Машинний епсилон (англ. Machine epsilon) — верхня межа відносної похибки округлення чисел із рухомою комою. Абсолютне значення «машинного епсилон» залежить від розрядності сітки застосовуваної ЕОМ, типу (розрядності) використовуваних у розрахунках чисел, і від прийнятої в конкретному трансляторі структури подання дійсних чисел (кількості бітів, що відводяться на мантису і на порядок). Формально машинний епсилон зазвичай визначають як найменше з чисел ε, для якого під час машинних розрахунків з числами даного типу 1+ε>1. Альтернативне визначення — найбільше ε, для якого справедлива рівність 1+ε=1.
Практична важливість машинного епсилон пов'язана з тим, що два (відмінних від нуля) числа є однаковими з точки зору машинної арифметики, якщо модуль їх відносної різниці менший (за визначенням першого типу) або не перевершує (за визначенням другого типу) машинного епсилон.
Машинний нуль — числове значення з таким від'ємним порядком, що воно сприймається обчислювальною машиною як нуль.
У мовах програмування Редагувати
Мова Сі Редагувати
У мові Сі існують граничні константи FLT_EPSILON, DBL_EPSILON і LDBL_EPSILON, які є «машинними епсилон», відповідними першому визначенню: FLT_EPSILON = 2−23 ≈ 1.19e−07 — це машинний епсилон для чисел типу float (32 біти), DBL_EPSILON = 2−52 ≈ 2.20e−16 — для типу double (64 біти), і LDBL_EPSILON = 2−63 ≈ 1.08e−19 — для типу long double (80 біт). Для альтернативного визначення відповідні машинні епсилон будуть вдвічі меншими: 2−24, 2−53 і 2−64. У деяких компіляторах Сі (наприклад gcc, Intel's C/C++ compiler) допускається використання змінних четверної точності (_float128, _Quad). Відповідні машинні епсилон рівні 2−112 ≈ 1.93e−34 і 2−113 ≈ 9.63e−35.
Приклад Редагувати
Приклад обчислення машинного епсилона мовою Сі.
float macheps(void) { float e = 1.0f; while (1.0f + e / 2.0f > 1.0f) e /= 2.0f; return e; }
Приклад мовою C++.
# include <iostream> # include <stdint.h> # include <iomanip> template<typename float_t, typename int_t> float_t machine_eps() { union { float_t f; int_t i; } one, one_plus, little, last_little; one.f = 1.0; little.f = 1.0; last_little.f = little.f; while(true) { one_plus.f = one.f; one_plus.f += little.f; if( one.i != one_plus.i ) { last_little.f = little.f; little.f /= 2.0; } else { return last_little.f; } } } int main() { std::cout << "machine epsilon:\n"; std::cout << "float: " << std::setprecision(18)<< machine_eps<float, uint32_t>() << std::endl; std::cout << "double: " << std::setprecision(18) << machine_eps<double, uint64_t>() << std::endl; }
Приклад на Python
def machineEpsilon(func=float): machine_epsilon = func(1) while func(1)+func(machine_epsilon) != func(1): machine_epsilon_last = machine_epsilon machine_epsilon = func(machine_epsilon) / func(2) return machine_epsilon_last
Виведення може бути таким (з використанням IPython):
In [1]: machineEpsilon(int) Out[1]: 1
In [2]: machineEpsilon(float) Out[2]: 2.2204460492503131e-16
In [3]: machineEpsilon(complex) Out[3]: (2.2204460492503131e-16+0j)
Див. також Редагувати
Примітки Редагувати
- Подбельский В. В., Фомин С. С. Программирование по на языке Си: Учеб.пособие. М.: Финансы и статистика, 2003.
- . Архів оригіналу за 7 вересня 2021. Процитовано 7 вересня 2021.
- Игорь Юсупович Алибеков. [1] — МГИУ, 2008-01-01. — 221 с. — ISBN 9785276014623. з джерела 7 вересня 2021
- [2] — Directmedia, 2014-05-20. — 432 с. — ISBN 9785445838753. з джерела 7 вересня 2021