Гіпотеза Ердеша про арифметичні прогресії — припущення в (адитивній комбінаториці), сформульоване (Палом Ердешем), згідно з яким у випадку, якщо сума обернених величин додатних натуральних чисел деякої множини розбіжна, то множина містить як завгодно довгі (арифметичні прогресії).
Формально, якщо:
- ,
тобто — [en], то містить арифметичну прогресію будь-якої наперед заданої довжини.
За доведення гіпотези (Ердеш) обіцяв свого часу премію 3 тис. доларів США; станом на 2008 рік було встановлено премію 5 тис. доларів США.
Зв'язок з іншими твердженнями
Наслідки з гіпотези
Гіпотеза Ердеша є узагальненням (теореми Семереді) (оскільки ряд розбіжний як (гармонійний)), а також (теореми Ґріна — Тао) (оскільки сума
, де підсумовування ведеться за простими числами, також розбіжна).
Твердження, з яких випливає гіпотеза
Через еквівалентність розбіжності , гіпотезу Ердеша можна буде довести, якщо буде доведено, що
.
Однак на даний момент[] доведено лише, що , де
, а також, в окремому випадку
, що
.
Примітки
- Гіпотезу іноді плутають із [en]
- . To Prove and Conjecture: Paul Erdős and His Mathematics // (American Mathematical Monthly) : journal. — 1988. — Vol. 105, no. 3 (3). — P. 233.
- Soifer, Alexander (2008); The Mathematical Coloring Book: Mathematics of Coloring and the Colorful Life of its Creators; New York: Springer. p. 354.
- М. Айгнер, Г. Циглер, «Доказательства из книги» — М. «Мир», 2006, стр. 13
- Шкредов, 2006, с. 115—116.
Посилання
- P. Erdős: Résultats et problèmes en théorie de nombres, Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres, Fasc 2., Exp. No. 24, pp. 7. Архівовано квітень 28, 2016 на сайті Wayback Machine.
- P. Erdős: Problems in number theory and combinatorics, Proc. Sixth Manitoba Conf. on Num. Math., Congress Numer. XVIII(1977), 35-58.
- P. Erdős: On the combinatorial problems which I would most like to see solved, Combinatorica, 1(1981), 28. DOI:10.1007/BF02579174
- И. Д. Шкредов. Теорема Семереди и задачи об арифметических прогрессиях // УМН. — 2006. — Вип. 6(372). — С. 111—178.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет