Тензорною алгеброю лінійного простору (позначається ) називається алгебра тензорів будь-якого рангу над з операцією тензорного добутку.
Також тензорною алгеброю називається відповідний розділ лінійної алгебри (тобто розділ, що займається тензорами, визначеними над одним лінійним простором, на відміну від тензорного аналізу, що займається тензорними полями на дотичному розшаруванні многовида і диференціальними співвідношеннями для цих полів).
Означення
Нехай V — векторний простір над полем k. Для будь-якого натурального числа k визначимо k-ий тензорний степінь V як тензорний добуток V на себе k раз :
Таким чином, Tk V складається з усіх тензорів над V рангу k. Будемо вважати, що T0 V — основне поле k (одновимірний векторний простір над собою).
Визначимо T(V) як пряму суму Tk V для всіх k = 0,1,2, ...
Добуток в T(V) визначається заданим тензорним добутком канонічним ізоморфізмом:
який потім продовжується по лінійності на всю T(V). Таке множення перетворює тензорну алгебру T(V) в градуйовану алгебру.
Універсальна властивість і функторіальність
Тензорна алгебра T(V) — вільна алгебра векторного простору V. Як і для будь-якої іншої , функтор Т є лівим спряженим функтором забуваючого функтора (який в даному випадку відправляє К-алгебру в її векторний простір). Тензорна алгебра задовольняє універсальну властивість, яка формалізує твердження, що це найбільш загальна алгебра, що містить простір V:
- Будь-яке лінійне відображення простору V над полем К в алгебру A над k може бути єдиним чином продовжено до гомоморфізма алгебр . Це твердження виражається комутативною діаграмою:
де i — канонічне вкладення V в T(V). Тензорну алгебру можна визначити як єдину (з точністю до ізоморфізму) алгебру, що володіє такою властивістю, хоча необхідно ще явно показати, що така алгебра існує.
Наведена вище універсальна властивість показує, що тензорна алгебра функторіальна, тобто T — функтор з категорії K-Vect векторних просторів над K в категорію k-Alg K-алгебр. Функторіальность Т означає, що будь-яке лінійне відображення з V в W може бути єдиним чином продовжено до гомоморфізму з алгебри T(V) у T(W).
Некомутативні многочлени
Якщо розмірність V є скінченною і дорівнює n, то тензорну алгебру можна розглядати як алгебру многочленів над k з n некомутативними змінними. Базисним векторам V відповідають некомутативними змінні, причому їх множення буде асоціативним, дистрибутивним і k — лінійним.
Зауважимо, що алгебра многочленів над V - це не , а : однорідна лінійна функція на V є елементом спряженого простору .
Факторалгебри
Зважаючи на загальність тензорної алгебри багато інших важливих алгебр на просторі V можна отримати, накладаючи певні обмеження на твірні елементи тензорної алгебри, тобто як факторалгебри від T(V). Наприклад, так можна побудувати зовнішню алгебру, симетричну алгебру і алгебру Кліффорда.
Варіації і узагальнення
Конструкція тензорної алгебри над лінійним простором природно узагальнюється до тензорною алгебри над модулем M над комутативним кільцем. Якщо R - некомутативне кільце, можна побудувати тензорний добуток для будь-яких R- над M. Для звичайних R-модулів є неможливою побудова кратного тензорного добутку.
Див. Також
Література
- Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — .(рос.)
- Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)
- Бурбаки Н. Алгебра ч.1 Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра. — М. : ГИФМЛ, 1962. — С. 516. — (Елементи математики)(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Tenzornoyu algebroyu linijnogo prostoru V displaystyle V poznachayetsya T V displaystyle T V nazivayetsya algebra tenzoriv bud yakogo rangu nad V displaystyle V z operaciyeyu tenzornogo dobutku Takozh tenzornoyu algebroyu nazivayetsya vidpovidnij rozdil linijnoyi algebri tobto rozdil sho zajmayetsya tenzorami viznachenimi nad odnim linijnim prostorom na vidminu vid tenzornogo analizu sho zajmayetsya tenzornimi polyami na dotichnomu rozsharuvanni mnogovida i diferencialnimi spivvidnoshennyami dlya cih poliv OznachennyaNehaj V vektornij prostir nad polem k Dlya bud yakogo naturalnogo chisla k viznachimo k ij tenzornij stepin V yak tenzornij dobutok V na sebe k raz T k V V k V V V displaystyle T k V V otimes k V otimes V otimes cdots otimes V Takim chinom Tk V skladayetsya z usih tenzoriv nad V rangu k Budemo vvazhati sho T0 V osnovne pole k odnovimirnij vektornij prostir nad soboyu Viznachimo T V yak pryamu sumu Tk V dlya vsih k 0 1 2 T V k 0 T k V K V V V V V V displaystyle T V bigoplus k 0 infty T k V K oplus V oplus V otimes V oplus V otimes V otimes V oplus cdots Dobutok v T V viznachayetsya zadanim tenzornim dobutkom kanonichnim izomorfizmom T k V T ℓ V T k ℓ V displaystyle T k V otimes T ell V to T k ell V yakij potim prodovzhuyetsya po linijnosti na vsyu T V Take mnozhennya peretvoryuye tenzornu algebru T V v gradujovanu algebru Universalna vlastivist i funktorialnistTenzorna algebra T V vilna algebra vektornogo prostoru V Yak i dlya bud yakoyi inshoyi funktor T ye livim spryazhenim funktorom zabuvayuchogo funktora yakij v danomu vipadku vidpravlyaye K algebru v yiyi vektornij prostir Tenzorna algebra zadovolnyaye universalnu vlastivist yaka formalizuye tverdzhennya sho ce najbilsh zagalna algebra sho mistit prostir V Bud yake linijne vidobrazhennya f V A displaystyle f V to A prostoru V nad polem K v algebru A nad k mozhe buti yedinim chinom prodovzheno do gomomorfizma algebr f T V A displaystyle bar f T V to A Ce tverdzhennya virazhayetsya komutativnoyu diagramoyu Universal property of the tensor algebra de i kanonichne vkladennya V v T V Tenzornu algebru mozhna viznachiti yak yedinu z tochnistyu do izomorfizmu algebru sho volodiye takoyu vlastivistyu hocha neobhidno she yavno pokazati sho taka algebra isnuye Navedena vishe universalna vlastivist pokazuye sho tenzorna algebra funktorialna tobto T funktor z kategoriyi K Vect vektornih prostoriv nad K v kategoriyu k Alg K algebr Funktorialnost T oznachaye sho bud yake linijne vidobrazhennya z V v W mozhe buti yedinim chinom prodovzheno do gomomorfizmu z algebri T V u T W Nekomutativni mnogochleniYaksho rozmirnist V ye skinchennoyu i dorivnyuye n to tenzornu algebru mozhna rozglyadati yak algebru mnogochleniv nad k z n nekomutativnimi zminnimi Bazisnim vektoram V vidpovidayut nekomutativnimi zminni prichomu yih mnozhennya bude asociativnim distributivnim i k linijnim Zauvazhimo sho algebra mnogochleniv nad V ce ne T V displaystyle T V a T V displaystyle T V odnoridna linijna funkciya na V ye elementom spryazhenogo prostoru V displaystyle V FaktoralgebriZvazhayuchi na zagalnist tenzornoyi algebri bagato inshih vazhlivih algebr na prostori V mozhna otrimati nakladayuchi pevni obmezhennya na tvirni elementi tenzornoyi algebri tobto yak faktoralgebri vid T V Napriklad tak mozhna pobuduvati zovnishnyu algebru simetrichnu algebru i algebru Klifforda Variaciyi i uzagalnennyaKonstrukciya tenzornoyi algebri nad linijnim prostorom prirodno uzagalnyuyetsya do tenzornoyu algebri nad modulem M nad komutativnim kilcem Yaksho R nekomutativne kilce mozhna pobuduvati tenzornij dobutok dlya bud yakih R nad M Dlya zvichajnih R moduliv ye nemozhlivoyu pobudova kratnogo tenzornogo dobutku Div TakozhAlgebra Kliforda Zovnishnya algebra Simetrichna algebraLiteraturaVinberg E B Kurs algebri 4 e izd Moskva MCNMO 2011 592 s ISBN 978 5 94057 685 3 ros Leng S Algebra Moskva Mir 1968 564 s ISBN 5458320840 ros Burbaki N Algebra ch 1 Algebraicheskie struktury Linejnaya i polilinejnaya algebra M GIFML 1962 S 516 Elementi matematiki ros