Ді́я (групи) на (множині) — це (відображення)
що має властивості:
для всіх де — це (нейтральний елемент)
З аксіом групи випливає, що для кожного відображення множини до себе за формулою є (бієкцією) або (автоморфізмом)
Типи дій
- Вільна, якщо для будь-яких
не рівних між собою і довільного
виконується
.
- Транзитивна якщо для будь-яких
існує
такий, що
, тобто якщо
для довільного
.
- Ефективна, якщо для довільних
існує
такий, що
.
Орбіти елементів
(Підмножина)
називається орбітою елемента .
Дія групи на множині
визначає на ній (відношення еквівалентності)
Стабілізатор
Підмножина
є (підгрупою) групи і називається стабілізатором елемента
.
Стабілізатори елементів однієї орбіт спряжені, тобто якщо , то існує такий елемент
, що
Кількість елементів в орбіті
Загальна кількість елементів в орбіті елемента визначається за формулою:
, де
— стабілізатор елемента
і
— (індекс підгрупи)
, що для (скінченних груп) рівний
.
Справді нехай елемент n належить до орбіти елемента m, припустимо n = gm для деякого Визначимо тепер відображення f(n)=nH, де H=Gm - стабілізатор елемента m. Дане означення відображеняя з множини елементів орбіти m на множину лівих (класів суміжності) по H ' є несуперечливим, адже якщо y=g1x=g2x то
і як наслідок g1H=g2H. Зважаючи на довільність вибору g, одержуємо, що відображення є (сюр'єктивним). З іншого боку якщо g1H=g2H тоді
і згідно з означенням стабілізатора
звідки випливає g1x=g2x. Тобто відображення є ін'єктивним і значить бієктивним. Тобто потужність орбіти рівна потужності лівих класів суміжності по H, тобто за означенням рівна індексу підгрупи H, що доводить твердження
Якщо , то
— формула розбиття на орбіти.
Звідси випливають наступні тотожності:
- (Лема Бернсайда)
Варіації та узагальнення
- (Псевдогрупа перетворень)
Див. також
- (Представлення групи)
Джерела
Українською
- (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
Іншими мовами
- (Курош А. Г.) Теория групп. — 3-е изд. — Москва : (Наука), 1967. — 648 с. — .(рос.)
- (Ленг С.) Алгебра. — Москва : (Мир), 1968. — 564 с. — .(рос.)
- (Винберг Э. Б.) Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — .(рос.)
- [en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет