Дихотомі́я, також парадо́кс по́ділу — одна із апорій Зенона Елейського, сформована в античні часи:
Щоб пройти шлях, потрібно спочатку пройти половину шляху, а щоб пройти половину шляху, потрібно спочатку пройти половину половини, і так до безкінечності.
Це очевидне протиріччя, в якому потрібно показати, що рух в реальності неможливий. Він тісно пов'язаний з парадоксом Ахіллеса і черепахи.
Точне формулювання Редагувати
Приклад, який спростовує існування руху, наступний: Зенон стоїть на відстані восьми метрів від дерева, тримаючи в руках камінь. Він кидає камінь у напрямку дерева. Перш ніж камінь долетить до дерева, він має подолати першу половину з восьми метрів. Щоб подолати цю відстань, камінцю потрібен певний час, не нульовий. Потім йому потрібно пройти ще чотири метри, з яких він долає половину, два метри, що також займає певний час. Потім камінь просувається ще на метр, потім на пів метра, потім на чверть метра і так до нескінченності, щоразу витрачаючи ненульовий час. Зенон робить висновок, що камінь не може влучити в дерево, бо для цього він мав би пройти нескінченну низку етапів, що неможливо.
Розв'язання Редагувати
Зауважимо, що час, за який камінь подолав половину відстані, що відділяє його від дерева, час, необхідний для подолання половини відстані, що залишилася, і т.д. Загальна тривалість шляху дорівнює сумі тривалостей частин шляху, тобто Зенон вважав, що ця сума обов'язково нескінченна, звідси й парадокс. Однак ми знаємо, що ця загальна тривалість не є нескінченною, оскільки камінчик досягає дерева. Тому здається, що ряд із загальним членом збігається. Це ми й пропонуємо продемонструвати, припустивши, що швидкість камінчика є сталою.
Оскільки швидкість постійна, то маємо , і в більш загальному вигляді
Таким чином, послідовність є геометричною, з якої отримуємо Таким чином, часткові суми мають простий вираз
Звідси випливає, що збігається, і що Таким чином, камінь здійснює нескінченну кількість подорожей за скінченний час, який дорівнює a , Зауважимо, що вдвічі більше, ніж час, за який камінчик пройшов першу половину відстані.
В літературі та мистецтві Редагувати
Апорія «Дихотомія» лежить в основі сюжету фантастичної розповіді Філіпа Діка «Про невтомну жабу».
Див. також Редагувати
Посилання Редагувати
- Хазарзар Руслан. Апории Зенона [ 19 червня 2011 у Wayback Machine.].(рос.)
- Апории Зенона [ 28 червня 2011 у Wayback Machine.] на warrax.net.(рос.)