Циклі чний надлишко вий код англ Cyclic redundancy check CRC алгоритм обчислення контрольної суми призначений для переві

Циклі́чний надлишко́вий код (англ. Cyclic redundancy check, CRC) — алгоритм обчислення контрольної суми, призначений для перевірки цілісності даних. CRC є практичним додатком завадостійкого кодування, заснованому на певних математичних властивостях циклічного коду.

Введення

Поняття циклічні коди достатньо широке. У англомовній літературі CRC розшифровується двояко в залежності від контексту: Cyclic Redundancy Code або Cyclic Redundancy Check. Під першою розшифровкою розуміють математичний феномен циклічних кодів, під другою — конкретне застосування цього феномену як геш-функції.

Завадостійке кодування

Перші спроби створення кодів з надлишковою інформацією почалися задовго до появи сучасних ПК. До прикладу, ще в шістдесятих роках минулого століття Рідом і Соломоном була розроблена ефективна методика кодування — код Ріда-Соломона. Використання її у ті часи не представлялося можливим, так як провести операцію декодування за розумний час першими алгоритмами не вдавалося. Крапку в цьому питанні поставила фундаментальна робота Берлекампа, опублікована в 1968 році. , на практичне застосування якої вказав через рік Мессі, і донині використовується в цифрових пристроях, що забезпечують приймання RS-кодованих даних. Більш того: дана система дозволяє не тільки визначати позиції, але й виправляти невірні кодові символи (найчастіше октети).

Але далеко не скрізь від коду потрібна корекція помилок. Сучасні канали зв'язку мають прийнятні характеристики, і часто достатньо лише перевірити, чи успішно пройшла передача або виникли будь-які складності; структура ж помилок і конкретні позиції невірних символів абсолютно не цікавлять сторону, яка приймає дані. І в цих умовах дуже вдалим рішенням виявилися алгоритми, що використовують контрольні суми. CRC як найкраще підходить для подібних задач: невисокі витрати ресурсів, простота реалізації і вже сформований математичний апарат з теорії лінійних циклічних кодів забезпечили їй величезну популярність.

Контрольна сума

У найзагальнішому своєму вигляді контрольна сума являє собою деяке значення, побудоване за певною схемою на основі кодованого повідомлення. Перевірочна інформація при систематичному кодуванні дописується, найчастіше, на кінець повідомлення — після корисних даних. З приймального боку абонент знає алгоритм обчислення контрольної суми: відповідно, програма має можливість перевірити коректність прийнятих даних.

При передачі пакетів по реальному каналу, зрозуміло, можуть виникнути спотворення вихідної інформації внаслідок різних зовнішніх впливів: електричних наведень, поганих погодних умов і багатьох інших. Сутність методики в тому, що при хороших характеристиках хеш-функціїв переважній кількості випадків помилка в повідомленні призведе до зміни обчисленого на прийомі значення CRC. Якщо вихідна і обчислена суми не рівні між собою, ухвалюється рішення про недостовірність отриманих даних, і можна запитати повторну передачу пакета.

Математичний опис

Алгоритм CRC базується на властивості ділення з остачею двійкових многочленів, тобто многочленів над скінченним полем $GF(2)$ . Значення CRC є по суті остачею від ділення многочлена, відповідного вхідним даним, на деякий фіксований породжувальний многочлен.

Кожній послідовності бітів $a_{0},a_{1},...,a_{N-1}$ взаємно однозначно зіставляється двійковий многочлен $\textstyle \sum _{n=0}^{N-1}\displaystyle a_{n}x^{n}$ , послідовність коефіцієнтів якого являє собою початкову послідовність. Наприклад, послідовність бітів 1011010 відповідає многочлену:

$P(x)=1\cdot x^{6}+0\cdot x^{5}+1\cdot x^{4}+1\cdot x^{3}+0\cdot x^{2}+1\cdot x^{1}+0\cdot x^{0}=x^{6}+x^{4}+x^{3}+x^{1}.$

Кількість різних многочленів степені меншої $N$ дорівнює $2^{N}$ , що збігається з числом всіх двійкових послідовностей довжини $N$ . Значення контрольної суми в алгоритмі з породжуючим многочленом $G(x)$ степені $N$ задається як бітова послідовність довжини $N$ , яка представляє многочлен $R(x)$ , отриманий в остачі при діленні многочлена $P(x)$ , який представляє вхідний потік біт, на многочлен $G(x)$ :

$R(x)=P(x)\cdot x^{N}{\bmod {\ }}G(x)$

де

R(x)

— многочлен, який представляє значення CRC;

P(x)

— многочлен, коефіцієнти якого представляють вхідні дані;

G(x)

— породжувальний многочлен;

N

— степінь породжувального многочлена.

Множення $x^{N}$ здійснюється приписуванням нульових бітів до вхідної послідовності, що покращує якість гешування для коротких вхідних послідовностей.

При діленні з остачею початкового многочлена на породжуючий многочлен $G(x)$ степені $N$ можна отримати $2^{N}$ різних остач від ділення. $G(x)$ найчастіше є незвідним многочленом. Зазвичай його підбирають відповідно до вимог до геш-функції у контексті кожного конкретного застосування. Проте, існує багато стандартизованих породжувальних многочленів, що володіють добрими математичними та кореляційними властивостями (мінімальне число колізій, простота обчислення), деякі з котрих приведені нижче.

Обчислення CRC

Параметри алгоритму

Одним з основних параметрів CRC є породжувальний многочлен.

З породжувальним многочленом пов'язаний інший параметр — його степінь, який визначає кількість бітів, застосованих для обчислення значення CRC. На практиці найбільш поширені 8-, 16- та 32-бітові слова, що є наслідком особливостей архітектури сучасної обчислювальної техніки.

Ще одним параметром є початкове (стартове) значення слова. Вказані параметри повністю визначають «традиційний» алгоритм обчислення CRC. Існують також модифікації алгоритму, наприклад, які використовують зворотний порядок обробки бітів.

Опис процедури

З файлу береться перше слово — це може бути бітовий (CRC-1), байтовий (CRC-8) або будь-який інший елемент. Якщо старший біт у слові «1», то слово зсувається вліво на один розряд з подальшим виконанням операції XOR з породжувальним многочленом. Відповідно, якщо старший біт у слові «0», то після зсуву операція XOR не виконується. Після зсуву втрачається старий старший біт, а молодший біт звільняється — його значення встановлюється рівним нулю. На місце молодшого біту завантажується черговий біт із файлу, й операція повторюється до тих пір, поки не завантажиться останній біт файлу. Після проходження всього файлу, в слові залишається остача, яка і є контрольною сумою.

Популярні й стандартизовані многочлени

В той час, як циклічні надлишкові коди є частиною стандартів, у цього терміну не існує загальноприйнятого визначення — трактування різних авторів нерідко суперечать один одному.

Цей парадокс стосується й вибору многочлена-генератора: найчастіше стандартизовані многочлени не є найбільш ефективними в плані статичних властивостей відповідного їм check redundancy code.

При цьому багато широко використовуваних многочленів не є найефективнішими із всіх можливих. У 1993—2004 роках група вчених займалася дослідженням породжувальних многочленів розрядності до 16, 24 та 36 біт й знайшла многочлени, які дають кращу, ніж стандартизовані многочлени, продуктивність у сенсі кодової відстані. Один із результатів цього дослідження вже знайшов своє застосування в протоколі iSCSI.

Найпопулярніший та рекомендований IEEE многочлен для CRC-32 використовується в Ethernet, FDDI; також цей многочлен є генератором коду Геммінга. Використання іншого многочлену — CRC-32C — дозволяє досягти такої ж продуктивності при довжині вихідного повідомлення від 58 біт до 131 кбіт, а в деяких діапазонах довжини вхідного повідомлення може бути навіть більше — тому в наш час він також має популярність. Наприклад, стандарт ITU-T G.hn використовує CRC-32C з ціллю виявлення помилок в корисному навантаженні.

Нижче в таблиці приведені найбільш розповсюджені многочлени — генератори CRC. На практиці обчислення CRC може включати пре- та пост-інверсію, а також зворотний порядок обробки бітів. У власницьких реалізаціях CRC для ускладнення аналізу коду використовують ненульові початкові значення регістрів.

Назва	Многочлен	Використання	Представлення
Назва	Многочлен	Використання	Нормальне	Реверсоване	Реверсоване від зворотнього
CRC-1	$x+1$	використовується в апаратному контролі помилок; також відомий як біт парності	0x1	0x1	0x1
CRC-4-ITU	$x^{4}+x+1$	ITU G.704	0x3	0xC	0x9
CRC-5-EPC	$x^{5}+x^{3}+1$	Gen 2 RFID	0x09	0x12	0x14
CRC-5-ITU	$x^{5}+x^{4}+x^{2}+1$	ITU G.704	0x15	0x15	0x1A
CRC-5-USB	$x^{5}+x^{2}+1$	USB token packets	0x05	0x14	0x12
CRC-6-ITU	$x^{6}+x+1$	ITU G.704	0x03	0x30	0x21
CRC-7	$x^{7}+x^{3}+1$	системи телекомунікації, ITU-T G.707, ITU-T G.832, MMC, SD	0x09	0x48	0x44
CRC-8-CCITT	$x^{8}+x^{2}+x+1$	ATM HEC, ISDN Header Error Control and Cell Delineation ITU-T I.432.1 (02/99)	0x07	0xE0	0x83
CRC-8-Dallas/Maxim	$x^{8}+x^{5}+x^{4}+1$	1-Wire bus	0x31	0x8C	0x98
CRC-8	$x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{4}+x^{2}+1$	ETSI EN 302 307, 5.1.4	0xD5	0xAB	0xEA
CRC-8-SAE J1850	$x^{8}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+1$		0x1D	0xB8	0x8E
CRC-10	$x^{10}+x^{9}+x^{5}+x^{4}+x+1$		0x233	0x331	0x319
CRC-11	$x^{11}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{2}+1$	FlexRay	0x385	0x50E	0x5C2
CRC-12	$x^{12}+x^{11}+x^{3}+x^{2}+x+1$	системи телекомунікації	0x80F	0xF01	0xC07
CRC-15-CAN	$x^{15}+x^{14}+x^{10}+x^{8}+x^{7}+x^{4}+x^{3}+1$		0x4599	0x4CD1	0x62CC
CRC-16-IBM	$x^{16}+x^{15}+x^{2}+1$	Bisync, Modbus, USB, ANSI X3.28^[20], багато інших; також відомий як CRC-16 та CRC-16-ANSI	0x8005	0xA001	0xC002
CRC-16-CCITT	$x^{16}+x^{12}+x^{5}+1$	X.25, HDLC, XMODEM, Bluetooth, SD та інші	0x1021	0x8408	0x8810
CRC-16-T10-DIF	$x^{16}+x^{15}+x^{11}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+x+1$	SCSI DIF	0x8BB7	0xEDD1	0xC5DB
CRC-16-DNP	$x^{16}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{8}+x^{6}+x^{5}+x^{2}+1$	DNP, IEC 870, M-Bus	0x3D65	0xA6BC	0x9EB2
CRC-24	$x^{24}+x^{22}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{16}+x^{14}+x^{13}+x^{11}+x^{10}+$ $x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{3}+x+1$	FlexRay	0x5D6DCB	0xD3B6BA	0xAEB6E5
CRC-24-Radix-64	$x^{24}+x^{23}+x^{18}+x^{17}+x^{14}+x^{11}+x^{10}+x^{7}+x^{6}+$ $x^{5}+x^{4}+x^{3}+x+1$	OpenPGP	0x864CFB	0xDF3261	0xC3267D
CRC-30	$x^{30}+x^{29}+x^{21}+x^{20}+x^{15}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{8}+x^{7}+$ $x^{6}+x^{2}+x+1$	CDMA	0x2030B9C7	0x38E74301	0x30185CE3
CRC-32-IEEE 802.3	$x^{32}+x^{26}+x^{23}+x^{22}+x^{16}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{8}+x^{7}+$ $x^{5}+x^{4}+x^{2}+x+1$	V.42, MPEG-2, PNG, POSIX cksum	0x04C11DB7	0xEDB88320	0x82608EDB
CRC-32C (Castagnoli)	$x^{32}+x^{28}+x^{27}+x^{26}+x^{25}+x^{23}+x^{22}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+$ $x^{14}+x^{13}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{6}+1$	iSCSI, G.hn payload	0x1EDC6F41	0x82F63B78	0x8F6E37A0
CRC-32K (Koopman)	$x^{32}+x^{30}+x^{29}+x^{28}+x^{26}+x^{20}+x^{19}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+$ $x^{11}+x^{10}+x^{7}+x^{6}+x^{4}+x^{2}+x+1$		0x741B8CD7	0xEB31D82E	0xBA0DC66B
CRC-32Q	$x^{32}+x^{31}+x^{24}+x^{22}+x^{16}+x^{14}+x^{8}+x^{7}+x^{5}+x^{3}+x+1$	авіація; AIXM	0x814141AB	0xD5828281	0xC0A0A0D5
CRC-64-ISO	$x^{64}+x^{4}+x^{3}+x+1$	HDLC — ISO 3309	0x000000000000001B	0xD800000000000000	0x800000000000000D
CRC-64-ECMA	$x^{64}+x^{62}+x^{57}+x^{55}+x^{54}+x^{53}+x^{52}+x^{47}+x^{46}+x^{45}+x^{40}+$ $x^{39}+x^{38}+x^{37}+x^{35}+x^{33}+x^{32}+x^{31}+x^{29}+x^{27}+x^{24}+x^{23}+$ $x^{22}+x^{21}+x^{19}+x^{17}+x^{13}+x^{12}+x^{10}+x^{9}+x^{7}+x^{4}+x+1$		0x42F0E1EBA9EA3693	0xC96C5795D7870F42	0xA17870F5D4F51B49

Наявні стандарти CRC-128 (IEEE) та CRC-256 (IEEE) в теперішній час витіснені криптографічними геш-функціями.

Специфікації алгоритмів CRC

Однією з найвідоміших є методика Ross N. Williams. У ній використовуються наступні параметри:

Назва алгоритму (name);

Ступінь породжує контрольну суму многочлена (width);

Сам виготовляючий поліном (poly). Для того, щоб записати його у вигляді значення, його спочатку записують як бітову послідовність, при цьому старший біт опускається — він завжди дорівнює 1. Наприклад, многочлен в даній нотації буде записаний числом. Для зручності отримане двійкове подання записують в шістнадцятковій формі. Для нашого випадку воно буде дорівнює або 0x11;

Стартові дані (init), тобто значення регістрів на момент початку обчислень;

Прапор (RefIn), який вказує на початок і напрямок обчислень. Існує два варіанти: False — починаючи зі старшого значущого біта (MSB-first), або True — з молодшого (LSB-first);

Прапор (RefOut), що визначає, інвертується чи порядок бітів регістра при вході на елемент XOR;

Число (XorOut), з яким складається по модулю 2 отриманий результат;

Значення CRC (check) для рядка «123456789».

Приклади

Name	Width	Poly	Init	RefIn	RefOut	XorOut	Check
CRC-3/ROHC	3	0x3	0x7	true	true	0x0	0x6
CRC-4/ITU	4	0x3	0x0	true	true	0x0	0x7
CRC-5/EPC	5	0x9	0x9	false	false	0x0	0x0
CRC-5/ITU	5	0x15	0x0	true	true	0x0	0x7
CRC-5/USB	5	0x5	0x1F	true	true	0x1F	0x19
CRC-6/CDMA2000-A	6	0x27	0x3F	false	false	0x0	0xD
CRC-6/CDMA2000-B	6	0x7	0x3F	false	false	0x0	0x3B
CRC-6/DARC	6	0x19	0x0	true	true	0x0	0x26
CRC-6/ITU	6	0x3	0x0	true	true	0x0	0x6
CRC-7	7	0x9	0x0	false	false	0x0	0x75
CRC-7/ROHC	7	0x4F	0x7F	true	true	0x0	0x53
CRC-8	8	0x7	0x0	false	false	0x0	0xF4
CRC-8/CDMA2000	8	0x9B	0xFF	false	false	0x0	0xDA
CRC-8/DARC	8	0x39	0x0	true	true	0x0	0x15
CRC-8/DVB-S2	8	0xD5	0x0	false	false	0x0	0xBC
CRC-8/EBU	8	0x1D	0xFF	true	true	0x0	0x97
CRC-8/I-CODE	8	0x1D	0xFD	false	false	0x0	0x7E
CRC-8/ITU	8	0x7	0x0	false	false	0x55	0xA1
CRC-8/MAXIM	8	0x31	0x0	true	true	0x0	0xA1
CRC-8/ROHC	8	0x7	0xFF	true	true	0x0	0xD0
CRC-8/WCDMA	8	0x9B	0x0	true	true	0x0	0x25
CRC-10	10	0x233	0x0	false	false	0x0	0x199
CRC-10/CDMA2000	10	0x3D9	0x3FF	false	false	0x0	0x233
CRC-11	11	0x385	0x1A	false	false	0x0	0x5A3
CRC-12/3GPP	12	0x80F	0x0	false	true	0x0	0xDAF
CRC-12/CDMA2000	12	0xF13	0xFFF	false	false	0x0	0xD4D
CRC-12/DECT	12	0x80F	0x0	false	false	0x0	0xF5B
CRC-13/BBC	13	0x1CF5	0x0	false	false	0x0	0x4FA
CRC-14/DARC	14	0x805	0x0	true	true	0x0	0x82D
CRC-15	15	0x4599	0x0	false	false	0x0	0x59E
CRC-15/MPT1327	15	0x6815	0x0	false	false	0x1	0x2566
CRC-16/ARC	16	0x8005	0x0	true	true	0x0	0xBB3D
CRC-16/AUG-CCITT	16	0x1021	0x1D0F	false	false	0x0	0xE5CC
CRC-16/BUYPASS	16	0x8005	0x0	false	false	0x0	0xFEE8
CRC-16/CCITT-FALSE	16	0x1021	0xFFFF	false	false	0x0	0x29B1
CRC-16/CDMA2000	16	0xC867	0xFFFF	false	false	0x0	0x4C06
CRC-16/DDS-110	16	0x8005	0x800D	false	false	0x0	0x9ECF
CRC-16/DECT-R	16	0x589	0x0	false	false	0x1	0x7E
CRC-16/DECT-X	16	0x589	0x0	false	false	0x0	0x7F
CRC-16/DNP	16	0x3D65	0x0	true	true	0xFFFF	0xEA82
CRC-16/EN-13757	16	0x3D65	0x0	false	false	0xFFFF	0xC2B7
CRC-16/GENIBUS	16	0x1021	0xFFFF	false	false	0xFFFF	0xD64E
CRC-16/MAXIM	16	0x8005	0x0	true	true	0xFFFF	0x44C2
CRC-16/MCRF4XX	16	0x1021	0xFFFF	true	true	0x0	0x6F91
CRC-16/RIELLO	16	0x1021	0xB2AA	true	true	0x0	0x63D0
CRC-16/T10-DIF	16	0x8BB7	0x0	false	false	0x0	0xD0DB
CRC-16/TELEDISK	16	0xA097	0x0	false	false	0x0	0xFB3
CRC-16/TMS37157	16	0x1021	0x89EC	true	true	0x0	0x26B1
CRC-16/USB	16	0x8005	0xFFFF	true	true	0xFFFF	0xB4C8
CRC-A	16	0x1021	0xC6C6	true	true	0x0	0xBF05
CRC-16/KERMIT	16	0x1021	0x0	true	true	0x0	0x2189
CRC-16/MODBUS	16	0x8005	0xFFFF	true	true	0x0	0x4B37
CRC-16/X-25	16	0x1021	0xFFFF	true	true	0xFFFF	0x906E
CRC-16/XMODEM	16	0x1021	0x0	false	false	0x0	0x31C3
CRC-24	24	0x864CFB	0xB704CE	false	false	0x0	0x21CF02
CRC-24/FLEXRAY-A	24	0x5D6DCB	0xFEDCBA	false	false	0x0	0x7979BD
CRC-24/FLEXRAY-B	24	0x5D6DCB	0xABCDEF	false	false	0x0	0x1F23B8
CRC-31/PHILIPS	31	0x4C11DB7	0x7FFFFFFF	false	false	0x7FFFFFFF	0xCE9E46C
CRC-32/zlib	32	0x4C11DB7	0xFFFFFFFF	true	true	0xFFFFFFFF	0xCBF43926
CRC-32/BZIP2	32	0x4C11DB7	0xFFFFFFFF	false	false	0xFFFFFFFF	0xFC891918
CRC-32C	32	0x1EDC6F41	0xFFFFFFFF	true	true	0xFFFFFFFF	0xE3069283
CRC-32D	32	0xA833982B	0xFFFFFFFF	true	true	0xFFFFFFFF	0x87315576
CRC-32/MPEG-2	32	0x4C11DB7	0xFFFFFFFF	false	false	0x0	0x376E6E7
CRC-32/POSIX	32	0x4C11DB7	0x0	false	false	0xFFFFFFFF	0x765E7680
CRC-32Q	32	0x814141AB	0x0	false	false	0x0	0x3010BF7F
CRC-32/JAMCRC	32	0x4C11DB7	0xFFFFFFFF	true	true	0x0	0x340BC6D9
CRC-32/XFER	32	0xAF	0x0	false	false	0x0	0xBD0BE338
CRC-40/GSM	40	0x4820009	0x0	false	false	0xFFFFFFFFFF	0xD4164FC646
CRC-64	64	0x42F0E1EBA9EA3693	0x0	false	false	0x0	0x6C40DF5F0B497347
CRC-64/WE	64	0x42F0E1EBA9EA3693	0xFFFFFFFFFFFFFFFF	false	false	0xFFFFFFFFFFFFFFFF	0x62EC59E3F1A4F00A
CRC-64/XZ	64	0x42F0E1EBA9EA3693	0xFFFFFFFFFFFFFFFF	true	true	0xFFFFFFFFFFFFFFFF	0x995DC9BBDF1939FA

Примітки

What is cyclic redundancy checking? - Definition from WhatIs.com. SearchNetworking (амер.).
Лекція 17 - Криптографічні ХЕШ-функції | Кафедра безпеки інформації та телекомунікацій. bit.nmu.org.ua.
ITU-T (англ.). 2010.
tsbmail. G.704 : Synchronous frame structures used at 1544, 6312, 2048, 8448 and 44 736 kbit/s hierarchical levels P.7. www.itu.int.
GEN 2 RFID. с. 35.
tsbmail. G.704 : Synchronous frame structures used at 1544, 6312, 2048, 8448 and 44 736 kbit/s hierarchical levels P.9. www.itu.int.
tsbmail. G.704 : Synchronous frame structures used at 1544, 6312, 2048, 8448 and 44 736 kbit/s hierarchical levels p.3. www.itu.int.
tsbmail. G.707 : Network node interface for the synchronous digital hierarchy (SDH) P. 7. www.itu.int.
tsbmail. G.832 : Transport of SDH elements on PDH networks - Frame and multiplexing structures. www.itu.int.
Final draft ETSI EN 302 307 V1.2.1 (EN) . ETSI. 2009.
FlexRay Automotive Communication Bus Overview - National Instruments. www.ni.com.
. http://embedded.ifmo.ru. Архів оригіналу за 20 листопада 2016.
ShiftOut Программирование Ардуино. arduino.ua.
Catalogue of parametrised CRC algorithms. reveng.sourceforge.net.

Див. також

Хешування

Посилання

Це незавершена стаття про програмування.
Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її.

[1] What is cyclic redundancy checking? - Definition from WhatIs.com. SearchNetworking (амер.).

[2] Лекція 17 - Криптографічні ХЕШ-функції | Кафедра безпеки інформації та телекомунікацій. bit.nmu.org.ua.

[3] ITU-T (англ.). 2010.

[4] tsbmail. G.704 : Synchronous frame structures used at 1544, 6312, 2048, 8448 and 44 736 kbit/s hierarchical levels P.7. www.itu.int.

[5] GEN 2 RFID. с. 35.

[6] tsbmail. G.704 : Synchronous frame structures used at 1544, 6312, 2048, 8448 and 44 736 kbit/s hierarchical levels P.9. www.itu.int.

[7] tsbmail. G.704 : Synchronous frame structures used at 1544, 6312, 2048, 8448 and 44 736 kbit/s hierarchical levels p.3. www.itu.int.

[8] tsbmail. G.707 : Network node interface for the synchronous digital hierarchy (SDH) P. 7. www.itu.int.

[9] tsbmail. G.832 : Transport of SDH elements on PDH networks - Frame and multiplexing structures. www.itu.int.

[10] Final draft ETSI EN 302 307 V1.2.1 (EN) . ETSI. 2009.

[11] FlexRay Automotive Communication Bus Overview - National Instruments. www.ni.com.

[12] . http://embedded.ifmo.ru. Архів оригіналу за 20 листопада 2016.

[:0-13] ShiftOut Программирование Ардуино. arduino.ua.

[14] Catalogue of parametrised CRC algorithms. reveng.sourceforge.net.