www.wikidata.uk-ua.nina.az

Задача Штурма Ліувілля Надалі введено позначення Задача Штурма Ліувілля ЗШЛ Розглянемо оператор L u d d x p x d u d x q

Задача Штурма — Ліувілля

Надалі введено позначення Задача Штурма-Ліувілля — ЗШЛ.
Розглянемо оператор ,
перепишемо його у вигляді: та введемо додаткові умови .
Надалі будемо вважати, що крім того,

Формулювання ЗШЛ ред.

Знайти значення параметра при яких існують нетривіальні розв'язки задачі , такі, що і знайти ці розв'язки.
Введемо область визначення оператора :
, які задовольняють крайові умови
, і такі, що .

Властивості оператора ЗШЛ ред.

  1. Якщо довільні функції належать області , то має місце рівність:

.

  1. Оператор ЗШЛ є самоспряженим, тобто виконується .
  2. Оператор ЗШЛ є додатньовизначеним: .

Власні значення та власні функції ЗШЛ ред.

Вказані вище значення параметра називається власними значеннями ЗШЛ, а відповідні їм розв'язки — власними функціями цієї задачі.

Основні властивості власних значень і власних функцій ЗШЛ ред.

  1. Власні значення ЗШЛ утворюють зліченну множину.
  2. Власні функції, які відповідають різним власним значенням, ортогональні між собою з вагою , тобто , де  — власні функції.
  3. Власні значення ЗШЛ — дійсні та невід'ємні.
  4. Власні значення ЗШЛ — прості, тобто одному власному значенню не може відповідати дві і більше лінійно незалежних власних функції.
  5. Власні функції ЗШЛ можна вибрати дійсними.

Примітки ред.

  1. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971. — 512с.
  2. ↑ Кошляков Н. С. и др. Уравнения в частных производных математической физики. — М.: Высшая школа, 1970. — 712с.
  3. Перестюк М. О., Маринець В. В. Теорія рівнянь математичної фізики. — К.: Либідь, 2001. — 336 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Nadali vvedeno poznachennya Zadacha Shturma Liuvillya ZShL Rozglyanemo operator L u d d x p x d u d x q x u displaystyle Lu frac d dx p x frac du dx q x u perepishemo jogo u viglyadi L u l r x u x a b displaystyle Lu lambda rho x u x in a b ta vvedemo dodatkovi umovi A 1 u a A 2 u a 0 B 1 u b B 2 u b 0 displaystyle left A 1 u a A 2 u a 0 quad B 1 u b B 2 u b 0 right Nadali budemo vvazhati sho p x C 1 a b q x r x C a b displaystyle p x in mathit C 1 a b q x rho x in mathit C a b krim togo p x gt 0 r x gt 0 q x 0 A 1 A 2 B 1 B 2 c o n s t A 1 A 2 0 A 1 A 2 gt 0 B 1 B 2 0 B 1 B 2 gt 0 displaystyle p x gt 0 rho x gt 0 q x geqslant 0 quad A 1 A 2 B 1 B 2 const A 1 A 2 geqslant 0 A 1 A 2 gt 0 B 1 B 2 geqslant 0 B 1 B 2 gt 0 Zmist 1 Formulyuvannya ZShL 1 2 Vlastivosti operatora UNIQ postMath 0000000E QINU ZShL 2 3 Vlasni znachennya ta vlasni funkciyi ZShL 2 3 1 Osnovni vlastivosti vlasnih znachen i vlasnih funkcij ZShL 3 4 PrimitkiFormulyuvannya ZShL 1 red Znajti znachennya parametra l displaystyle lambda nbsp pri yakih isnuyut netrivialni rozv yazki zadachi L u l r x u x a b displaystyle Lu lambda rho x u x in a b nbsp A 1 u a A 2 u a B 1 u b B 2 u b displaystyle left A 1 u a A 2 u a quad B 1 u b B 2 u b right nbsp taki sho u x C 2 a b C 1 a b displaystyle u x in mathit C 2 a b cap mathit C 1 a b nbsp i znajti ci rozv yazki Vvedemo oblast viznachennya operatora L displaystyle L nbsp D L u C 2 a b C 1 a b displaystyle D L u in mathit C 2 a b cap mathit C 1 a b nbsp yaki zadovolnyayut krajovi umovi A 1 u a A 2 u a 0 B 1 u b B 2 u b 0 displaystyle left A 1 u a A 2 u a 0 quad B 1 u b B 2 u b 0 right nbsp i taki sho u L 2 a b displaystyle u in L 2 a b nbsp Vlastivosti operatora L displaystyle L ZShL 2 red Yaksho dovilni funkciyi u v displaystyle u v nbsp nalezhat oblasti D L displaystyle D L nbsp to maye misce rivnist a b v L u u L v d x 0 displaystyle int a b vLu uLv dx 0 nbsp Operator L displaystyle L nbsp ZShL ye samospryazhenim tobto u v D L displaystyle forall u v in D L nbsp vikonuyetsya L u v u L v displaystyle Lu v u Lv nbsp Operator L displaystyle L nbsp ZShL ye dodatnoviznachenim L u u 0 displaystyle Lu u geqslant 0 nbsp Vlasni znachennya ta vlasni funkciyi ZShL 2 red Vkazani vishe znachennya parametra l displaystyle lambda nbsp nazivayetsya vlasnimi znachennyami ZShL a vidpovidni yim rozv yazki vlasnimi funkciyami ciyeyi zadachi Osnovni vlastivosti vlasnih znachen i vlasnih funkcij ZShL 3 red Vlasni znachennya ZShL utvoryuyut zlichennu mnozhinu Vlasni funkciyi yaki vidpovidayut riznim vlasnim znachennyam ortogonalni mizh soboyu z vagoyu r x displaystyle rho x nbsp tobto a b r x u 1 x u 2 x d x 0 displaystyle int a b rho x u 1 x u 2 x dx 0 nbsp de u 1 x u 2 x displaystyle u 1 x u 2 x nbsp vlasni funkciyi Vlasni znachennya ZShL dijsni ta nevid yemni Vlasni znachennya ZShL prosti tobto odnomu vlasnomu znachennyu ne mozhe vidpovidati dvi i bilshe linijno nezalezhnih vlasnih funkciyi Vlasni funkciyi ZShL mozhna vibrati dijsnimi Primitki red Vladimirov V S Uravneniya matematicheskoj fiziki M Nauka 1971 512s a b Koshlyakov N S i dr Uravneniya v chastnyh proizvodnyh matematicheskoj fiziki M Vysshaya shkola 1970 712s Perestyuk M O Marinec V V Teoriya rivnyan matematichnoyi fiziki K Libid 2001 336 s Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Zadacha Shturma Liuvillya amp oldid 36913407