www.wikidata.uk-ua.nina.az

Динамічне моделювання Моделювання динамічних систем це моделювання поведінки динамічної системи в будь який довільний зм

Динамічне моделювання

Моделювання динамічних систем — це моделювання поведінки динамічної системи в будь-який довільний змінний момент часу. Модель, як правило, описується системою звичайних диференціальних рівнянь, аргументом яких є час. Така система відображає реальний об'єкт лише з деяким наближенням, яке може бути задовільним або незадовільним для певного дослідження.Тривіальним прикладом об'єкта, описаного за допомогою диференціальних рівнянь, може бути басейн, який заповнюється водою з труб.
Також при моделюванні динамічних систем використовують різницеві рівняння й системи рівнянь у випадку, коли зміна процесу відбувається стрибкоподібно, або дискретно. Такі динамічні процеси зустрічаються в онкології, динаміці популяцій, економіці, банківській справі.
Процес створення математичної моделі динамічної системи містить три основні частини:

  • Емпірична;
  • Теоретична;
  • Математична.

В емпіричній частині зібрані дані, які були отримані зі спостережень та експериментів з ціллю дослідження об'єкта. Емпіричні закономірності та явища об'єднуються у теоретичній частині за допомогою розвитку основних концепцій. У математичній частині конструюються моделі для перевірки основних математичних концепцій. На цьому етапі відбувається процес обробки експериментальних даних, планування експериментів та спостережень.
Важлива перевага методів моделювання динамічних систем полягає в тому, що вони дозволяють різко скоротити обсяг і масштаби натурних експериментів.

Еквівалентні перетворення динамічних систем Редагувати

В задачах моделювання важливим пунктом є аналіз властивостей і специфіки чисельної реалізації. Часто ми отримуємо представлення моделі, виходячи з її фізичних властивостей. Таке подання не завжди є зручним для чисельних експериментів. В моделюванні динамічних систем використовуються методи еквівалетного перетворення, а саме: перетворення диференціального рівняння -го порядку до системи диференціальних рівнянь 1-го порядку, перетворення диференціальних моделей в інтегральні моделі, перетворення інтегральної моделі Вольтерра другого роду з ядром, що розділяється в диференціальну модель.
Методи еквівалентного перетворення диференціальних моделей в інтегральні моделі включають у себе:

  • метод перетворення з розщепленням;
  • метод послідовного інтегрування;
  • метод старшої похідної.

Метод перетворення з розщепленням Редагувати

Нехай подано звичайне диференціальне рівняння, що описує модель динамічного типу таким чином:

або в операторній формі

Для отримання ряду еквівалентних залежностей, що містять інтегральний оператор, застосовують прийом, що базується на різноманітних розщепленнях вихідного диференціального оператора. Дійсно, розщіплюючи оператор з використанням суми двох операторів отримуємо диференціальне рівняння

де Отже, отримаємо розв'язок
Розглянемо даний метод детальніше на прикладі рівняння, яке запишемо у вигляді:

Після заміни змінних отримаємо рівняння -го порядку:
,
де Коли ми перейдемо до еквівалентної системи диференціальних рівнянь і використаємо фундаментальний розв'язок стосовно канонічної системи диференціальних рівнянь, отримуємо рівняння з ядром експоненціального виду:

де
Матриця порядку матиме вигляд:


Врахуємо залежність . Тоді, легко бачити, що еквівалентне перетворення відбувається шляхом зміни значення

Метод послідовного інтегрування Редагувати

Нехай у методі перетворення з розщепленням зробимо заміну . Тоді розщеплення оператора зводиться до розв'язання вихідного рівняння відносно старшої похідної. При цьому, розв'язок рівняння полягає у послідовному -кратному інтегруванні, в результаті якого отримаємо інтегральне рівняння виду:

де

.

Лінійні та нелінійні моделі динамічних систем Редагувати

Лінійні динамічні системи зазвичай описують системами лінійних звичайних диференціальних рівнянь, рівнянь у частинних похідних і лінійними різницевими та інтегральними рівняннями. Для лінійних моделей точні розв'язки можна знайти в аналітичній формі. Більше того, в деяких випадках, нелінійні процеси апроксимують лінійними.
Нелінійні динамічні системи називаються хаотичними, якщо їхня поведінка є випадковою, попри те, що вона визначається детерміністичними законами.

Опис хаотичних систем за допомогою відображень Редагувати

Нехай  — нескінченно мала відстань між двома точками у фазовому просторі, які належать різним фазовим траєкторіям у момент часу ;  — відстань між цими точками у момент часу . Тоді, запишемо наступне:
,
де параметр називається показником Ляпунова. Якщо , тоді дві фазові траєкторії, що виходять з малого околу певної точки простору, з часом розходяться з експоненціальною швидкістю. Із співвідношення отримаємо формулу для розрахунку показника Ляпунова:
.
Цей показник є функцією початкової координати у загальному випадку.
Розгляд хаотичних динамічних систем зручно почати з простих прикладів одновимірних дискретних відображень, які мають вигляд:
.
Остаточний вигляд формули для розрахунку показника Ляпунова у випадку одновимірного відображення, поданого вище, є таким: .

Приклади Редагувати

Складання рівнянь руху Редагувати

Розглянемо сукупність n матеріальних точок. Як відомо, положення точки у просторі визначається її радіус-вектором . Щоб визначити положення системи n матеріальних точок у просторі, треба знати n радіус-векторів або 3n координат. Кількість незалежних величин, що визначають положення системи у просторі, називається кількістю степенів вільності системи. У загальному випадку це можуть бути й недекартові координати (полярні, сферичні тощо).
Наведемо приклад механічної системи з одним степенем вільності. Одним із загальних принципів, що дозволяє побудувати рівняння руху, тобто створити математичну модель функціонування динамічної системи, є принцип найменшої дії (Гамільтона). Згідно із ним кожна механічна система характеризується деякою визначеною функцією , де q — узагальнені координати,  — узагальнена швидкість, t — момент часу.

Динаміка популяцій Редагувати

Наведемо приклад популяції, яка є ізольованою. Популяцією є сукупність індивідів, що можуть давати потомство й піддаються впливу однакових внутрішніх і зовнішніх факторів. Припустимо, що ареал їх проживання обмежений. Основним припущенням, що використовується при побудові математичних моделей динаміки зміни чисельності популяцій, є балансове співвідношення між різними групами у структурі популяцій під впливом факторів різної природи.
Одним з найпростіших прикладів таких моделей є робота Томаса Мальтуса «Досвід закону про народонаселення» (1797). Автор вплинув на формування концепції Чарльза Дарвіна про розуміння природного відбору як рушійної сили еволюції. У цій роботі модель мала вигляд звичайного скалярного лінійного диференціального рівняння зі сталим коефіцієнтом , де  — чисельність популяції в момент t, k  — інтенсивність народжуваності (смертності). Розв'язок рівняння має вигляд:.

Джерела Редагувати

  1. Хусаінов Д. Я., Харченко І. І., Шатирко А. В. Математичне моделювання динамічних процесів // Введення в моделювання динамічних систем, — Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2010. — с. 13-14
  2. Святний В. А. Проблеми паралельного моделювання складних динамічних систем // Наукові роботи Донецького національного технічного університету. Серія: Інформатика, кібернетика і обчислювальна техніка. Донецьк: ДонНТУ, 1999. № 6. — c. 2
  3. Лазарєв Ю. Ф. Динамічні системи // Моделювання динамічних систем у Matlab. — Київ: НТУУ «КПІ», 2011. — 48 c.
  4. Верлань А. А. Адаптаційні методи та засоби математичного моделювання процесів функціонування комп'ютерно-інтегрованих систем (стосовно до силових енергетичних установок) // Національна академія наук України. Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г. Є. Пухова. — 2019. — с. 3
  5. Лазарєв Ю. Ф. Динамічні системи // Моделювання динамічних систем у Matlab. — Київ: НТУУ «КПІ», 2011. — 49 c.
  6. Хусаінов Д. Я., Харченко І. І., Шатирко А. В. Математичне моделювання динамічних процесів // Введення в моделювання динамічних систем, — Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2010. — с. 4
  7. ↑ Хусаінов Д. Я., Харченко І. І., Шатирко А. В. Математичне моделювання динамічних процесів // Введення в моделювання динамічних систем, — Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2010. — с. 5
  8. Верлань А. А. Адаптаційні методи та засоби математичного моделювання процесів функціонування комп'ютерно-інтегрованих систем (стосовно до силових енергетичних установок) // Національна академія наук України. Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г. Є. Пухова. — 2019. — с. 83
  9. Верлань А. А. Адаптаційні методи та засоби математичного моделювання процесів функціонування комп'ютерно-інтегрованих систем (стосовно до силових енергетичних установок) // Національна академія наук України. Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г. Є. Пухова. — 2019. — с. 84
  10. Верлань А. А. Адаптаційні методи та засоби математичного моделювання процесів функціонування комп'ютерно-інтегрованих систем (стосовно до силових енергетичних установок) // Національна академія наук України. Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г. Є. Пухова. — 2019. — с. 85
  11. Хусаінов Д. Я., Харченко І. І., Шатирко А. В. Математичне моделювання динамічних процесів // Введення в моделювання динамічних систем, — Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2010. — с. 16
  12. I. О. Князь, А. М. Вітренко. Моделювання фізичних систем // Комп'ютерне моделювання динамічних систем. Суми: Сумський державний університет, 2011.— 83-84 с.
  13. Хусаінов Д. Я., Харченко І. І., Шатирко А. В. Моделі руху матеріальної точки та системи точок // Введення в моделювання динамічних систем, — Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2010. — с. 17
  14. Хусаінов Д. Я., Харченко І. І., Шатирко А. В. Математичні моделі в динаміці популяцій // Введення в моделювання динамічних систем, — Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2010. — с. 76
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Modelyuvannya dinamichnih sistem ce modelyuvannya povedinki dinamichnoyi sistemi v bud yakij dovilnij zminnij moment chasu 1 2 Model yak pravilo opisuyetsya sistemoyu zvichajnih diferencialnih rivnyan argumentom yakih ye chas Taka sistema vidobrazhaye realnij ob yekt lishe z deyakim nablizhennyam yake mozhe buti zadovilnim abo nezadovilnim dlya pevnogo doslidzhennya 3 4 5 Trivialnim prikladom ob yekta opisanogo za dopomogoyu diferencialnih rivnyan mozhe buti basejn yakij zapovnyuyetsya vodoyu z trub 6 Takozh pri modelyuvanni dinamichnih sistem vikoristovuyut riznicevi rivnyannya j sistemi rivnyan u vipadku koli zmina procesu vidbuvayetsya stribkopodibno abo diskretno Taki dinamichni procesi zustrichayutsya v onkologiyi dinamici populyacij ekonomici bankivskij spravi 7 Proces stvorennya matematichnoyi modeli dinamichnoyi sistemi mistit tri osnovni chastini Empirichna Teoretichna Matematichna V empirichnij chastini zibrani dani yaki buli otrimani zi sposterezhen ta eksperimentiv z cillyu doslidzhennya ob yekta Empirichni zakonomirnosti ta yavisha ob yednuyutsya u teoretichnij chastini za dopomogoyu rozvitku osnovnih koncepcij U matematichnij chastini konstruyuyutsya modeli dlya perevirki osnovnih matematichnih koncepcij Na comu etapi vidbuvayetsya proces obrobki eksperimentalnih danih planuvannya eksperimentiv ta sposterezhen Vazhliva perevaga metodiv modelyuvannya dinamichnih sistem polyagaye v tomu sho voni dozvolyayut rizko skorotiti obsyag i masshtabi naturnih eksperimentiv 7 Zmist 1 Ekvivalentni peretvorennya dinamichnih sistem 1 1 Metod peretvorennya z rozsheplennyam 1 2 Metod poslidovnogo integruvannya 2 Linijni ta nelinijni modeli dinamichnih sistem 2 1 Opis haotichnih sistem za dopomogoyu vidobrazhen 3 Prikladi 3 1 Skladannya rivnyan ruhu 3 2 Dinamika populyacij 4 DzherelaEkvivalentni peretvorennya dinamichnih sistem RedaguvatiV zadachah modelyuvannya vazhlivim punktom ye analiz vlastivostej i specifiki chiselnoyi realizaciyi Chasto mi otrimuyemo predstavlennya modeli vihodyachi z yiyi fizichnih vlastivostej Take podannya ne zavzhdi ye zruchnim dlya chiselnih eksperimentiv V modelyuvanni dinamichnih sistem vikoristovuyutsya metodi ekvivaletnogo peretvorennya a same peretvorennya diferencialnogo rivnyannya n displaystyle n nbsp go poryadku do sistemi diferencialnih rivnyan 1 go poryadku peretvorennya diferencialnih modelej v integralni modeli peretvorennya integralnoyi modeli Volterra drugogo rodu z yadrom sho rozdilyayetsya v diferencialnu model Metodi ekvivalentnogo peretvorennya diferencialnih modelej v integralni modeli vklyuchayut u sebe metod peretvorennya z rozsheplennyam metod poslidovnogo integruvannya metod starshoyi pohidnoyi 8 Metod peretvorennya z rozsheplennyam Redaguvati Nehaj podano zvichajne diferencialne rivnyannya sho opisuye model dinamichnogo tipu takim chinom D y y n x i 1 n a i y n 1 x f x y i 0 C i i 0 n 1 displaystyle D y y n x sum i 1 n a i y n 1 x f x y i 0 C i i overline 0 n 1 nbsp abo v operatornij formi D y f displaystyle D y f nbsp Dlya otrimannya ryadu ekvivalentnih zalezhnostej sho mistyat integralnij operator zastosovuyut prijom sho bazuyetsya na riznomanitnih rozsheplennyah vihidnogo diferencialnogo operatora Dijsno rozshiplyuyuchi operator D displaystyle D nbsp z vikoristannyam sumi dvoh operatoriv D D 1 D 2 displaystyle D D 1 D 2 nbsp otrimuyemo diferencialne rivnyannyaD y ps displaystyle D y psi nbsp de ps x f x D 2 y displaystyle psi x f x D 2 y nbsp Otzhe otrimayemo rozv yazok y D 1 1 ps displaystyle y D 1 1 psi nbsp Rozglyanemo danij metod detalnishe na prikladi rivnyannya yake zapishemo u viglyadi y n x i 1 n a i y n 1 x f x i m 1 n a i y n 1 x displaystyle y n x sum i 1 n a i y n 1 x f x sum i m 1 n a i y n 1 x nbsp Pislya zamini zminnih u x y n m x u x y n m 1 x u m x y n x displaystyle u x y n m x dot u x y n m 1 x u m x y n x nbsp otrimayemo rivnyannya m displaystyle m nbsp go poryadku u m x i 1 m a i u n 1 x ps x displaystyle u m x sum i 1 m a i u n 1 x psi x nbsp de ps x f x i m 1 n a i y n i x displaystyle psi x f x sum i m 1 n a i y n i x nbsp Koli mi perejdemo do ekvivalentnoyi sistemi diferencialnih rivnyan i vikoristayemo fundamentalnij rozv yazok stosovno kanonichnoyi sistemi diferencialnih rivnyan otrimuyemo rivnyannya z yadrom eksponencialnogo vidu u x e A t u 0 0 x e A s F a u s d s displaystyle u x e At u 0 int 0 x e As Phi a u s ds nbsp de u x u x u x u m x u 0 x u 0 u 0 u m 0 F a u s 0 0 ps x displaystyle u x dot u x ddot u x ldots u m x u 0 x dot u 0 ddot u 0 ldots u m 0 Phi a u s 0 0 ldots psi x nbsp Matricya A displaystyle A nbsp poryadku m displaystyle m nbsp matime viglyad A 0 1 0 0 0 0 a m a m 1 a 1 displaystyle A left begin array cccc 0 amp 1 amp ldots amp 0 0 amp 0 amp ldots amp 0 ldots amp ldots amp ldots amp ldots a m amp a m 1 amp ldots amp a 1 end array right nbsp Vrahuyemo zalezhnist y x 0 x 0 x u s d s 1 n m 1 a x x s n m 1 u s d s displaystyle y x int 0 x ldots int 0 x u s ds frac 1 n m 1 int a x x s n m 1 u s ds nbsp Todi legko bachiti sho ekvivalentne peretvorennya vidbuvayetsya shlyahom zmini znachennya m 1 n displaystyle m in overline 1 n nbsp 9 Metod poslidovnogo integruvannya Redaguvati Nehaj u metodi peretvorennya z rozsheplennyam zrobimo zaminu m n displaystyle m n nbsp Todi rozsheplennya operatora D displaystyle D nbsp zvoditsya do rozv yazannya vihidnogo rivnyannya vidnosno starshoyi pohidnoyi Pri comu rozv yazok rivnyannya polyagaye u poslidovnomu n displaystyle n nbsp kratnomu integruvanni v rezultati yakogo otrimayemo integralne rivnyannya vidu y x 0 x K x s y s d s F x displaystyle y x int 0 x K x s y s ds F x nbsp deK x s i 1 n q i x s i 1 i 1 displaystyle K x s sum i 1 n q i frac x s i 1 i 1 nbsp F x 0 t x s n 1 n 1 f s d s i 0 n 1 C i x i i C 0 i 1 n 1 q i x i i C 1 i 1 n 2 q i x i 1 i 1 C n 2 x n 1 n 1 displaystyle F x int 0 t frac x s n 1 n 1 f s ds sum i 0 n 1 C i frac x i i C 0 sum i 1 n 1 q i frac x i i ldots C 1 sum i 1 n 2 q i frac x i 1 i 1 ldots C n 2 frac x n 1 n 1 nbsp 10 Linijni ta nelinijni modeli dinamichnih sistem RedaguvatiLinijni dinamichni sistemi zazvichaj opisuyut sistemami linijnih zvichajnih diferencialnih rivnyan rivnyan u chastinnih pohidnih i linijnimi riznicevimi ta integralnimi rivnyannyami Dlya linijnih modelej tochni rozv yazki mozhna znajti v analitichnij formi Bilshe togo v deyakih vipadkah nelinijni procesi aproksimuyut linijnimi Nelinijni dinamichni sistemi nazivayutsya haotichnimi yaksho yihnya povedinka ye vipadkovoyu popri te sho vona viznachayetsya deterministichnimi zakonami 11 Opis haotichnih sistem za dopomogoyu vidobrazhen Redaguvati Nehaj d x 0 displaystyle delta x 0 nbsp neskinchenno mala vidstan mizh dvoma tochkami u fazovomu prostori yaki nalezhat riznim fazovim trayektoriyam u moment chasu t 0 displaystyle t 0 nbsp d x t displaystyle delta x t nbsp vidstan mizh cimi tochkami u moment chasu t displaystyle t nbsp Todi zapishemo nastupne d x t d x 0 exp l t displaystyle delta x t approx delta x 0 exp lambda t nbsp de parametr l displaystyle lambda nbsp nazivayetsya pokaznikom Lyapunova Yaksho l gt 0 displaystyle lambda gt 0 nbsp todi dvi fazovi trayektoriyi sho vihodyat z malogo okolu pevnoyi tochki prostoru z chasom rozhodyatsya z eksponencialnoyu shvidkistyu Iz spivvidnoshennya d x t d x 0 exp l t displaystyle delta x t approx delta x 0 exp lambda t nbsp otrimayemo formulu dlya rozrahunku pokaznika Lyapunova l lim N d x 0 0 1 t ln d x t d x 0 displaystyle lambda lim N to infty delta x 0 to 0 frac 1 t ln Big frac delta x t delta x 0 Big nbsp Cej pokaznik ye funkciyeyu pochatkovoyi koordinati u zagalnomu vipadku Rozglyad haotichnih dinamichnih sistem zruchno pochati z prostih prikladiv odnovimirnih diskretnih vidobrazhen yaki mayut viglyad x n 1 f x n displaystyle x n 1 f x n nbsp Ostatochnij viglyad formuli dlya rozrahunku pokaznika Lyapunova u vipadku odnovimirnogo vidobrazhennya podanogo vishe ye takim l lim N 1 N i 0 N 1 ln f x i displaystyle lambda lim N to infty frac 1 N sum i 0 N 1 ln dot f x i nbsp 12 Prikladi RedaguvatiSkladannya rivnyan ruhu Redaguvati Rozglyanemo sukupnist n materialnih tochok Yak vidomo polozhennya tochki u prostori viznachayetsya yiyi radius vektorom r x y z displaystyle overrightarrow r x y z nbsp Shob viznachiti polozhennya sistemi n materialnih tochok u prostori treba znati n radius vektoriv abo 3n koordinat Kilkist nezalezhnih velichin sho viznachayut polozhennya sistemi u prostori nazivayetsya kilkistyu stepeniv vilnosti sistemi U zagalnomu vipadku ce mozhut buti j nedekartovi koordinati polyarni sferichni tosho Navedemo priklad mehanichnoyi sistemi z odnim stepenem vilnosti Odnim iz zagalnih principiv sho dozvolyaye pobuduvati rivnyannya ruhu tobto stvoriti matematichnu model funkcionuvannya dinamichnoyi sistemi ye princip najmenshoyi diyi Gamiltona Zgidno iz nim kozhna mehanichna sistema harakterizuyetsya deyakoyu viznachenoyu funkciyeyu L q q t displaystyle L q dot q t nbsp de q uzagalneni koordinati q displaystyle dot q nbsp uzagalnena shvidkist t moment chasu 13 Dinamika populyacij Redaguvati Navedemo priklad populyaciyi yaka ye izolovanoyu Populyaciyeyu ye sukupnist individiv sho mozhut davati potomstvo j piddayutsya vplivu odnakovih vnutrishnih i zovnishnih faktoriv Pripustimo sho areal yih prozhivannya obmezhenij Osnovnim pripushennyam sho vikoristovuyetsya pri pobudovi matematichnih modelej dinamiki zmini chiselnosti populyacij ye balansove spivvidnoshennya mizh riznimi grupami u strukturi populyacij pid vplivom faktoriv riznoyi prirodi Odnim z najprostishih prikladiv takih modelej ye robota Tomasa Maltusa Dosvid zakonu pro narodonaselennya 1797 Avtor vplinuv na formuvannya koncepciyi Charlza Darvina pro rozuminnya prirodnogo vidboru yak rushijnoyi sili evolyuciyi U cij roboti model mala viglyad zvichajnogo skalyarnogo linijnogo diferencialnogo rivnyannya zi stalim koeficiyentom x t k x t x 0 x 0 gt 0 displaystyle dot x t kx t x 0 x 0 gt 0 nbsp de x t displaystyle x t nbsp chiselnist populyaciyi v moment t k intensivnist narodzhuvanosti smertnosti Rozv yazok rivnyannya maye viglyad x t x 0 e k t t 0 displaystyle x t x 0 e kt t geq 0 nbsp 14 Dzherela Redaguvati Husainov D Ya Harchenko I I Shatirko A V Matematichne modelyuvannya dinamichnih procesiv Vvedennya v modelyuvannya dinamichnih sistem Kiyivskij nacionalnij universitet imeni Tarasa Shevchenka 2010 s 13 14 Svyatnij V A Problemi paralelnogo modelyuvannya skladnih dinamichnih sistem Naukovi roboti Doneckogo nacionalnogo tehnichnogo universitetu Seriya Informatika kibernetika i obchislyuvalna tehnika Doneck DonNTU 1999 6 c 2 Lazaryev Yu F Dinamichni sistemi Modelyuvannya dinamichnih sistem u Matlab Kiyiv NTUU KPI 2011 48 c Verlan A A Adaptacijni metodi ta zasobi matematichnogo modelyuvannya procesiv funkcionuvannya komp yuterno integrovanih sistem stosovno do silovih energetichnih ustanovok Nacionalna akademiya nauk Ukrayini Institut problem modelyuvannya v energetici im G Ye Puhova 2019 s 3 Lazaryev Yu F Dinamichni sistemi Modelyuvannya dinamichnih sistem u Matlab Kiyiv NTUU KPI 2011 49 c Husainov D Ya Harchenko I I Shatirko A V Matematichne modelyuvannya dinamichnih procesiv Vvedennya v modelyuvannya dinamichnih sistem Kiyivskij nacionalnij universitet imeni Tarasa Shevchenka 2010 s 4 a b Husainov D Ya Harchenko I I Shatirko A V Matematichne modelyuvannya dinamichnih procesiv Vvedennya v modelyuvannya dinamichnih sistem Kiyivskij nacionalnij universitet imeni Tarasa Shevchenka 2010 s 5 Verlan A A Adaptacijni metodi ta zasobi matematichnogo modelyuvannya procesiv funkcionuvannya komp yuterno integrovanih sistem stosovno do silovih energetichnih ustanovok Nacionalna akademiya nauk Ukrayini Institut problem modelyuvannya v energetici im G Ye Puhova 2019 s 83 Verlan A A Adaptacijni metodi ta zasobi matematichnogo modelyuvannya procesiv funkcionuvannya komp yuterno integrovanih sistem stosovno do silovih energetichnih ustanovok Nacionalna akademiya nauk Ukrayini Institut problem modelyuvannya v energetici im G Ye Puhova 2019 s 84 Verlan A A Adaptacijni metodi ta zasobi matematichnogo modelyuvannya procesiv funkcionuvannya komp yuterno integrovanih sistem stosovno do silovih energetichnih ustanovok Nacionalna akademiya nauk Ukrayini Institut problem modelyuvannya v energetici im G Ye Puhova 2019 s 85 Husainov D Ya Harchenko I I Shatirko A V Matematichne modelyuvannya dinamichnih procesiv Vvedennya v modelyuvannya dinamichnih sistem Kiyivskij nacionalnij universitet imeni Tarasa Shevchenka 2010 s 16 I O Knyaz A M Vitrenko Modelyuvannya fizichnih sistem Komp yuterne modelyuvannya dinamichnih sistem Sumi Sumskij derzhavnij universitet 2011 83 84 s Husainov D Ya Harchenko I I Shatirko A V Modeli ruhu materialnoyi tochki ta sistemi tochok Vvedennya v modelyuvannya dinamichnih sistem Kiyivskij nacionalnij universitet imeni Tarasa Shevchenka 2010 s 17 Husainov D Ya Harchenko I I Shatirko A V Matematichni modeli v dinamici populyacij Vvedennya v modelyuvannya dinamichnih sistem Kiyivskij nacionalnij universitet imeni Tarasa Shevchenka 2010 s 76 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Dinamichne modelyuvannya amp oldid 38251568