www.wikidata.uk-ua.nina.az

Невирішувана головоломка інша назва Головоломка суми та множення це головоломка яка називається невирішуваною бо їх наче

Невирішувана головоломка

Невирішувана головоломка, інша назва Головоломка суми та множення — це головоломка, яка називається «невирішуваною», бо їх наче не достатньо інформації для вирішення. Вона вперше була надрукована в 1969 році Гансом Фройденталем,, а назву Невирішувана головоломка отримала від Мартіна Гарднера. Головоломка насправді вирішувана, хоча і не легко. Існує багато схожих версій головоломок.

Головоломка ред.

X та Y є два різні цілі числа, більші за 1, сума яких менше 100. S та P — два математики; S знає суму X+Y, P знає результат множення X*Y, і обидва знають інформацію у цих двох твердженнях. Відбувається така розмова:

  • P каже «Я не можу вгадати ці два числа.»
  • S каже «Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш. Я їх теж не можу вгадати.»
  • P каже «Тоді, я їх знаю.»
  • S каже «Якщо ти можеш їх вгадати, то і я їх знаю.»

Що це за два числа?

Рішення ред.

У рішенні X та Y дорівнюють 4 та 13 (або навпаки), коли P знає, що результат множення 52, а S знає, що сума — 17.

Спочатку P не знає рішення, бо

а S знає, що P не знає рішення, оскільки всі можливі пари чисел, сума яких дорівнює 17, також дають неоднозначні результати множення. Однак кожен може отримати рішення шляхом відкидання інших варіантів, беручи до уваги твердження опонента, і це достатньо, щоб читач знайшов рішення в наданих обмеженнях.

Детальне рішення ред.

Математик P

P знає, що результат множення p=52. P має варіанти (2,26) та (4,13). Тому P знає, що сума s=28 або s=17.

Якщо s=28:

Якщо s=17:

Тому, коли S каже «Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш», P відкидає (2,26) та розуміє, що відповідь — (4,13).

Математик S

S знає, що сума s=17. S має варіанти (2,15), (3,14), (4,13), (5,12), (6,11), (7,10) та (8,9). Тому S знає, що результат множення p може бути 30, 42, 52, 60, 66, 70 або 72.

Коли P каже «Тоді, я їх знаю», S розуміє, що його попереднє твердження відкинуло для P всі варіанти крім одного.

S повторює хід думки P

Варіант 1 (p=30)

P знає, що p=30. P має варіанти (2,15), (3,10) та (5,6). P знає, що s дорівнює 17, 13 або 11.

Якщо s=17:

Якщо s=13:

Якщо s=11:

Тому, коли S каже "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш", P відкидає (3,10), але не може вирішити між (2,15) та (5,6).
Варіант 2 (p=42)

P знає, що p=42. P має варіанти (2,21), (3,14) та (6,7). Отже P знає, що сума s - 23, 17 або 13.

Якщо s=23:

Якщо s=17:

Якщо s=13:

Тому, коли S каже "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш", P відкидає (6,7), але не може вирішити між (2,21) та (3,14).
Варіант 3 (p=52)
Див. розмірковування математика P вище.
Варіант 4 (p=60)

P знає, що p=60. P має варіанти (2,30), (3,20), (4,15), (5,12) та (6,10). Отже, P знає, що сума s - 32, 23, 19, 17 або 16.

Якщо s=32:

Якщо s=23:

Якщо s=19:

Якщо s=17:

Якщо s=16:

Тому, коли S каже "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш", P відкидає (2,30), (4,15) та (6,10), але не може вирішити між (3,20) та (5,12).
Варіант 5 (p=66)

P знає, що p=66. P має варіанти (2,33), (3,22) та (6,11). Отже, P знає, що сума s - 35, 25 або 17.

Якщо s=35:

Якщо s=25:

Якщо s=17:

Тому, коли S каже "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш", P відкидає (3,22), але не може вирішити між (2,33) та (6,11).
Варіант 6 (p=70)

P знає, що p=70. P має варіанти (2,35), (5,14) та (7,10). Отже, P знає, що сума s - 37, 19 або 17.

Якщо s=37:

Якщо s=19:

Якщо s=17:

Тому, коли S каже "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш", P відкидає (5,14), але не може вирішити між (2,35) та (7,10).
Варіант 7 (p=72)

P знає, що p=72. P має варіанти (2,36), (3,24), (4,18), (6,12) та (8,9). P знає, що сума s - 38, 27, 22, 18 або 17.

Якщо s=38:

Якщо s=27:

Якщо s=22:

Якщо s=18:

Якщо s=17:

Тому, коли S каже "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш", P відкидає (2,36), (4,18) та (6,12), але не може вирішити між (3,24) та (8,9).

Лише варіант 3 виключає всі, крім однієї можливості для P. Так S вирішує, що (4,13) є відповіддю.


Вищенаведене рішення є підтвердженням, а не вирішенням. Воно підтверджує, що якщо P повідомили число 52, а S повідомили число 17, тоді і P визначить пару чисел, і S визначить цю пару чисел. Однак воно не доводить, що (4,13) є єдиною відповіддю. Коли є відповідь на друге питання, (тобто S каже «Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш»), чи справді 52 це результат множення, який отримав P?

Відповідь — так. Для отримання відповіді можна використати книгу excel. Якщо x та y — це загадані числа, двома рівняннями будуть x+y=s та x*y=p. Підставляючи замість y, отримаємо x2-s*x+p=0. В книзі excel відбувається пошук цілих чисел для заданих значень s та p.

Код мовою Python ред.

Нижче наведено код мовою програмування Python, який доводить, що вищенаведене рішення є унікальним. 

 limit = 100 #до їх розмови будь-яке x*y де 1<x<y<x+y<limit дозволено як P PAllowed1 = {} for x in range(2, limit): for y in range(x+1, limit-x): if x*y not in PAllowed1: PAllowed1[x*y] = 1 else: PAllowed1[x*y] += 1 # коли P каже "Я не знаю", дозволені лише P з PAllowed1[P]>1  SNotAllowed1 = {} for x in range(2, limit): for y in range(x+1, limit-x): if PAllowed1[x*y] == 1 : SNotAllowed1[x+y] = 1 # коли S каже "Я не знаю", дозволені лише ті S, що лежать в площині SNotAllowed1 PAllowed2 = {} for n in range(2, limit): if n not in SNotAllowed1: for x in range(2, n//2+1): p = x * (n-x) if p in PAllowed1 and PAllowed1[p] > 1: if p in PAllowed2: PAllowed2[p] += 1 else: PAllowed2[p] = 1 # дозволені лише ті P, що можуть бути поділені на два числа x,y де x+y дозволено лише в одному варіанті, тоюто PAllowed2[P]==1  SAllowed2 = {} for n in range(2, limit): if n not in SNotAllowed1: for x in range(2, n//2+1): if x*(n-x) in PAllowed2 and PAllowed2[x*(n-x)] == 1: if n in SAllowed2: SAllowed2[n] += 1 else: SAllowed2[n] = 1 # оскільки S тепер знає відповідь, то поділ може бути здійснений лише в одному варіанті - S, де SAllowed2[S]==1 for n in SAllowed2: if SAllowed2[n] == 1: for x in range(2, n//2+1): if x*(n-x) in PAllowed2 and PAllowed2[x*(n-x)] == 1: print '(S,P) = ( %d , %d ), (x,y)= ( %d , %d )' % (n, x*(n-x), x, n-x)

Код мовою Scala ред.

Нижче наведено код мовою програмування Scala, який доводить, що вищенаведене рішення є унікальним. 

object ImpossiblePuzzle extends App {  type XY = (Int, Int)  val step0 = for {  x <- 1 to 100  y <- 1 to 100  if 1 < x && x < y && x + y < 100  } yield (x, y)  def sum(xy: XY) = xy._1 + xy._2  def prod(xy: XY) = xy._1 * xy._2  def sumEq(xy: XY) = step0 filter { sum(_) == sum(xy) }  def prodEq(xy: XY) = step0 filter { prod(_) == prod(xy) }    val step2 = step0 filter { sumEq(_) forall { prodEq(_).size != 1 }}  val step3 = step2 filter { prodEq(_).intersect(step2).size == 1 }  val step4 = step3 filter { sumEq(_).intersect(step3).size == 1 }  println(step4) }

Див. також ред.

Примітки ред.

  1. Ганс Фройденталь, Nieuw Archief Voor Wiskunde, Series 3, Volume 17, 1969, page 152
  2. Гарднер, Мартін (December 1979). Mathematical Games: A Pride of Problems, Including One That Is Virtually Impossible. Scientific American. 241: 22–30. .

Посилання ред.

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Nevirishuvana golovolomka insha nazva Golovolomka sumi ta mnozhennya ce golovolomka yaka nazivayetsya nevirishuvanoyu bo yih nache ne dostatno informaciyi dlya virishennya Vona vpershe bula nadrukovana v 1969 roci Gansom Frojdentalem 1 a nazvu Nevirishuvana golovolomka otrimala vid Martina Gardnera 2 Golovolomka naspravdi virishuvana hocha i ne legko Isnuye bagato shozhih versij golovolomok Zmist 1 Golovolomka 2 Rishennya 3 Detalne rishennya 4 Kod movoyu Python 5 Kod movoyu Scala 6 Div takozh 7 Primitki 8 PosilannyaGolovolomka red X ta Y ye dva rizni cili chisla bilshi za 1 suma yakih menshe 100 S ta P dva matematiki S znaye sumu X Y P znaye rezultat mnozhennya X Y i obidva znayut informaciyu u cih dvoh tverdzhennyah Vidbuvayetsya taka rozmova P kazhe Ya ne mozhu vgadati ci dva chisla S kazhe Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Ya yih tezh ne mozhu vgadati P kazhe Todi ya yih znayu S kazhe Yaksho ti mozhesh yih vgadati to i ya yih znayu Sho ce za dva chisla Rishennya red U rishenni X ta Y dorivnyuyut 4 ta 13 abo navpaki koli P znaye sho rezultat mnozhennya 52 a S znaye sho suma 17 Spochatku P ne znaye rishennya bo 52 4 13 2 26a S znaye sho P ne znaye rishennya oskilki vsi mozhlivi pari chisel suma yakih dorivnyuye 17 takozh dayut neodnoznachni rezultati mnozhennya Odnak kozhen mozhe otrimati rishennya shlyahom vidkidannya inshih variantiv beruchi do uvagi tverdzhennya oponenta i ce dostatno shob chitach znajshov rishennya v nadanih obmezhennyah Detalne rishennya red Matematik PP znaye sho rezultat mnozhennya p 52 P maye varianti 2 26 ta 4 13 Tomu P znaye sho suma s 28 abo s 17 Yaksho s 28 S matime varianti 2 26 3 25 4 24 5 23 6 22 7 21 8 20 9 19 10 18 11 17 12 16 ta 13 15 S znatime sho yaksho 5 23 abo 11 17 P znatime ci chisla S ne zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Yaksho s 17 S matime varianti 2 15 3 14 4 13 5 12 6 11 7 10 ta 8 9 S znatime sho P ne znatime ci chisla S zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Tomu koli S kazhe Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh P vidkidaye 2 26 ta rozumiye sho vidpovid 4 13 Matematik SS znaye sho suma s 17 S maye varianti 2 15 3 14 4 13 5 12 6 11 7 10 ta 8 9 Tomu S znaye sho rezultat mnozhennya p mozhe buti 30 42 52 60 66 70 abo 72 Koli P kazhe Todi ya yih znayu S rozumiye sho jogo poperednye tverdzhennya vidkinulo dlya P vsi varianti krim odnogo S povtoryuye hid dumki P Variant 1 p 30 P znaye sho p 30 P maye varianti 2 15 3 10 ta 5 6 P znaye sho s dorivnyuye 17 13 abo 11 Yaksho s 17 S matime varianti 2 15 3 14 4 13 5 12 6 11 7 10 ta 8 9 S znatime sho P ne znatime ci chisla S zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Yaksho s 13 S matime varianti 2 11 3 10 4 9 5 8 ta 6 7 S znatime yaksho 2 11 to P znatime chisla S ne zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Yaksho s 11 S matime varianti 2 9 3 8 4 7 ta 5 6 S znatime sho P ne znatime ci chisla S zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Tomu koli S kazhe Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh P vidkidaye 3 10 ale ne mozhe virishiti mizh 2 15 ta 5 6 Variant 2 p 42 P znaye sho p 42 P maye varianti 2 21 3 14 ta 6 7 Otzhe P znaye sho suma s 23 17 abo 13 Yaksho s 23 S matime varianti 2 21 3 20 4 19 5 18 6 17 7 16 8 15 9 14 10 13 ta 11 12 S znatime sho P ne znatime ci chisla S zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Yaksho s 17 S matime varianti 2 15 3 14 4 13 5 12 6 11 7 10 ta 8 9 S znatime sho P ne znatime ci chisla S zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Yaksho s 13 S matime varianti 2 11 3 10 4 9 5 8 ta 6 7 S znatime yaksho 2 11 P znatime chisla S ne zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Tomu koli S kazhe Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh P vidkidaye 6 7 ale ne mozhe virishiti mizh 2 21 ta 3 14 Variant 3 p 52 Div rozmirkovuvannya matematika P vishe Variant 4 p 60 P znaye sho p 60 P maye varianti 2 30 3 20 4 15 5 12 ta 6 10 Otzhe P znaye sho suma s 32 23 19 17 abo 16 Yaksho s 32 S matime varianti 2 30 3 29 4 28 5 27 6 26 7 25 8 24 9 23 10 22 11 21 12 20 13 19 14 18 ta 15 17 S znatime yaksho 3 29 abo 13 19 P znatime chisla S ne zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Yaksho s 23 S matime varianti 2 21 3 20 4 19 5 18 6 17 7 16 8 15 9 14 10 13 ta 11 12 S znatime sho P ne znatime ci chisla S zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Yaksho s 19 S matime varianti 2 17 3 16 4 15 5 14 6 13 7 12 8 11 ta 9 10 S znatime yaksho 2 17 P znatime chisla S ne zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Yaksho s 17 S matime varianti 2 15 3 14 4 13 5 12 6 11 7 10 ta 8 9 S znatime sho P ne znatime ci chisla S zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Yaksho s 16 S matime varianti 2 14 3 13 4 12 5 11 6 10 ta 7 9 S znatime yaksho 3 13 or 5 11 P znatime chisla S ne zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Tomu koli S kazhe Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh P vidkidaye 2 30 4 15 ta 6 10 ale ne mozhe virishiti mizh 3 20 ta 5 12 Variant 5 p 66 P znaye sho p 66 P maye varianti 2 33 3 22 ta 6 11 Otzhe P znaye sho suma s 35 25 abo 17 Yaksho s 35 S matime varianti 2 33 3 32 4 31 5 30 6 29 7 28 8 27 9 26 10 25 11 24 12 23 13 22 14 21 15 20 16 19 ta 17 18 S znatime sho P ne znatime ci chisla S zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Yaksho s 25 S matime varianti 2 23 3 22 4 21 5 20 6 19 7 18 8 17 9 16 10 15 11 14 ta 12 13 S znatime yaksho 2 23 P znatime chisla S ne zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Yaksho s 17 S matime varianti 2 15 3 14 4 13 5 12 6 11 7 10 ta 8 9 S znatime sho P ne znatime ci chisla S zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Tomu koli S kazhe Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh P vidkidaye 3 22 ale ne mozhe virishiti mizh 2 33 ta 6 11 Variant 6 p 70 P znaye sho p 70 P maye varianti 2 35 5 14 ta 7 10 Otzhe P znaye sho suma s 37 19 abo 17 Yaksho s 37 S matime varianti 2 35 3 34 4 33 5 32 6 31 7 30 8 29 9 28 10 27 11 26 12 25 13 24 14 23 15 22 16 21 17 20 ta 18 19 S znatime sho P ne znatime ci chisla S zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Yaksho s 19 S matime varianti 2 17 3 16 4 15 5 14 6 13 7 12 8 11 ta 9 10 S znatime yaksho 2 17 P znatime chisla S ne zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Yaksho s 17 S matime varianti 2 15 3 14 4 13 5 12 6 11 7 10 ta 8 9 S znatime sho P ne znatime ci chisla S zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Tomu koli S kazhe Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh P vidkidaye 5 14 ale ne mozhe virishiti mizh 2 35 ta 7 10 Variant 7 p 72 P znaye sho p 72 P maye varianti 2 36 3 24 4 18 6 12 ta 8 9 P znaye sho suma s 38 27 22 18 abo 17 Yaksho s 38 S matime varianti 2 36 3 35 4 34 5 33 6 32 7 31 8 30 9 29 10 28 11 27 12 26 13 25 14 24 15 23 16 22 17 21 ta 18 20 S znatime yaksho 7 31 P znatime chisla S ne zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Yaksho s 27 S matime varianti 2 25 3 24 4 23 5 22 6 21 7 20 8 19 9 18 10 17 11 16 12 15 ta 13 14 S znatime sho P ne znatime ci chisla S zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Yaksho s 22 S matime varianti 2 20 3 19 4 18 5 17 6 16 7 15 8 14 9 13 ta 10 12 S znatime yaksho 3 19 abo 5 17 P znatime chisla S ne zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Yaksho s 18 S matime varianti 2 16 3 15 4 14 5 13 6 12 7 11 ta 8 10 S znatime yaksho 5 13 abo 7 11 P znatime chisla S ne zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Yaksho s 17 S matime varianti 2 15 3 14 4 13 5 12 6 11 7 10 ta 8 9 S znatime sho P ne znatime ci chisla S zmozhe skazati Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh Tomu koli S kazhe Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh P vidkidaye 2 36 4 18 ta 6 12 ale ne mozhe virishiti mizh 3 24 ta 8 9 Lishe variant 3 viklyuchaye vsi krim odniyeyi mozhlivosti dlya P Tak S virishuye sho 4 13 ye vidpoviddyu Vishenavedene rishennya ye pidtverdzhennyam a ne virishennyam Vono pidtverdzhuye sho yaksho P povidomili chislo 52 a S povidomili chislo 17 todi i P viznachit paru chisel i S viznachit cyu paru chisel Odnak vono ne dovodit sho 4 13 ye yedinoyu vidpoviddyu Koli ye vidpovid na druge pitannya tobto S kazhe Ya buv vpevnenij sho ti yih ne vgadayesh chi spravdi 52 ce rezultat mnozhennya yakij otrimav P Vidpovid tak Dlya otrimannya vidpovidi mozhna vikoristati knigu excel Yaksho x ta y ce zagadani chisla dvoma rivnyannyami budut x y s ta x y p Pidstavlyayuchi zamist y otrimayemo x2 s x p 0 V knizi excel vidbuvayetsya poshuk cilih chisel dlya zadanih znachen s ta p Kod movoyu Python red Nizhche navedeno kod movoyu programuvannya Python yakij dovodit sho vishenavedene rishennya ye unikalnim limit 100 do yih rozmovi bud yake x y de 1 lt x lt y lt x y lt limit dozvoleno yak P PAllowed1 for x in range 2 limit for y in range x 1 limit x if x y not in PAllowed1 PAllowed1 x y 1 else PAllowed1 x y 1 koli P kazhe Ya ne znayu dozvoleni lishe P z PAllowed1 P gt 1 SNotAllowed1 for x in range 2 limit for y in range x 1 limit x if PAllowed1 x y 1 SNotAllowed1 x y 1 koli S kazhe Ya ne znayu dozvoleni lishe ti S sho lezhat v ploshini SNotAllowed1 PAllowed2 for n in range 2 limit if n not in SNotAllowed1 for x in range 2 n 2 1 p x n x if p in PAllowed1 and PAllowed1 p gt 1 if p in PAllowed2 PAllowed2 p 1 else PAllowed2 p 1 dozvoleni lishe ti P sho mozhut buti podileni na dva chisla x y de x y dozvoleno lishe v odnomu varianti toyuto PAllowed2 P 1 SAllowed2 for n in range 2 limit if n not in SNotAllowed1 for x in range 2 n 2 1 if x n x in PAllowed2 and PAllowed2 x n x 1 if n in SAllowed2 SAllowed2 n 1 else SAllowed2 n 1 oskilki S teper znaye vidpovid to podil mozhe buti zdijsnenij lishe v odnomu varianti S de SAllowed2 S 1 for n in SAllowed2 if SAllowed2 n 1 for x in range 2 n 2 1 if x n x in PAllowed2 and PAllowed2 x n x 1 print S P d d x y d d n x n x x n x Kod movoyu Scala red Nizhche navedeno kod movoyu programuvannya Scala yakij dovodit sho vishenavedene rishennya ye unikalnim object ImpossiblePuzzle extends App type XY Int Int val step0 for x lt 1 to 100 y lt 1 to 100 if 1 lt x amp amp x lt y amp amp x y lt 100 yield x y def sum xy XY xy 1 xy 2 def prod xy XY xy 1 xy 2 def sumEq xy XY step0 filter sum sum xy def prodEq xy XY step0 filter prod prod xy val step2 step0 filter sumEq forall prodEq size 1 val step3 step2 filter prodEq intersect step2 size 1 val step4 step3 filter sumEq intersect step3 size 1 println step4 Div takozh red Spisok nevirishuvanih golovolomok Zadacha pro tri stakaniPrimitki red Gans Frojdental Nieuw Archief Voor Wiskunde Series 3 Volume 17 1969 page 152 Gardner Martin December 1979 Mathematical Games A Pride of Problems Including One That Is Virtually Impossible Scientific American 241 22 30 Posilannya red Puzzles by John Burkardt The Impossible Problem Arhivovano 11 lyutogo 2015 u Wayback Machine by Torsten Sillke Two Mathematicians Problem Arhivovano 8 serpnya 2020 u Wayback Machine on mathforum Model Checking Sum and Product Arhivovano 9 serpnya 2017 u Wayback Machine Survey The Freudenthal problem and its ramifications Arhivovano 2 lyutogo 2019 u Wayback Machine Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Nevirishuvana golovolomka amp oldid 34893970