Ортогональні поліноми | |
Ерміта | |
Відкриті | Шарлем Ермітом в 1864 році |
Формула | |
Диференціальне рівняння | |
Визначені на | |
Вага | |
Норма | |
Примітки | В фізиці часто використовуються поліноми Ерміта, визначені як |
Поліноми Ерміта (англ. Hermite polynomials) — ортогональні поліноми, що використовуються в теорії ймовірностей, математичній фізиці при розв'язку рівняння дифузії, чисельному аналізі та квантовій механіці (як власні функції квантового гармонічного осцилятора). Названі на честь французького математика Шарля Ерміта, який ввів їх в 1864 році.
Визначення
Поліномами Ерміта називається послідовність поліномів ,, що задовольняють співвідношенню:
,
з якого випливає
.
Таке означення здебільшого використовується в теорії ймовірностей. У фізиці (здебільшого в квантовій механіці) використовують наступне означення:
.
Зв'язок між «фізичними» та «ймовірнісними» поліномами Ерміта здійснюється через наступне рівняння:
.
В цій статті будуть використовуватися «ймовірнісні» поліноми (якщо не зазначено інше).
Явні вирази перших одинадцяти поліномів Ерміта мають такий вигляд:
Загальний вираз для поліномів Ерміта має вигляд
Властивості
Поліном містить члени лише тієї ж парності, що й саме число :
.
При мають місце такі співвідношення:
.
Рівняння має дійсних коренів, що є попарно симетричними відносно початку системи координат і модуль жодного з них не перевищує величини . Корені полінома чергуються з коренями полінома .
Поліном можна представити у вигляді визначника матриці :
Формула додавання
Має місце наступна формула додавання поліномів Ерміта:
Частковими випадками такої формули є такі:
- , . Тоді
- .
- , , . Тоді
- .
Диференціювання та рекурентні співвідношення
Похідна -го порядку від полінома Ерміта , також є поліномом Ерміта:
звідки випливає співвідошення для першої похідної
та рекурентне співвідношення між трьома послідовними поліномами:
Ортогональність
Поліноми Ерміта утворюють повну ортогональну систему на інтервалі з вагою :
- ,
де — дельта-символ Кронекера.
Важливим наслідком ортогональності поліномів Ерміта є можливість розкладу різних функцій в ряди по поліномах Ерміта. Для будь-якого невід'ємного цілого справедливий запис
З нього випливає зв'язок між коефіцієнтами розкладу функції в ряд Маклорена та коефіцієнтами розкладу цієї ж функції по поліномах Ерміта, , що носять назву співвідношень Нільса Нільсона:
Наприклад, розклад функції Куммера матиме такий вигляд:
де — узагальнена гіпергеометрична функція другого порядку, — гамма-функція.
Розклад функцій, що містять експоненту.
Для будь-якої функції, що записується як суперпозиція експонент можна записати наступний розклад по поліномах Ерміта:
Зокрема розклади відомих гіперболічних та тригонометричних функцій мають вигляд
Повнота
для поліномів Ерміта має вигляд
Більш того, наступна формула справджується і для узагальнений функцій
де δ — дельта-функція Дірака, (ψn) функції Ерміта. Ця узагальнена формула слідує якщо покласти u → 1 у формулі Мелера, дійсній при −1 < u < 1:
яку можна еквівалентно записати так
Функція (x, y) → E(x, y; u) є густиною для міри Гауса на R2 яка є, коли u прямує до 1, дуже сконцентрованою біля лінії y = x, і сильно спадає поза нею. Тому
коли ƒ, g є неперервними функціями на компактному носії. Це приводить до того, що ƒ може бути виражена через функції Ерміта у вигляді суми ряду векторів з L2(R), тобто
Щоб довести вищенаведену рівність для E(x, y; u), треба декілька разів використати Фур'є перетворення функції Гауса,
Поліноми Ерміта можуть бути представлення у вигляді
З цим представленням для Hn(x) і Hn(y), можна бачити що
а це приводить до потрібного результату, якщо скористатися формулою перетворення Фур'є Гаусового ядра після виконання підстановки
Диференціальні рівняння
Поліноми Ерміта є розв'язками лінійного диференціального рівняння:
Якщо є цілим числом, то загальний розв'язок вищенаведеного рівняння записується як
,
де — довільні сталі, а функції називаються . Ці функції не зводяться до поліномів і їх можна виразити лише за допомогою трансцендентних функцій та .
Представлення
Поліноми Ерміта допускають такі представлення:
де — контур, що охоплює початок координат.
Інше представлення має вигляд:
.
Зв'язок з іншими спеціальними функціями
- Зв'язок з функцією Куммера:
- Зв'язок з поліномами Лаґерра:
- Твірна функція поліномів Ерміта має вигляд: Для цієї функції Диференціювання разів по для лівої частини дає а праворуч Вважаючи оскільки Таким чином, -диференціювання по експоненційної функції приводить до поліномів Ерміта
- Рекурентне співвідношення. Продиференціюймо по
та отримаймо
Із сказаного можна отримати диференціальне рівняння
яке є частковим рішенням лінійного диференціального рівняння другого порядку
Застосування
- В квантовій механіці поліноми Ерміта входять до виразу хвильової функції квантового гармонічного осцилятора. В безрозмірних змінних рівняння Шредінгера, яке описує стани квантового гармонічного осцилятора, має вигляд:
- .
- Розв'язками цього рівняння є власні функції осцилятора, що відповідають власним значенням . Нормовані на одиницю вони записуються як
- .
- Зазначимо, що в даному виразі використовуються саме «фізичні» поліноми Ерміта .
- Поліноми Ерміта використовуються в розв'язку одновимірного рівняння теплопровідності на нескінченному інтервалі. Це рівняння має розв'язок у вигляді експоненційної функції . Оскільки таку функцію можна представити у вигляді розкладу по поліномах Ерміта, а з іншого боку вона може бути розкладена в ряд Тейлора по :
- ,
- то функції , що є розв'язками рівняння теплопровідності і задовольняють початковій умові , виражаються через поліноми Ерміта наступним чином:
- .
- Для отримання останньої рівності було використано інтеграл Пуасона-Фур'є.
- В теорії ймовірностей поліноми Ерміта входять до так званих , які використовуються для наближення функції густини ймовірності через її .
Примітки
- Hermite C. Sur un nouveau développement en série de fonctions. // Compt. Rend. Acad. Sci. Paris. — 1864. — Т. 58. — С. 93-100; 266-273., передруковано також в C. Hermite (1908). Oeuvres complètes (французька) . tome 2. Paris. с. 293—308.
{{}}
: Cite має пусті невідомі параметри:|посилання=
та|авторлінк=
() - Wiener, 1958
Література
- Abramowitz, Milton & Stegun, Irene A., eds. (1965), «Chapter 22», Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, .
- Wiener, Norbert (1958). The Fourier Integral and Certain of its Applications. New York: Dover Publications. ISBN .
- Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1962). A Course of Modern Analysis. London: Cambridge University Press.
- Ж. Кампе де Ферье; Р. Кемпбелл, Г. Петьо, Т. Фогель (1963). IX. Функции математической физики (російська) . Москва: Физматгиз. с. 62-70.
{{}}
: Cite має пусті невідомі параметри:|пубрік=
,|посилання=
,|авторлінк=
,|пубдата=
та|пубмісяць=
()
Зовнішні посилання
- Eric W. Weisstein, Hermite Polynomial [ 21 липня 2008 у Wayback Machine.] (англ.) на сайті MathWorld [ 28 червня 2017 у Wayback Machine.].
Ця стаття належить до української Вікіпедії. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ortogonalni polinomi Ermita Vidkriti Sharlem Ermitom v 1864 roci Formula H n x 1 n e x 2 2 d n d x n e x 2 2 displaystyle H n x 1 n e frac x 2 2 frac d n dx n left e frac x 2 2 right Diferencialne rivnyannya y x x y x n y x 0 displaystyle y x xy x ny x 0 Viznacheni na displaystyle infty infty Vaga e x 2 2 displaystyle e x 2 2 Norma n 2 p displaystyle sqrt n sqrt 2 pi Primitki V fizici chasto vikoristovuyutsya polinomi Ermita viznacheni yak H n x 1 n e x 2 d n d x n e x 2 displaystyle H n x 1 n e x 2 frac d n dx n left e x 2 right H n x 2 n 2 H n 2 x displaystyle H n x 2 frac n 2 H n sqrt 2 x Polinomi Ermita angl Hermite polynomials ortogonalni polinomi sho vikoristovuyutsya v teoriyi jmovirnostej matematichnij fizici pri rozv yazku rivnyannya difuziyi chiselnomu analizi ta kvantovij mehanici yak vlasni funkciyi kvantovogo garmonichnogo oscilyatora Nazvani na chest francuzkogo matematika Sharlya Ermita yakij vviv yih v 1864 roci ViznachennyaGrafiki polinomiv Ermita poryadku n 0 1 5 displaystyle n 0 1 5 Polinomami Ermita nazivayetsya poslidovnist polinomiv H n x displaystyle H n x n 0 1 displaystyle n 0 1 sho zadovolnyayut spivvidnoshennyu e t x t 2 2 n 0 H n x t n n displaystyle e tx frac t 2 2 sum n 0 infty H n x frac t n n z yakogo viplivaye H n x 1 n e x 2 2 d n d x n e x 2 2 displaystyle H n x 1 n e frac x 2 2 frac d n dx n left e frac x 2 2 right Take oznachennya zdebilshogo vikoristovuyetsya v teoriyi jmovirnostej U fizici zdebilshogo v kvantovij mehanici vikoristovuyut nastupne oznachennya H n x 1 n e x 2 d n d x n e x 2 displaystyle H n x 1 n e x 2 frac d n dx n left e x 2 right Zv yazok mizh fizichnimi ta jmovirnisnimi polinomami Ermita zdijsnyuyetsya cherez nastupne rivnyannya H n x 2 n 2 H n 2 x displaystyle H n x 2 frac n 2 H n sqrt 2 x V cij statti budut vikoristovuvatisya jmovirnisni polinomi yaksho ne zaznacheno inshe Yavni virazi pershih odinadcyati polinomiv Ermita mayut takij viglyad H 0 x 1 displaystyle H 0 x 1 H 1 x x displaystyle H 1 x x H 2 x x 2 1 displaystyle H 2 x x 2 1 H 3 x x 3 3 x displaystyle H 3 x x 3 3x H 4 x x 4 6 x 2 3 displaystyle H 4 x x 4 6x 2 3 H 5 x x 5 10 x 3 15 x displaystyle H 5 x x 5 10x 3 15x H 6 x x 6 15 x 4 45 x 2 15 displaystyle H 6 x x 6 15x 4 45x 2 15 H 7 x x 7 21 x 5 105 x 3 105 x displaystyle H 7 x x 7 21x 5 105x 3 105x H 8 x x 8 28 x 6 210 x 4 420 x 2 105 displaystyle H 8 x x 8 28x 6 210x 4 420x 2 105 H 9 x x 9 36 x 7 378 x 5 1260 x 3 945 x displaystyle H 9 x x 9 36x 7 378x 5 1260x 3 945x H 10 x x 10 45 x 8 630 x 6 3150 x 4 4725 x 2 945 displaystyle H 10 x x 10 45x 8 630x 6 3150x 4 4725x 2 945 Zagalnij viraz dlya polinomiv Ermita maye viglyad H n x j 0 n 2 1 j 2 j n j n 2 j x n 2 j x n n n 1 2 x n 2 1 4 n n 1 n 2 n 3 2 x n 4 displaystyle H n x sum j 0 n 2 frac 1 j 2 j frac n j n 2j x n 2j x n frac n n 1 2 x n 2 frac 1 4 frac n n 1 n 2 n 3 2 x n 4 ldots VlastivostiPolinom H n x displaystyle H n x mistit chleni lishe tiyeyi zh parnosti sho j same chislo n displaystyle n H 2 n x H 2 n x H 2 n 1 x H 2 n 1 x n 0 1 2 displaystyle H 2n x H 2n x H 2n 1 x H 2n 1 x n 0 1 2 ldots Pri x 0 displaystyle x 0 mayut misce taki spivvidnoshennya H 2 n 0 1 n 2 n 2 n n H 2 n 1 0 n 0 1 2 displaystyle H 2n 0 frac 1 n 2 n frac 2n n H 2n 1 0 n 0 1 2 ldots Rivnyannya H n x 0 displaystyle H n x 0 maye n displaystyle n dijsnih koreniv sho ye poparno simetrichnimi vidnosno pochatku sistemi koordinat i modul zhodnogo z nih ne perevishuye velichini n n 1 2 displaystyle sqrt n n 1 2 Koreni polinoma H n x 0 displaystyle H n x 0 cherguyutsya z korenyami polinoma H n 1 x 0 displaystyle H n 1 x 0 Polinom H n x displaystyle H n x mozhna predstaviti u viglyadi viznachnika matrici n n displaystyle n times n H n x x n 1 0 0 0 1 x n 2 0 0 0 1 x n 3 0 0 0 0 0 x displaystyle H n x left begin array cccccc x amp n 1 amp 0 amp 0 amp cdots amp 0 1 amp x amp n 2 amp 0 amp cdots amp 0 0 amp 1 amp x amp n 3 amp cdots amp 0 cdots amp cdots amp cdots amp cdots amp cdots amp cdots 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp cdots amp x end array right Formula dodavannya Maye misce nastupna formula dodavannya polinomiv Ermita a 1 2 a 2 2 a n 2 m 2 m H m a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n a 1 2 a 2 2 a n 2 m 1 m n m a 1 m 1 m 1 a n m n m n H m 1 x 1 H m n x n displaystyle frac a 1 2 a 2 2 cdots a n 2 frac mu 2 mu H mu left frac a 1 x 1 a 2 x 2 cdots a n x n sqrt a 1 2 a 2 2 cdots a n 2 right sum m 1 cdots m n mu frac a 1 m 1 m 1 cdots frac a n m n m n H m 1 x 1 cdots H m n x n Chastkovimi vipadkami takoyi formuli ye taki a 1 a 2 a n 1 displaystyle a 1 a 2 cdots a n 1 x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 cdots x n Todi n m 2 H m n x m 1 m n m m m 1 m n H m 1 x H m n x displaystyle n frac mu 2 H mu sqrt n x sum m 1 cdots m n mu frac mu m 1 cdots m n H m 1 x cdots H m n x n 2 displaystyle n 2 a 1 a 2 1 displaystyle a 1 a 2 1 x 1 2 x x 2 2 y displaystyle x 1 sqrt 2 x x 2 sqrt 2 y Todi 2 m H m x y p q r s m m p q r s H p x H q x H r x H s x displaystyle 2 mu H mu x y sum p q r s mu frac mu p q r s H p x H q x H r x H s x Diferenciyuvannya ta rekurentni spivvidnoshennyaPohidna k displaystyle k go poryadku vid polinoma Ermita H n x displaystyle H n x n k displaystyle n geq k takozh ye polinomom Ermita d k d x k H n x n n 1 n k 1 H n k x displaystyle frac d k dx k H n x n n 1 cdots n k 1 H n k x zvidki viplivaye spivvidoshennya dlya pershoyi pohidnoyi H n x d H n x d x n H n 1 x displaystyle H n x frac dH n x dx nH n 1 x ta rekurentne spivvidnoshennya mizh troma poslidovnimi polinomami H n x x H n 1 x n 1 H n 2 x 0 n 2 displaystyle H n x xH n 1 x n 1 H n 2 x 0 n geq 2 OrtogonalnistPolinomi Ermita utvoryuyut povnu ortogonalnu sistemu na intervali displaystyle infty infty z vagoyu e x 2 2 displaystyle e x 2 2 H n x H m x e x 2 2 d x n 2 p d n m displaystyle int infty infty H n x H m x e x 2 2 dx n sqrt 2 pi delta mathit nm de d m n displaystyle delta mn delta simvol Kronekera Vazhlivim naslidkom ortogonalnosti polinomiv Ermita ye mozhlivist rozkladu riznih funkcij v ryadi po polinomah Ermita Dlya bud yakogo nevid yemnogo cilogo p displaystyle p spravedlivij zapis x p p k 0 k p 2 1 2 k 1 k p 2 k H p 2 k x displaystyle frac x p p sum k 0 k leq p 2 frac 1 2 k frac 1 k p 2k H p 2k x Z nogo viplivaye zv yazok mizh koeficiyentami rozkladu funkciyi v ryad Maklorena f x n 0 a n x n displaystyle f x sum n 0 infty a n x n ta koeficiyentami rozkladu ciyeyi zh funkciyi po polinomah Ermita f x n 0 A n H n x displaystyle f x sum n 0 infty A n H n x sho nosyat nazvu spivvidnoshen Nilsa Nilsona A n 1 n k 0 1 2 k n 2 k k a n 2 k a n 1 n k 0 1 k 2 k n 2 k k A n 2 k displaystyle A n frac 1 n sum k 0 infty frac 1 2 k frac n 2k k a n 2k a n frac 1 n sum k 0 infty frac 1 k 2 k frac n 2k k A n 2k Napriklad rozklad funkciyi Kummera matime takij viglyad 1 F 1 a g x n 0 a n g n 1 n 2 F 2 a n 2 a n 1 2 g n 2 g n 1 2 1 2 H n x a b G a b G a displaystyle 1 F 1 alpha gamma x sum n 0 infty frac alpha n gamma n 1 n 2 F 2 left frac alpha n 2 frac alpha n 1 2 frac gamma n 2 frac gamma n 1 2 frac 1 2 right H n x a b equiv frac Gamma a b Gamma a de 2 F 2 a 1 a 2 b 1 b 2 x displaystyle 2 F 2 a 1 a 2 b 1 b 2 x uzagalnena gipergeometrichna funkciya drugogo poryadku G x displaystyle Gamma x gamma funkciya Rozklad funkcij sho mistyat eksponentu Dlya bud yakoyi funkciyi sho zapisuyetsya yak superpoziciya eksponent f x k 1 p c k e a k x displaystyle f x sum k 1 p c k e alpha k x mozhna zapisati nastupnij rozklad po polinomah Ermita f x n 0 A n H n x A n 1 n k 1 p c k a k n e a k 2 2 displaystyle f x sum n 0 infty A n H n x A n frac 1 n sum k 1 p c k alpha k n e frac alpha k 2 2 Zokrema rozkladi vidomih giperbolichnih ta trigonometrichnih funkcij mayut viglyad cosh t x e t 2 2 n 0 t 2 n 2 n H 2 n x sinh t x e t 2 2 n 0 t 2 n 1 2 n 1 H 2 n 1 x displaystyle cosh tx e frac t 2 2 sum n 0 infty frac t 2n 2n H 2n x sinh tx e frac t 2 2 sum n 0 infty frac t 2n 1 2n 1 H 2n 1 x cos t x e t 2 2 n 0 1 n t 2 n 2 n H 2 n x sin t x e t 2 2 n 0 1 n t 2 n 1 2 n 1 H 2 n 1 x displaystyle cos tx e frac t 2 2 sum n 0 infty 1 n frac t 2n 2n H 2n x sin tx e frac t 2 2 sum n 0 infty 1 n frac t 2n 1 2n 1 H 2n 1 x Povnotadlya polinomiv Ermita maye viglyad i 0 n H i x H i y i 2 i 1 n 2 n 1 H n y H n 1 x H n x H n 1 y x y displaystyle sum i 0 n frac H i x H i y i 2 i frac 1 n 2 n 1 frac H n y H n 1 x H n x H n 1 y x y Bilsh togo nastupna formula spravdzhuyetsya i dlya uzagalnenij funkcij n 0 ps n x ps n y d x y displaystyle sum n 0 infty psi n x psi n y delta x y de d delta funkciya Diraka psn funkciyi Ermita Cya uzagalnena formula sliduye yaksho poklasti u 1 u formuli Melera dijsnij pri 1 lt u lt 1 E x y u n 0 u n ps n x ps n y 1 p 1 u 2 e x p 1 u 1 u x y 2 4 1 u 1 u x y 2 4 displaystyle E x y u sum n 0 infty u n psi n x psi n y frac 1 sqrt pi 1 u 2 mathrm exp left frac 1 u 1 u frac x y 2 4 frac 1 u 1 u frac x y 2 4 right yaku mozhna ekvivalentno zapisati tak n 0 H n x H n y n u 2 n 1 1 u 2 e 2 u 1 u x y u 2 1 u 2 x y 2 displaystyle sum n 0 infty frac H n x H n y n left frac u 2 right n frac 1 sqrt 1 u 2 mathrm e frac 2u 1 u xy frac u 2 1 u 2 x y 2 Funkciya x y E x y u ye gustinoyu dlya miri Gausa na R2 yaka ye koli u pryamuye do 1 duzhe skoncentrovanoyu bilya liniyi y x i silno spadaye poza neyu Tomu n 0 u n f ps n ps n g E x y u f x g y d x d y f x g x d x f g displaystyle left langle left sum n 0 infty u n langle f psi n rangle psi n right g right rangle int int E x y u f x overline g y mathrm d x mathrm d y rightarrow int f x overline g x mathrm d x langle f g rangle koli ƒ g ye neperervnimi funkciyami na kompaktnomu nosiyi Ce privodit do togo sho ƒ mozhe buti virazhena cherez funkciyi Ermita u viglyadi sumi ryadu vektoriv z L2 R tobto f n 0 f ps n ps n displaystyle f sum n 0 infty langle f psi n rangle psi n Shob dovesti vishenavedenu rivnist dlya E x y u treba dekilka raziv vikoristati Fur ye peretvorennya funkciyi Gausa r p e r 2 x 2 4 e i s x s 2 r 2 d s r gt 0 displaystyle rho sqrt pi mathrm e rho 2 x 2 4 int mathrm e isx s 2 rho 2 mathrm d s quad rho gt 0 Polinomi Ermita mozhut buti predstavlennya u viglyadi H n x 1 n e x 2 d n d x n 1 2 p e i s x s 2 4 d s 1 n e x 2 1 2 p i s n e i s x s 2 4 d s displaystyle H n x 1 n mathrm e x 2 frac mathrm d n mathrm d x n Bigl frac 1 2 sqrt pi int mathrm e isx s 2 4 mathrm d s Bigr 1 n mathrm e x 2 frac 1 2 sqrt pi int is n mathrm e isx s 2 4 mathrm d s Z cim predstavlennyam dlya Hn x i Hn y mozhna bachiti sho E x y u n 0 u n 2 n n p H n x H n y e x 2 y 2 2 e x 2 y 2 2 4 p p n 0 1 2 n n u s t n e i s x i t y s 2 4 t 2 4 d s d t e x 2 y 2 2 4 p p e u s t 2 e i s x i t y s 2 4 t 2 4 d s d t displaystyle begin aligned E x y u amp sum n 0 infty frac u n 2 n n sqrt pi H n x H n y mathrm e x 2 y 2 2 amp frac mathrm e x 2 y 2 2 4 pi sqrt pi int int Bigl sum n 0 infty frac 1 2 n n ust n Bigr mathrm e isx ity s 2 4 t 2 4 mathrm d s mathrm d t amp frac mathrm e x 2 y 2 2 4 pi sqrt pi int int mathrm e ust 2 mathrm e isx ity s 2 4 t 2 4 mathrm d s mathrm d t end aligned a ce privodit do potribnogo rezultatu yaksho skoristatisya formuloyu peretvorennya Fur ye Gausovogo yadra pislya vikonannya pidstanovki s s t 2 t s t 2 displaystyle s frac sigma tau sqrt 2 qquad qquad t frac sigma tau sqrt 2 Diferencialni rivnyannyaPolinomi Ermita H n x displaystyle H n x ye rozv yazkami linijnogo diferencialnogo rivnyannya y x x y x n y x 0 displaystyle y x xy x ny x 0 Yaksho n displaystyle n ye cilim chislom to zagalnij rozv yazok vishenavedenogo rivnyannya zapisuyetsya yak y x A H n x B h n x displaystyle y x AH n x Bh n x de A B displaystyle A B dovilni stali a funkciyi h n x displaystyle h n x nazivayutsya Ci funkciyi ne zvodyatsya do polinomiv i yih mozhna viraziti lishe za dopomogoyu transcendentnih funkcij e x 2 2 displaystyle e x 2 2 ta 0 x e z 2 2 d z displaystyle int 0 x e z 2 2 dz PredstavlennyaPolinomi Ermita dopuskayut taki predstavlennya H n x n 2 p i G e z x z 2 2 z n 1 d z displaystyle H n x frac n 2 pi i oint Gamma frac e zx z 2 2 z n 1 dz de G displaystyle Gamma kontur sho ohoplyuye pochatok koordinat Inshe predstavlennya maye viglyad H n x 1 2 p x i y n e y 2 2 d y displaystyle H n x frac 1 sqrt 2 pi int infty infty x iy n e frac y 2 2 dy Zv yazok z inshimi specialnimi funkciyamiZv yazok z funkciyeyu Kummera H 2 n x 1 n 2 n 2 n n 1 F 1 n 1 2 x 2 2 H 2 n 1 x 1 n 2 n 2 n 1 n x 1 F 1 n 3 2 x 2 2 displaystyle H 2n x frac 1 n 2 n frac 2n n 1 F 1 left n frac 1 2 frac x 2 2 right H 2n 1 x frac 1 n 2 n frac 2n 1 n x 1 F 1 left n frac 3 2 frac x 2 2 right Zv yazok z polinomami Lagerra H 2 n x 2 n n L n 1 2 x 2 2 H 2 n 1 x 2 n n x L n 1 2 x 2 2 displaystyle H 2n x 2 n n L n 1 2 x 2 2 H 2n 1 x 2 n n x L n 1 2 x 2 2 Tvirna funkciya polinomiv Ermita maye viglyad g x t exp t 2 2 t x exp x 2 exp t x 2 displaystyle g x t exp t 2 2tx exp x 2 exp t x 2 Dlya ciyeyi funkciyi exp x 2 exp 1 x 2 n 0 H n x n t n displaystyle exp x 2 exp 1 x 2 sum n 0 infty frac H n x n t n Diferenciyuvannya n 0 H n x n t n displaystyle sum n 0 infty frac H n x n t n raziv n displaystyle n po t displaystyle t dlya livoyi chastini daye exp x 2 n t n exp t x 2 exp x 2 1 n n x n exp t x 2 displaystyle exp x 2 frac partial n partial t n exp t x 2 exp x 2 1 n frac partial n partial x n exp t x 2 a pravoruch H n x H n 1 x t H n 2 x t 2 displaystyle H n x H n 1 x t H n 2 x t 2 Vvazhayuchi t 0 displaystyle t 0 H n x 1 n exp x 2 d n d x n exp x 2 displaystyle H n x 1 n exp x 2 frac d n dx n exp x 2 oskilki t exp t x 2 x exp t x 2 displaystyle frac partial partial t exp t x 2 frac partial partial x exp t x 2 Takim chinom n displaystyle n diferenciyuvannya po x displaystyle x eksponencijnoyi funkciyi exp x 2 displaystyle exp x 2 privodit do polinomiv Ermita H n x displaystyle H n x Rekurentne spivvidnoshennya Prodiferenciyujmo g x t exp t 2 2 t x exp x 2 exp t x 2 displaystyle g x t exp t 2 2tx exp x 2 exp t x 2 po t displaystyle t g i 2 t x g x t displaystyle frac partial g partial i 2 t x g x t n 1 H n x n 1 t n 1 2 t x n 0 H n x n 0 displaystyle sum n 1 infty frac H n x n 1 t n 1 2 t x sum n 0 infty frac H n x n 0 n 0 H n 1 x n 2 x H n x n 2 H n 1 x n 1 t n 0 displaystyle sum n 0 infty frac H n 1 x n 2x frac H n x n frac 2H n 1 x n 1 t n 0 ta otrimajmo H n 1 x 2 x H n x 2 n H n 1 x 0 displaystyle H n 1 x 2xH n x 2nH n 1 x 0 Iz skazanogo mozhna otrimati diferencialne rivnyannya H n x 2 x H n x 2 n H n 0 n 0 1 2 displaystyle H n prime prime x 2xH n x 2nH n 0 quad quad n overline 0 1 2 yake ye chastkovim rishennyam linijnogo diferencialnogo rivnyannya drugogo poryadku H n x 2 x H n x 2 n H n x 0 displaystyle H n prime prime x 2xH n prime x 2nH n x 0 ZastosuvannyaV kvantovij mehanici polinomi Ermita vhodyat do virazu hvilovoyi funkciyi kvantovogo garmonichnogo oscilyatora V bezrozmirnih zminnih rivnyannya Shredingera yake opisuye stani kvantovogo garmonichnogo oscilyatora maye viglyad d 2 d x 2 x 2 ps n x l n ps n x displaystyle left frac d 2 dx 2 x 2 right psi n x lambda n psi n x Rozv yazkami cogo rivnyannya ye vlasni funkciyi oscilyatora sho vidpovidayut vlasnim znachennyam l n 2 n 1 displaystyle lambda n 2n 1 Normovani na odinicyu voni zapisuyutsya yak ps n x e x 2 2 1 n 2 n n p H n x n 0 1 2 displaystyle psi n x e frac x 2 2 frac 1 n sqrt 2 n n sqrt pi H n x n 0 1 2 dots Zaznachimo sho v danomu virazi vikoristovuyutsya same fizichni polinomi Ermita H n x displaystyle H n x Polinomi Ermita vikoristovuyutsya v rozv yazku odnovimirnogo rivnyannya teploprovidnosti u t u x x 0 displaystyle u t u xx 0 na neskinchennomu intervali Ce rivnyannya maye rozv yazok u viglyadi eksponencijnoyi funkciyi u x t e a x a 2 t displaystyle u x t e alpha x alpha 2 t Oskilki taku funkciyu mozhna predstaviti u viglyadi rozkladu po polinomah Ermita a z inshogo boku vona mozhe buti rozkladena v ryad Tejlora po a displaystyle alpha e a x a 2 t n 0 a n n P n x t displaystyle e alpha x alpha 2 t sum n 0 infty frac alpha n n P n x t to funkciyi P n x t displaystyle P n x t sho ye rozv yazkami rivnyannya teploprovidnosti i zadovolnyayut pochatkovij umovi P n x t 0 x n displaystyle P n x t 0 x n virazhayutsya cherez polinomi Ermita nastupnim chinom P n x t i 2 t n H n x i 2 t 1 4 p t e x y 2 4 t y n d y displaystyle P n x t i sqrt 2t n H n left frac x i sqrt 2t right frac 1 sqrt 4 pi t int infty infty e frac x y 2 4t y n dy Dlya otrimannya ostannoyi rivnosti bulo vikoristano integral Puasona Fur ye V teoriyi jmovirnostej polinomi Ermita vhodyat do tak zvanih yaki vikoristovuyutsya dlya nablizhennya funkciyi gustini jmovirnosti cherez yiyi PrimitkiHermite C Sur un nouveau developpement en serie de fonctions Compt Rend Acad Sci Paris 1864 T 58 S 93 100 266 273 peredrukovano takozh v C Hermite 1908 Oeuvres completes francuzka tome 2 Paris s 293 308 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite book title Shablon Cite book cite book a Cite maye pusti nevidomi parametri posilannya ta avtorlink dovidka Wiener 1958LiteraturaAbramowitz Milton amp Stegun Irene A eds 1965 Chapter 22 Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Tables New York Dover ISBN 0 486 61272 4 Wiener Norbert 1958 The Fourier Integral and Certain of its Applications New York Dover Publications ISBN 0 486 60272 9 Whittaker E T Watson G N 1962 A Course of Modern Analysis London Cambridge University Press Zh Kampe de Fere R Kempbell G Peto T Fogel 1963 IX Funkcii matematicheskoj fiziki rosijska Moskva Fizmatgiz s 62 70 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite book title Shablon Cite book cite book a Cite maye pusti nevidomi parametri pubrik posilannya avtorlink pubdata ta pubmisyac dovidka Zovnishni posilannyaEric W Weisstein Hermite Polynomial 21 lipnya 2008 u Wayback Machine angl na sajti MathWorld 28 chervnya 2017 u Wayback Machine Cya stattya nalezhit do dobrih statej ukrayinskoyi Vikipediyi