Алгоритм Дейкстри

Алгоритм Дейкстри — алгоритм на графах, відкритий Дейкстрою. Знаходить найкоротший шлях від однієї вершини графу до всіх інших вершин. Класичний алгоритм Дейкстри працює тільки для графів без ребер від'ємної довжини.

Алгоритм Дейкстри

Клас	Алгоритм пошуку
Структура даних	Граф
Найгірша швидкодія	${\displaystyle O(|E|+|V|\log |V|)}$

Формулювання задачі

Варіант 1. Дана мережа автомобільних доріг, що з'єднують міста Львівської області. Знайти найкоротшу відстань від Львова до кожного міста області, якщо рухатись можна тільки по дорогах.

Варіант 2. Дана карта велосипедних доріжок Латвії та Білорусі. Знайти мінімальну відстань, яку треба проїхати, щоб дістатися від Риги до Бобруйська.

Варіант 3. Є план міста з нанесеними на нього місцями розміщення пожежних частин. Знайти найближчу до кожного дому пожежну станцію.

Абстракція

Дано неорієнтований зв'язний граф G(V, U). Знайти відстань від вершини a до всіх інших вершин V.

Інтуїтивне пояснення

Зберігатимемо поточну мінімальну відстань до всіх вершин V (від даної вершини a) і на кожному кроці алгоритму намагатимемося зменшити цю відстань. Спочатку встановимо відстані до всіх вершин рівними нескінченості, а до вершини а — нулю. Розглянемо виконання алгоритму на прикладі. Хай потрібно знайти відстані від 1-ї вершини до всіх інших. Кружечками позначені вершини, лініями — шляхи між ними («дуги»). Над дугами позначена їх «ціна» — довжина шляху. Надписом над кружечком позначена поточна найкоротша відстань до вершини.

Крок 1

Ініціалізація. Відстань до всіх вершин графу V = ${\displaystyle \infty }$. Відстань до а = 0. Жодної вершини графу ще не опрацьовано.

Крок 2

Знаходимо таку вершину (із ще не опрацьованих), поточна найкоротша відстань до якої мінімальна. В нашому випадку це вершина 1. Обходимо всіх її сусідів і, якщо шлях в сусідню вершину через 1 менший за поточний мінімальний шлях в цю сусідню вершину, то запам'ятовуємо цей новий, коротший шлях як поточний найкоротший шлях до сусіда.

Крок 3

Перший по порядку сусід 1-ї вершини — 2-а вершина. Шлях до неї через 1-у вершину дорівнює найкоротшій відстані до 1-ї вершини + довжина дуги між 1-ю та 2-ю вершиною, тобто 0 + 7 = 7. Це менше поточного найкоротшого шляху до 2-ї вершини, тому найкоротший шлях до 2-ї вершини дорівнює 7.

Кроки 4, 5

Аналогічну операцію проробляємо з двома іншими сусідами 1-ї вершини — 3-ю та 6-ю.

Крок 6

Всі сусіди вершини 1 перевірені. Поточна мінімальна відстань до вершини 1 вважається остаточною і обговоренню не підлягає (те, що це дійсно так, вперше довів Дейкстра). Тому викреслимо її з графу, щоб відмітити цей факт.

Крок 7

Практично відбувається повернення до кроку 2. Знову знаходимо «найближчу» необроблену (невикреслену) вершину. Це вершина 2 з поточною найкоротшою відстанню до неї = 7. І знову намагаємося зменшити відстань до всіх сусідів 2-ї вершини, намагаючись пройти в них через 2-у. Сусідами 2-ї вершини є 1, 3, 4.

Крок 8

Перший (по порядку) сусід вершини № 2 — 1-ша вершина. Але вона вже оброблена (або викреслена — див. крок 6). Тому з 1-ю вершиною нічого не робимо.

Крок 8 (з іншими вхідними даними)

Інший сусід вершини 2 — вершина 4. Якщо йти в неї через 2-у, то шлях буде = найкоротша відстань до 2-ї + відстань між 2-ю і 4-ю вершинами = 7 + 15 = 22. Оскільки 22 < ∞, встановлюємо відстань до вершини № 4 рівним 22.

Крок 9

Ще один сусід вершини 2 — вершина 3. Якщо йти в неї через 2-у, то шлях буде = 7 + 10 = 17. Але 17 більше за відстань, що вже запам'ятали раніше до вершини № 3 і дорівнює 9, тому поточну відстань до 3-ї вершини не міняємо.

Крок 10

Всі сусіди вершини 2 переглянуті, заморожуємо відстань до неї і викреслюємо її з графу.

Кроки 11 — 15

По вже «відпрацьованій» схемі повторюємо кроки 2 — 6. Тепер «найближчою» виявляється вершина № 3. Після її «обробки» отримаємо такі результати:

Наступні кроки

Проробляємо те саме з вершинами, що залишилися (№ по порядку: 6, 4 і 5).

Завершення виконання алгоритму

Алгоритм закінчує роботу, коли викреслені всі вершини. Результат його роботи видно на останньому малюнку: найкоротший шлях від 1-ї вершини до 2-ї становить 7, до 3-ї — 9, до 4-ї — 20, до 5-ї — 20, до 6-ї — 11 умовних одиниць.

Найпростіша реалізація

Найпростіша реалізація алгоритму Дейкстри потребує ${\displaystyle O(V^{2})}$ дій. У ній використовується масив відстаней та масив позначок. На початку алгоритму відстані заповнюються великим додатнім числом (більшим максимального можливого шляху в графі), а масив позначок заповнюється нулями. Потім відстань для початкової вершини вважається рівною нулю і запускається основний цикл.

На кожному кроці циклу ми шукаємо вершину з мінімальною відстанню і прапором рівним нулю. Потім ми встановлюємо в ній позначку 1 і перевіряємо всі сусідні з нею вершини. Якщо в ній відстань більша, ніж сума відстані до поточної вершини і довжини ребра, то зменшуємо його. Цикл завершується коли позначки всіх вершин стають рівними 1.

У математичних термінах

Нехай u — вершина, від якої шукаються відстані, V — множина вершин графу, d_i — відстань від вершини u до вершини i, , w_{(i, j)} — вага «ребра» (i, j).

Алгоритм:

1. Множина вершин U, до яких відстань відома, встановлюється рівною {u}.

2. Якщо U=V, алгоритм завершено.

3. Потенційні відстані D_i до вершин з V\U встановлюються нескінченними.

4. Для всіх ребер (i, j), де i∈U та j∈V\U, якщо D_j>d_i+w_{(i, j)}, то D_j присвоюється d_i+w_{(i, j)}.

5. Шукається i∈V\U, при якому D_i мінімальне.

6. Якщо D_i дорівнює нескінченності, алгоритм завершено. В іншому випадку d_i присвоюється значення D_i, U присвоюється U∪{i} і виконується перехід до кроку 2.

Див. також

• Задача комівояжера
• Алгоритм пошуку A*

Посилання

• Пояслення алгоритму Дейкстри [ 9 липня 2021 у Wayback Machine.] на каналі "Computerphile" на YouTube (англ.)
• algolist.manual.ru [ 5 грудня 2006 у Wayback Machine.]
• на сайті університету Окланда (англ.)
• C. Анисимов. Как построить кратчайший маршрут между двумя точками. [ 26 листопада 2010 у Wayback Machine.]
• Реализация простейшего варианта алгоритма Дейкстры на e-maxx.ru [ 20 серпня 2010 у Wayback Machine.]
• Реализация варианта алгоритма Дейкстры для разреженных графов на e-maxx.ru [ 20 серпня 2010 у Wayback Machine.]
• Реализация на основе очереди с приоритетами на C++ [ 26 серпня 2010 у Wayback Machine.]
• Реализация на основе очереди с приоритетами на Java [ 11 лютого 2011 у Wayback Machine.]
• Алгоритм Дейкстри з прикладами - mathros.net.ua