Аналітичний простір

Аналіти́чний про́стір — це окільцьований простір, локально влаштований як аналітична множина.

Загальний опис

Аналітичний простір — це окільцьований простір, такий, що кожна точка ${\displaystyle x\in X}$ має відкритий окіл U, для якого ${\displaystyle (U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U})}$ ізоморфний деякій аналітичній множині ${\displaystyle (A,({\mathcal {O}}_{B}/{\mathcal {I}})|_{A})}$, отриманій з когерентного пучка ідеалів ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset {\mathcal {O}}_{B}}$ голоморфних функцій у деякій області B. Зокрема, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ є когерентним пучком локальних ${\displaystyle \mathbb {C} }$-алгебр. Наприклад, коли ${\displaystyle {\mathcal {I}}=0}$ для всіх обраних U, то ${\displaystyle (U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U})\cong (B,{\mathcal {O}}_{B})}$ і аналітичний простір є (комплексним) аналітичним многовидом. Якщо для локальної моделі ${\displaystyle A\subset B}$ маємо ${\displaystyle {\mathcal {I}}={\mathcal {I}}_{A}}$ — когерентний пучок ідеалів, що з відкритою підмножиною ${\displaystyle V\subset B}$ пов'язує ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{A}(V)=\{f\in {\mathcal {O}}_{B}(V)\mid f(A\cap V)=0\}}$, то аналітичний простір називається зведеним. Оскільки ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{B}/{\mathcal {I}}_{A}}$ вкладається в пучок ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{A}}$ неперервних функцій на A, то для зведеного аналітичного простору ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\subset {\mathcal {C}}_{X}}$. Для кожного пучка комутативних кілець ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ на X позначимо ${\displaystyle {\mathfrak {n}}({\mathcal {R}})\subset {\mathcal {R}}}$ його нільрадикал, а саме: ${\displaystyle {\mathfrak {n}}({\mathcal {R}})_{x}={\mathfrak {n}}({\mathcal {R}}_{x})}$ — ідеал нільпотентних елементів в ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{x}}$, ${\displaystyle x\in X}$. Для зведеного аналітичного простору ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ маємо ${\displaystyle {\mathfrak {n}}({\mathcal {O}}_{X})=0}$. Для довільного аналітичного простору ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ визначимо його зведення як ${\displaystyle \mathrm {red} \,X=(X,\mathrm {red} \,{\mathcal {O}}_{X})}$, де ${\displaystyle \mathrm {red} \,{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{X}/{\mathfrak {n}}({\mathcal {O}}_{X})}$.

Морфізми аналітичних просторів

Морфізми аналітичних просторів ${\displaystyle f:(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$ — це морфізми окільцьованих просторів, тобто пари ${\displaystyle (f,{\tilde {f}})}$, де ${\displaystyle f:X\to Y}$ — неперервне відображення топологічних просторів, а ${\displaystyle {\tilde {f}}:{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}({\mathcal {O}}_{X})}$ - гомоморфізм пучків ${\displaystyle \mathbb {C} }$-алгебр. Наприклад, для довільного аналітичного простору ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ морфізм зведення ${\displaystyle \mathrm {Red} :\mathrm {red} \,X\to X}$ складається з тотожного відображення ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$ і канонічної проєкції ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}/{\mathfrak {n}}({\mathcal {O}}_{x})}$. ${\displaystyle \mathrm {red} }$ є функтором з категорії аналітичних просторів до повної підкатегорії зведених аналітичних просторів і ${\displaystyle \mathrm {Red} :\mathrm {red} \to \mathrm {Id} }$ є природним перетворенням. Морфізм зведених аналітичних просторів допускає простий опис: це неперервне відображення ${\displaystyle f:X\to Y}$, таке, що для кожної точки ${\displaystyle x\in X}$ і кожного ${\displaystyle h\in {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\subset {\mathcal {C}}_{Y,f(x)}}$, що розглядається як паросток неперервної функції, паросток ${\displaystyle h\circ f\in {\mathcal {C}}_{X,x}}$ належить ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$.

Властивості

Аналогічні означення (але не результати) формулюються над іншими повними полями k з недискретним нормуванням. Для ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ йдеться про дійсні аналітичні функції, дійсні аналітичні простори, тощо. Властивість ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{A}=\mathrm {rad} \,{\mathcal {I}}}$ притаманна лише алгебрично замкненим полям k. Тому у випадку ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ лише зведені дійсні аналітичні простори наповнені геометричним змістом. Крім того, структурний пучок ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ на дійсному аналітичному просторі не обов'язково є когерентним.

Аналітичні підмножини A комплексних аналітичних просторів ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ визначаються як носії ${\displaystyle (A=\mathrm {supp} \,({\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}),{\mathcal {O}}_{A}={\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}})}$ для когерентного пучка ідеалів ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$. Вони самі є аналітичними просторами і можуть бути задані локальними рівняннями (теорема Картана-Ока): нехай A — замкнена підмножина X і для довільної точки ${\displaystyle a\in A}$ існують такий окіл ${\displaystyle V\ni x}$ в X і такі елементи ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{q}\in {\mathcal {O}}_{X}(V)}$, що ${\displaystyle A\cap V=\{x\in V\mid f_{1}(x)=\dots =f_{q}(x)=0\}}$. Тут f(x) визначена як ${\displaystyle (\mathrm {Red} \,f)(x)}$. Тоді A є аналітичною множиною, а саме носієм ${\displaystyle \mathrm {supp} \,({\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}_{A})}$ для когерентного ідеалу ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{A}(U)=\{f\in {\mathcal {O}}_{X}(U)\mid (\mathrm {Red} \,f)(A\cap U)=0\}}$, де U відкрита в X. Наприклад, множина S особливих точок ${\displaystyle x\in X}$ (тих, що не є регулярними) аналітична.

Для кожної точки аналітичного простору ${\displaystyle x\in X}$ стебло ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ є аналітичною локальною k-алгеброю, тобто факторалгеброю ${\displaystyle K_{m}/I=K_{m}/(f_{1},\dots ,f_{q})}$ нетерової алгебри ${\displaystyle K_{m}}$ збіжних рядів від m змінних. Скінченнопороджений модуль M над ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ має вимірність Шевале ${\displaystyle \mathrm {dim} _{{\mathcal {O}}_{X,x}}\,M\in \mathbb {N} }$, це найменша довжина d набору ${\displaystyle a_{1}}$, \dots, ${\displaystyle a_{d}\in {\mathfrak {m}}_{x}}$ (${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ — максимальний ідеал ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$) такого, що ${\displaystyle M/(a_{1},\dots ,a_{d})M}$ — скінченновимірний k-векторний простір. Зокрема, ${\displaystyle \mathrm {dim} \,{\mathcal {O}}_{X,x}=\mathrm {dim} _{{\mathcal {O}}_{X,x}}\,{\mathcal {O}}_{X,x}\leq m}$. Глобальна вимірність X - це ${\displaystyle \mathrm {dim} \,X=\mathrm {sup} _{x\in X}\,\mathrm {dim} \,{\mathcal {O}}_{X,x}}$. Для незвідної аналітичної множини A функція ${\displaystyle x\mapsto \mathrm {dim} \,{\mathcal {O}}_{A,x}}$ постійна на A (і приймає значення ${\displaystyle \mathrm {dim} \,A}$). У кодотичного простору ${\displaystyle T_{x}^{*}={\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$ вимірність ${\displaystyle \mathrm {dim} _{k}T_{x}^{*}\geq \mathrm {dim} \,{\mathcal {O}}_{X,x}}$. Точка x аналітичного простору X називається неособливою (або регулярною), якщо існує окіл ${\displaystyle U\ni x}$ такий, що локальна модель ${\displaystyle (U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U})}$ ізоморфна області ${\displaystyle (B,{\mathcal {O}}_{B})}$ в ${\displaystyle k^{m}}$. Ця умова еквівалентна рівності ${\displaystyle \mathrm {dim} _{k}T_{x}^{*}=\mathrm {dim} \,{\mathcal {O}}_{X,x}}$. Якщо X зведений, то множина S особливих точок ніде не щільна в X, отже має ковимірність ${\displaystyle \mathrm {codim} _{x}\,S=\mathrm {dim} \,{\mathcal {O}}_{X,x}-\mathrm {dim} \,{\mathcal {O}}_{S,x}}$ щонайменше 1 в кожній точці ${\displaystyle x\in S}$. Множина S особливих точок аналітичного простору X порожня тоді і лише тоді, коли X — аналітичний многовид. Якщо ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$, для достатньо малої ${\displaystyle B\subset \mathbb {C} ^{m}}$ і відповідної локальної моделі ${\displaystyle X\supset A\subset B}$ топологічна вимірність ${\displaystyle \mathrm {dim} \,\mathrm {top} \,A=2\mathrm {dim} \,A}$.

Непорожня аналітична множина A комплексного аналітичного простору X називається незвідною, якщо вона не є об'єднанням аналітичних множин ${\displaystyle B\neq A}$ та ${\displaystyle C\neq A}$. Кожна аналітична множина A в X єдиним чином розкладається в об'єднання непорожніх незвідних аналітичних множин ${\displaystyle A=\cup _{i\in I}A_{i}}$ таких, що (1) сім'я ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ локально скінченна в X; (2) для кожної пари ${\displaystyle i,j\in I}$, ${\displaystyle i\neq j}$, перетин ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}}$ ніде не щільний в ${\displaystyle A_{i}}$. Множини ${\displaystyle A_{i}}$ називаються незвідними компонентами множини A.

Один з класів комплексних аналітичних просторів становлять простори Штайна ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ — такі, що для кожного когерентного пучка ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-модулів ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ маємо ${\displaystyle H^{q}(X,{\mathcal {S}})=0}$ при ${\displaystyle q\geq 1}$. Для аналітичних просторів X зі зліченною базою топології штайновість еквівалентна умові ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {I}})=0}$ для кожного когерентного пучка ідеалів ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset {\mathcal {O}}_{X}}$. Штайновість аналітичного простору X еквівалентна штайновості його зведення ${\displaystyle \mathrm {red} \,X}$. Близькість теорії просторів Штайна до аналізу і топології ілюструється принципом Ока: на зведеному просторі Штайна голоморфні задачі, які можуть бути сформульовані в термінах когомологій, (задачі Кузена тощо) мають голоморфний розв'язок тоді і лише тоді, коли вони мають неперервний розв'язок.

Див. також

• Аналітичний многовид

Література

• Велика українська енциклопедія

• Abhyankar S. S., Local analytic geometry, Pure and Applied Mathematics, vol. XIV, Academic Press, New York-London, 1964.

• Gunning R. C., Rossi H., Analytic functions of several complex variables, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1965.

• Grauert H., Remmert R., Analytische Stellenalgebren, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 176, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1971.

• Grauert H., Remmert R., Theorie der Steinschen Räume, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 227, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977.