В математичній оптимізації, умовна оптимізація — це процес оптимізації цільової функції щодо деяких змінних за наявності обмежень на ці змінні. Цільова фукнція це або функція втрат або (функція енергії), яку треба мінімізувати, або функція винагороди або функція корисності, яку треба максимізувати. Обмеження це або жорсткі обмеження, які встановлюють умови на змінні, які мають бути дотримані, або м'які обмеження, які встановлють штрафи на деякі значення змінних в цільовій функції, якщо (і наскільки) ці обмеження не дотримані.
Визначення
Нехай — відкрита множина і на G задані функції . Позначимо через таку, що , де рівняння називають рівняннями зв'язків.
Нехай на G визначена функція . Точка називається точкою умовного екстремуму функції щодо рівнянь зв'язку, якщо вона є точкою звичайного екстремуму на множині E (розглядаються околи ).
Метод множників Лагранжа для розв’язання задачі умовного екстремуму
Теорема
Припустимо, що неперервно диференційовні, і нехай - точка умовного екстремуму функції при виконанні рівнянь зв'язків. Тоді в цій точці градієнти є лінійно залежні, тобто але .
Наслідок
Якщо - точка умовного екстремуму функції відносно рівнянь зв’язку, то такі, що в точці або в координатному вигляді .
Достатня умова умовного екстремуму
Нехай — це стаціонарна точка функції Лагранжа при . Якщо - від'ємно (додатнью) визначена квадратична форма змінних при умові , то є точкою max (min для додатньо визначенної) умовного екстремуму. Якщо вона за цих умов не є знаковизначенною, тоді екстремуму немає.
Див. також
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V matematichnij optimizaciyi umovna optimizaciya ce proces optimizaciyi cilovoyi funkciyi shodo deyakih zminnih za nayavnosti obmezhen na ci zminni Cilova fuknciya ce abo funkciya vtrat abo funkciya energiyi yaku treba minimizuvati abo funkciya vinagorodi abo funkciya korisnosti yaku treba maksimizuvati Obmezhennya ce abo zhorstki obmezhennya yaki vstanovlyuyut umovi na zminni yaki mayut buti dotrimani abo m yaki obmezhennya yaki vstanovlyut shtrafi na deyaki znachennya zminnih v cilovij funkciyi yaksho i naskilki ci obmezhennya ne dotrimani ViznachennyaNehaj G Rn displaystyle G subset R n vidkrita mnozhina i na G zadani funkciyi yi fi x x G i 1 2 m displaystyle y i f i vec x vec x in G i 1 2 m Poznachimo cherez E G displaystyle E subset G taku sho E x G fi x 0 i 1 2 m displaystyle E lbrace vec x in G f i vec x 0 i 1 2 m rbrace de rivnyannya fi x 0 i 1 2 m displaystyle f i vec x 0 i 1 2 m nazivayut rivnyannyami zv yazkiv Nehaj na G viznachena funkciya y f0 x displaystyle y f 0 vec x Tochka x 0 E displaystyle vec x 0 in E nazivayetsya tochkoyu umovnogo ekstremumu funkciyi y f0 x displaystyle y f 0 vec x shodo rivnyan zv yazku yaksho vona ye tochkoyu zvichajnogo ekstremumu f0 x displaystyle f 0 vec x na mnozhini E rozglyadayutsya okoli UE x 0 UG x 0 E displaystyle U E vec x 0 U G vec x 0 bigcap E Metod mnozhnikiv Lagranzha dlya rozv yazannya zadachi umovnogo ekstremumuTeorema Pripustimo sho fi i 0 1 m displaystyle f i i 0 1 ldots m neperervno diferencijovni i nehaj x 0 displaystyle vec x 0 tochka umovnogo ekstremumu funkciyi f0 x displaystyle f 0 vec x pri vikonanni rivnyan zv yazkiv Todi v cij tochci x 0 displaystyle vec x 0 gradiyenti fi i 0 1 m displaystyle nabla f i i 0 1 m ye linijno zalezhni tobto li i 0 1 m i 0m li 0 displaystyle exists lambda i i 0 1 m sum i 0 m lambda i neq 0 ale i 0mli fi 0 displaystyle sum i 0 m lambda i nabla f i vec 0 Naslidok Yaksho x 0 displaystyle vec x 0 tochka umovnogo ekstremumu funkciyi f0 x displaystyle f 0 vec x vidnosno rivnyan zv yazku to l1 lm displaystyle exists lambda 1 lambda m taki sho v tochci x 0 f0 l1 f1 lmfm 0 displaystyle vec x 0 nabla f 0 lambda 1 nabla f 1 lambda m f m vec 0 abo v koordinatnomu viglyadi f0 x1 x 0 l1 f1 x1 x 0 lm fm x1 x 0 0 displaystyle frac partial f 0 partial x 1 vec x 0 lambda 1 frac partial f 1 partial x 1 vec x 0 lambda m frac partial f m partial x 1 vec x 0 0 Dostatnya umova umovnogo ekstremumu Nehaj x 0 displaystyle vec x 0 ce stacionarna tochka funkciyi Lagranzha L f l x displaystyle L vec f vec lambda vec x pri l l 0 displaystyle lambda vec lambda 0 Yaksho d2L x 0 displaystyle d 2 L vec x 0 vid yemno dodatnyu viznachena kvadratichna forma zminnih dx1 dxn displaystyle dx 1 dx n pri umovi df1 x i 0 i 1 m displaystyle df 1 vec x i 0 i 1 m to x 0 displaystyle vec x 0 ye tochkoyu max min dlya dodatno viznachennoyi umovnogo ekstremumu Yaksho vona za cih umov ne ye znakoviznachennoyu todi ekstremumu nemaye Div takozhKlasichna zadacha na umovnij ekstremum Ekstremum