференціальне рівняння

то гарантує, що

відповідно,

Таким чином, власні значення залишаються сталими під дією цієї деформації. Коефіцієнти характеристичного поліному

також є інтегралами руху, поліноміальними по


Приклад ред.

Нехай є інтегрована система взаємодіючих частинок у стандартному конфігураційному просторі Такі системи описуються гамільтоніаном

У просторі двох й більшого числа вимірів відома лише одна система- система взаємодіючих осциляторів:

Після уведення координат Якобі така система зводиться до системи частинки, яка рухається незалежно у загальному осциляторному потенціалі.

Нехай система частинок має одиничну масу, які знаходяться на прямій і попарно взаємодіють одна із одною. Така система описується гамільтоніаном

Підберемо потенцал таким чином, щоб розглядувана система мал додаткові інтеграли руху. Припустимо, нам вдалося віднайти пару матриць , які залежать від динамічних змінних та (пара Лакса), так що рівняння Гамільтона

є еквівалентними матричному рівнянню

Така форма запису називається представленням Лакса. Звідси слідує, що матриця зазнає перетворення подібності

При цьому матриця є еміртовою, матриця унітарна Відповідно, власні значення матриці від часу не залежать, тобто є інтегралами руху; або, іншими словами, матриця із плином часу зазнаєізоспектральну деформацію. При цьому в якості інтегралів руху часто буває зручно використовувати не власні значення , а симетричні функції від них, наприклад величини

Якщо з допомогою такого прийому вдається віднайти функціонально незалежних інтегралів руху й показати, що усі вони знаходяться у інволюції, то розглядувана система є цілком інтегровуваною.

Див.також ред.


Джерела ред.

  1. Gardner C., Greene J., Kruskal M., Miture R. // Phys.Rev.Lett. - 1967. - V19. - P.1921. 
  2. Мозер Ю. - Интегрируеміе гамильтонові системы и спектральная теория. 
  3. А.М.Переломов - Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Metod izospektralnoyi deformaciyi metod integruvannya nelinijnih evolyucijnih rivnyan Buv vidkritij u 1967 roci 1 Zmist 1 Sutnist metodu 2 Viznachennya 3 Priklad 4 Div takozh 5 DzherelaSutnist metodu red Metod izospektralnoyi deformaciyi polyagaye v tomu sho integrali ruhu rozglyaduvanoyi dinamichnoyi sistemi ye vlasnimi znachennyami deyakoyi matrici L displaystyle L nbsp yaka zalezhit vid dinamichnih zminnih ciyeyi sistemi Priroda ciyeyi zalezhnosti taka sho spektr matrici dlya bud yakogo rishennya rivnyan ruhu vid chasu ne zalezhit Takim chinom u procesi evolyuciyi dinamichnoyi sistemi cya matricya zaznaye izospektralnu deformaciyu Vlasni zh znachennya matrici rozglyaduvani yak funkcionali vid zminnih dinamichnoyi sistemi predstavlyayut integrali ruhu Usi vidomi sistemi takogo tipu pov yazani iz algebrami Li j u vsih vidomih vipadkah yih integrovuvanist obumovlena nayavnistyu supersimetriyi Viznachennya red Rozglyanmo klas matric napriklad usih matric Yakobi viglyaduL 0 a 1 0 0 a 1 0 a 2 a 1 0 a n 1 0 displaystyle L begin pmatrix 0 amp a 1 amp 0 amp amp 0 amp a 1 amp 0 amp a 2 amp amp amp amp amp amp amp amp amp amp amp amp amp amp amp amp amp amp amp amp amp amp amp amp amp amp a 1 amp amp 0 amp amp a n 1 amp 0 end pmatrix nbsp iz dodatnimi elementami a 1 a 2 a n 1 displaystyle a 1 a 2 a n 1 nbsp Yih vlasni znachennya dijsni abo prosti Potribno vidnajti usi matrici cogo klasu yaki mayut odnakovij spektr Mozhna podumati sho nayavnih parametriv nedostatno ale oskilkiK 1 L K L displaystyle K 1 LK L nbsp pri K d i a g 1 1 1 displaystyle K mathrm diag 1 1 1 nbsp dlya harakteristichnogo mnogochlenaD n l d e t l I L displaystyle Delta n lambda mathrm det lambda I L nbsp mayemo spivvidnoshennyaD n l 1 n D n l displaystyle Delta n lambda 1 n Delta n lambda nbsp Vidpovidno razom iz l displaystyle lambda nbsp takozh i l displaystyle lambda nbsp ye vlasnim znachennyam l 0 displaystyle lambda 0 nbsp bude vlasnim znachennyam za nepernogo n displaystyle n nbsp Takim chinom fiksuvannya vlasnih znachen nakladaye n 2 displaystyle n 2 nbsp umov i rozmirnist prostoru izospektralnih matric viyavlyayetsya rivnoyu n n 2 displaystyle n n 2 nbsp Dlya otrimannya izospektralnih deformacij Laks rozglyaduvav diferencialni rivnyannya u formid d t L B L L B displaystyle frac d dt L BL LB nbsp de L L t t displaystyle L L t t nbsp parametr deformaciyi Matricya B displaystyle B nbsp povinna buti pidibrana tak shob komutator B L displaystyle B L nbsp mav nuli usyudi za vinyatkom elementiv na dvoh diagonalyah yaki povinni spivpadati U danomu vipadku v yakosti odnogo z mozhlivih varitaniv znahoditsya kososimetrichna matricyaB 0 0 a 1 a 2 0 0 0 0 a 2 a 3 a 1 a 2 0 0 a n 2 a n 1 0 0 0 a n 2 a n 1 0 0 displaystyle B begin pmatrix 0 amp 0 amp a 1 a 2 amp 0 amp amp amp 0 amp 0 amp 0 amp a 2 a 3 amp amp a 1 a 2 amp 0 amp amp amp amp amp amp amp amp amp 0 amp a n 2 a n 1 amp amp amp 0 amp 0 amp 0 amp amp amp a n 2 a n 1 amp 0 amp 0 end pmatrix nbsp dlya yakoyi diferencialne rivnyannya d d t L B L L B displaystyle frac d dt L BL LB nbsp prijmaye viglyada k a k a k 1 2 a k 1 2 k 1 2 n 1 displaystyle dot a k a k a k 1 2 a k 1 2 quad quad k 1 2 n 1 nbsp de formalno A 0 0 a n displaystyle A 0 0 a n nbsp Diferencialne rivnyannya d d t L B L L B displaystyle frac d dt L BL LB nbsp privodit do izospektralnih deformacij Yaksho virishuvati diferencialne rivnyannyad d t U B U U 0 I displaystyle frac d dt U BU quad quad U 0 I nbsp to d d t L B L L B displaystyle frac d dt L BL LB nbsp garantuye shod d t U 1 L U 0 displaystyle frac d dt U 1 LU 0 nbsp vidpovidno U 1 L U L 0 displaystyle U 1 LU L 0 nbsp Takim chinom vlasni znachennya L displaystyle L nbsp zalishayutsya stalimi pid diyeyu ciyeyi deformaciyi Koeficiyenti I k displaystyle I k nbsp harakteristichnogo polinomuD n l l n I 1 l n 1 I n displaystyle Delta n lambda lambda n I 1 lambda n 1 I n nbsp takozh ye integralami ruhu polinomialnimi po a 1 2 a 2 2 a n 1 2 displaystyle a 1 2 a 2 2 a n 1 2 nbsp 2 Priklad red Nehaj ye integrovana sistema n displaystyle n nbsp vzayemodiyuchih chastinok u standartnomu konfiguracijnomu prostori R n displaystyle mathbb R n nbsp Taki sistemi opisuyutsya gamiltonianomH 1 2 j 1 n p j 2 g 2 j lt k v q j q k p j q k R n displaystyle H frac 1 2 sum j 1 n p j 2 g 2 sum j lt k v q j q k quad quad p j q k in mathbb R n nbsp U prostori dvoh j bilshogo chisla vimiriv vidoma lishe odna sistema sistema n displaystyle n nbsp vzayemodiyuchih oscilyatoriv v q 1 2 w 2 q 2 displaystyle v q frac 1 2 omega 2 q 2 nbsp Pislya uvedennya koordinat Yakobi taka sistema zvoditsya do sistemi n 1 displaystyle n 1 nbsp chastinki yaka ruhayetsya nezalezhno u zagalnomu oscilyatornomu potenciali Nehaj sistema n displaystyle n nbsp chastinok maye odinichnu masu yaki znahodyatsya na pryamij i poparno vzayemodiyut odna iz odnoyu Taka sistema opisuyetsya gamiltonianomH 1 2 j 1 n p j 2 g 2 j lt k v q j q k displaystyle H frac 1 2 sum j 1 n p j 2 g 2 sum j lt k v q j q k nbsp Pidberemo potencal v q displaystyle v q nbsp takim chinom shob rozglyaduvana sistema mal dodatkovi integrali ruhu Pripustimo nam vdalosya vidnajti paru matric L B displaystyle L B nbsp yaki zalezhat vid dinamichnih zminnih p displaystyle p nbsp ta q displaystyle q nbsp para Laksa tak sho rivnyannya Gamiltonap j H q j q j p j displaystyle dot p j frac partial H partial q j quad quad dot q j p j nbsp ye ekvivalentnimi matrichnomu rivnyannyui L B L displaystyle i dot L B L nbsp Taka forma zapisu nazivayetsya predstavlennyam Laksa Zvidsi sliduye sho matricya L t displaystyle L t nbsp zaznaye peretvorennya podibnostiL t u t L 0 u 1 t B i u u 1 displaystyle L t u t L 0 u 1 t quad quad B i dot u u 1 nbsp Pri comu matricya B displaystyle B nbsp ye emirtovoyu matricya u displaystyle u nbsp unitarna u 1 u displaystyle u 1 u nbsp Vidpovidno vlasni znachennya matrici L t displaystyle L t nbsp vid chasu ne zalezhat tobto ye integralami ruhu abo inshimi slovami matricya L t displaystyle L t nbsp iz plinom chasu zaznayeizospektralnu deformaciyu Pri comu v yakosti integraliv ruhu chasto buvaye zruchno vikoristovuvati ne vlasni znachennya L t displaystyle L t nbsp a simetrichni funkciyi vid nih napriklad velichiniI k k 1 t r L k displaystyle I k k 1 mathrm tr L k nbsp Yaksho z dopomogoyu takogo prijomu vdayetsya vidnajti n displaystyle n nbsp funkcionalno nezalezhnih integraliv ruhu j pokazati sho usi voni znahodyatsya u involyuciyi to rozglyaduvana sistema ye cilkom integrovuvanoyu 3 Div takozh red Rivnyannya sinus Gordona Rivnyannya Kortevega de FrizaDzherela red Gardner C Greene J Kruskal M Miture R Phys Rev Lett 1967 V19 P 1921 Mozer Yu Integriruemie gamiltonovi sistemy i spektralnaya teoriya A M Perelomov Integriruemye sistemy klassicheskoj mehaniki i algebry Li Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Metod izospektralnoyi deformaciyi amp oldid 38785162